Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer

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04.06.2008, 16:45	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Hallo, habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht ganz klar komme. Man hat einen Strand der 50 m lang ist und an der ein rettungsschwimmer liegt. Im Meer 40 m entfernt vom Strand geht jemand unter. <--------------50m-----------------schwimmer(standort) \| \| 40m\| \| \| ertrinkender Am Strand ist man 5 mal schneller als im wasser. An welchem Punkt muss man vom Strand ins Wasser damit die Zeit minimal wird,um denjenigen zu retten??? Habe die Abbildung um 45° gegen den Uhrzeigersinn gedreht, sodass die Strecke 50 m die y- Achse ist und die 40 m die x-Achse. Kann man das so machen? Dann haben wir noch die Formel v=s/t bekommen. Habe diese dann dann t=s/v aufgelöst, da ich ja die Zeit optimieren will. Meine nächste überlegung war, wie ich jetzt s und v darstellen kann aber da komm ich irgendwie nicht drauf weil ich ja zum Beispiel diesen Faktor fünf habe. Kann mir jemand helfen?
04.06.2008, 16:54	Daniel.Cagara	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dir die Funktion für die gesamtzeit in abhängigkeit vom Weg am Strand und weg im Wasser (das eine in abhängigkeit des anderen schreiben) Dann leitest du das ganze ab und suchst das Minimum indem du diese = 0 setzt und dann ggf überprüfst. Schon hast du das optimierungsproblem optimal gelöst!
04.06.2008, 16:59	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Ok das mit dem Ableiten und so das weiß ich , aber das erste, da komm ich nicht drauf. Ungefähr so: $\begin{eqnarray} t=\frac{505}{40} \end{eqnarray*}$ ?????
04.06.2008, 17:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Summe beider Zeiten - jener an Land und jener im Wasser - optimieren. Die Stelle, an der der Rettungsschwimmer vom Land ins Wasser springt, ist x m vom Standort entfernt. Geschwindigkeit im Wasser .. v Geschwindigkeit am Land .. 5v $\begin{eqnarray} t_{Land} = \frac{x}{5v} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_{Wasser} = \frac{s}{v} \end{eqnarray}$ s ist nun der Weg im Wasser und gleich der Hypotenuse im rechtwinkeligen Dreieck mit den Katheten (50 - x) und 40. Da der Wert v konstant ist, kannst du ihn vor die Funktion ziehen und dann beim Nullsetzen der 1. Ableitung weglassen. mY+
04.06.2008, 17:54	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Also ,wenn ich das richtig verstanden habe ist $\begin{eqnarray} s=\sqrt{50-x+40} \end{eqnarray}$ dann wäre die Funktion $\begin{eqnarray} t(x)= \frac{x}{5v} + \frac{\sqrt{(50-x)^2+40^2}}{v} \end{eqnarray}$ Aber verstehe das mit dem v nicht. Ist doch nicht konstant weil auf dem Land ja schneller und v muss ich ja auch durch ne variable ersetzen
04.06.2008, 17:59	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Funktion ist schonmal richtig v ist einfach ein Parameter. Bis denn mathe760
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04.06.2008, 18:04	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Parameter? noch nie gehört, aber werde es nachschlagen! Aber verstehe nicht wie ich das v vor die Funktion bringen soll!
04.06.2008, 18:12	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten formst du einfach mal deine Funktion etwas um: $\begin{eqnarray} \frac{x+5 \cdot \sqrt{x^2-100x+900}}{5\cdot v} \end{eqnarray}$ Dann kannst du $\begin{eqnarray} \frac{1}{5\cdot v} \end{eqnarray}$ vor den Bruch ziehen und normal Ableiten. Bis denn mathe760
04.06.2008, 18:19	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Wie kommst du denn auf diese Umformung? Das unter der Wurzel ergibt doch x^2-100x+4100 und warum x+5 davor?
04.06.2008, 18:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
mathe... hat einen Schreib- bzw. Rechenfehler (das kommt von der Eile! ). Und nicht x + 5 ist davor, Punktrechnung vor Strichrechnung!! Gemeinsamer Nenner! mY+
04.06.2008, 18:27	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer achso, ok und dieses was ich da raus ziehe kann ich dann ganz weglassen? Also $\begin{eqnarray} \frac{1}{5v} \end{eqnarray}$ und dann hab ich ne ganzrationale Funktion $\begin{eqnarray} f(t)= x+5 \sqrt{x^2-100x+4100} \end{eqnarray*}$
04.06.2008, 18:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ist es. Aber ganzrational ist die Funktion deswegen nicht (wegen der Wurzel ist sie irrational). mY+
04.06.2008, 18:31	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer yipppi!!!!!!! Danke an alle die mir geholfen haben!!!
04.06.2008, 18:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die, die's interessiert: x = 41,835 m mY+
04.06.2008, 19:30	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Also habe jetzt die Ableitung gemacht und Nullstellen berechnet und hab für die erste Nullstelle 24,0915 raus kann das stimmen?
04.06.2008, 20:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte lesen .. ich habe dir das Ergebnis schon lange hingeschrieben. Zeige mal deine Rechnung, um den Fehler zu lokalisieren. mY+
05.06.2008, 14:11	Sophie85	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsaufgabe rettungsschwimmer Danke, hab ihn schon gefunden. hatte das Ergebnis nicht gesehen sorry.
05.06.2008, 16:28	mathe760	Auf diesen Beitrag antworten »
@mythos: Du hast Recht, da ist mir wohl ein Schreibfehler bzw. Abschreibfehler unterlaufen! Wie peinlich... Bis denn mathe760

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