Komplexer Bruch nach Betrag und Phase aufsplitten

04.06.2008, 17:59	ChristofR	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Bruch nach Betrag und Phase aufsplitten Hallo zusammen, ich möchte den folgenden Bruch: $\begin{eqnarray} G(j\omega)=\frac{2(j\omega-2)^2}{(2+j\omega)^2} \end{eqnarray}$ in Polardarstellung $\begin{eqnarray} G(j\omega) =\mid G(j\omega)\mid * e^{ j\angle(\omega)} \end{eqnarray}$ ) ausdrücken. Für $\begin{eqnarray} \mid G(j\omega)\mid \end{eqnarray}$ habe ich ausgerechnet: $\begin{eqnarray} \mid G(j\omega)\mid = 2 \end{eqnarray}$ Jedoch habe ich probleme beim berechnen von $\begin{eqnarray} \angle(\omega) \end{eqnarray}$ Mein Ergebnis für $\begin{eqnarray} \angle(\omega) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \angle(\omega)= 2atan(\frac{\omega}{-2})+\pi-2 atan(\frac{\omega}{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \angle(\omega)= -4atan(\frac{\omega}{2})+\pi \end{eqnarray}$ Ich habe gerechnet den Winkel des Zählers minus den Winkel des Nenners. Dabei habe ich die Quadrantenlage des Zeigers berücksichtigt(deshalb einmal +pi für den Zeiger der im 2. Quadranten liegt). Das angegebene Ergebnis für diese Aufgabe lautet jedoch: $\begin{eqnarray} \angle(\omega)= -4atan(\frac{\omega}{2}) \end{eqnarray*}$ Ist mein Ergebnis falsch ?
04.06.2008, 20:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn das $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Der Winkel im 2. Quadranten ist nämlich $\begin{eqnarray} \pi - \varphi \end{eqnarray}$ . Beim Multiplizieren mit 2 infolge des Quadrierens ergibt sich $\begin{eqnarray} 2\pi - 2 \varphi \end{eqnarray}$ und nach dem Subtrahieren von $\begin{eqnarray} 2 \varphi \end{eqnarray}$ des Nenners $\begin{eqnarray} 2 \pi - 4 \varphi \end{eqnarray}$ , das entspricht $\begin{eqnarray} -4 \varphi \end{eqnarray}$ . Der komplexe Leitwert $\begin{eqnarray} \underline{G} \end{eqnarray}$ hängt allerdings nur von $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ ab und nicht von $\begin{eqnarray} j \omega \end{eqnarray}$ . Ausserdem ist mir nicht klar, weshalb der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi = \frac{\omega}{2} \end{eqnarray}$ sein soll, aber das war im Prinzip nicht deine Frage. mY+

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