Berechnung des Schwerpunktes im R³ |
| 23.02.2006, 08:58 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Berechnung des Schwerpunktes im R³ habe ein Problem mit dem Berechnen des Schwerpunktes dieser Fläche : M={(x,y,z)€R³|x²+y²+z²<2,x²+y²-z²<0,z>0} Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll. Kann mir da jemand bitte helfen. Also zunächst mach ich ja eine Koordinatentransformation, in diesem Fall wähle ich Zylinderkoordinaten. Dann berechne ich ja das Volumen mit (Integral über 1 * dr dfi dz). Was mach ich dann um die Schwerpunktskoordinaten Xs,Ys und Zs auszurechen?? Da gibt es ja so eine Formel mit (1/V) * Integral X dteta. Aber was setzte ich für X ein und welche Grenzen?? |
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| 23.02.2006, 09:18 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin,moin Vorsicht x²+y²+z²<2 bedeutet das M eine (offene) Kugel mit Radius 2 ist. Also hast du nach der Transformation die Grenzen 0<phi<2pi, 0<theta<pi und 0<r<2. Für das X setzt du die jeweilige Koordinate x,y,z ein, die du dann mit transformierst. Wenn du x einsetzt kommt Xs raus, wenn y dann Ys usw. P.S. : Hab letzte Woche den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, als es um die Transformation für sin(x+y) ging. Ich hatte zig Aufgaben mit 3-dimensionaler Transformation gemacht, so dass ich bei IR^2 nicht auf die Jacobi-Determinante gekommen bin... mfg, phi |
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| 23.02.2006, 09:19 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
hast du dir eine Skizze gemacht? damit und mit der Symmetrie in x und y kann man sehen, das der Schwerpunkt auf der z-Achse liegen muss, das vereinfacht die Rechnung erheblich. Die z-Koordinate des Schwerpunkts berechnet sich aus Das heisst du integrierst über die gesamt Menge, und zwar jeweils die z-Koordinate in jedem Punkt, einfach über die Funktion z mit dxdydz über ganz M integrieren. |
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| 23.02.2006, 09:35 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
also wenn ich jetzt z_S=(1/V)\int_M z dM ausrechnen will nehme ich dann die Grenzen mit denen ich vorher das Volumen berechnet habe (also die Grenzen die ich durch die Koordinatentranformation bekommen habe) ?? |
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| 23.02.2006, 09:38 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig 
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| 23.02.2006, 09:45 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Mathematiker sind ja heute schon früh fleißig am schreiben.Nur nochmal kurz zusammengefasst : Ich transformiere meine Koordinaten, kriege dadurch meine Grenzen und berechne das Volumen mit dem Integral über 1. Um dann den Schwerpunkt z.B. der z-Koordinate zu berechnen mache ich quasi das gleiche nur als Vorfaktor habe ich 1/V vor dem Integral und ich habe dann nicht mehr Integral über 1 sondern in dem Fall Integral über z. RICHTIG ?? |
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| 23.02.2006, 09:54 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
yep. grade weil die Formel der des Volumens so ähnlich ist teilt man dann wieder durch V. (sag ich mir sallop, um die Formel gut merken zu können...) |
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| 23.02.2006, 10:07 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe jetzt mal erst das Volumen ausgerechnet und habe da [2*(wurzel2)/pi]/3 raus . Also umgerechnet ungefähr 2,96192. Kann mir das jemand bestätigen?? |
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| 23.02.2006, 10:09 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Korrektur : [2*Wurzel2*pi]/3 aber diese 2,96192 stimmen |
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| 23.02.2006, 10:14 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Oh mann was ist nur mit los ! Hab eine Grenze falsch gehabt. Also jetzt muss es stimmen habe pi/3 raus!! |
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| 23.02.2006, 10:15 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es müsste mit der üblichen Volumenberechnung für eine Kugel (mit Radius r=2) übereinstimmen, also mit mfg |
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| 23.02.2006, 10:22 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja das kann aber nicht sein da ich ja noch andere Bedingungen habe die ich erfüllen muss z:b z>0 |
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| 23.02.2006, 10:29 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da bei Kugelkoordinaten die Pole und der 0-Meridian rausgenommen werden, wäre eine Kugel deren Mittelpunkt r/2=1 über dem Ursprung liegt mit allen Bedingungen verträglich. mfg Edit: Steht da ausdrücklich was von Fläche? Dann müsste es jeweils = statt < bei den ersten zwei Bedingungen heissen. So wie es da steht, müsste es eine Vollkugel sein. |
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| 23.02.2006, 10:33 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe aber Zylinderkoordinaten gewählt!! Ich versuche das auch über das Integral zu lösen .Ich kriege auch für meine Grenzen : 0<fi<2pi , 0<z<1 , und r habe ich in abhängigkeit von z also 0<r<z. Für dxdydz habe ich ja rdrdzdfi. Und wenn ich das dann ausrechne habe ich pi/3 raus. |
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| 23.02.2006, 10:40 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, aber x²+y²+z²<2 ---> x²+y²+z²<r² ist unzweideutig die Definition einer Kugel. (siehe bei Wikipedia Aber ein Fehler hab ich auch gemacht, merke ich grade: r²=2, also r=Wurzel aus 2. Und da auch alle Werte ...<2 zur Menge gehören muss es eine Vollkugel sein, keine Sphäre/Fläche. Edit: Link eingefügt |
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| 23.02.2006, 10:54 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich versteh ja was du meinst.Aber mein Problem ist das ich das über das Integral lösen muss und ich ja anscheinend nicht das gleiche rausbekomme!Ich glauche irgendwo bei den Grenzen hab ich mich vertan.Ich bekomme ja durch x²+y²+z²<2 heraus r²+z²<2 dann noch aus x²+y²-z²<0 bekomme ich r²<z² also auch r<z wg. r>0 und z>0 und aus z>0 ja z>0. Voraussetzung ist ja das r>0 ist und 0<fi<2pi ist. Die Grenze fi bleibt ja gleich und bei r und z habe ich ja nur die untere Grenze. Eine von diesen Grenzen brauche ich in Abhängigkeit von der anderen aber halt nur eine. Welche ist egal. |
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| 23.02.2006, 11:18 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sobald man die Kugel vor augen hat, ergeben sich die Grenzen von alleine M={(x,y,z)€R³|x²+y²+z²<2,x²+y²-z²<0,z>0} z>0 : heißt, dass die Kugel mindestens um r nach oben versetzt ist. Da wäre es am günstigsten bei der Kugeltransformation, noch eine lineare z-transformation +r hinzuzuaddieren. x²+y²-z²<0 : heißt umgeformt x²+y²<z² nichts anderes als dass die Kugel Kreise als querschnitte hat. x²+y²+z²<2 : verät uns den Radius. , und . |
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| 23.02.2006, 12:28 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok verstehe! Habe jetzt Kugelkoordinaten genommen habe aber für theta 0<theta<pi/4 .wegen der zweiten Bedingungen da kommt ja sin (theta)<cos (theta) in Betrag und das ist ja im Bereich 0<theta<pi der ja maßgebend ist nur zwichen 0<theta<pi/4 und 3pi/4<theta<pi erfüllt wobei die zweite lösung durch die dritte gleichung z>0 wegfällt. Also bleibt ja quasi nur noch als Grenze für theta 0<theta<pi/4. die anderen beiden Grenzen habe ich auch. |
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| 23.02.2006, 12:57 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wegen z>0 muss ja sein, wobei delta und epsilon nur dazu da sind weil z echt grösser als 0 sein soll. Also haben wir die Transformation mit Also muss gelten . Da muss ich auch erst weiter überlegen, was dann für Grenzen daraus folgen, bin mir aber ziemlich sicher das phi und theta wieder die üblichen Kugelgrenzen bekommen. Aber wer weiß, prüfen wir´s nach. mfg, phi. |
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| 23.02.2006, 13:06 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei der Koordinatentransformation nimmst du doch \psi(r, \phi, \theta )=\begin{pmatrix} r \cos \phi \sin \theta \\ r \sin \phi \sin \theta \\ r \cos \theta \end{pmatrix} .Also in der z-Koordinate kein +r oder nicht 
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| 23.02.2006, 14:27 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Doch, das hab ich doch ganz lang und ausführlich erklärt warum. Sonst haben wir Kugelkoordinaten um den Nullpunkt, während wegen z>0 unser Ball oben drüber schwebt. Das würde den Ball total verzerren... |
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| 23.02.2006, 16:11 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich hab mir jetzt mal eine andere Aufgabe angeschaut und gerechnet und wollte wissen ob da jetzt auch was spezielles zu beachten ist : Gesucht ist der Flächeninhalt von F und F ={(x,y,z)€R|x²+y²+z²=4, x²+y²>1, z>1. (>gleich) Muss man hier auch etwas bei der Koordinatentransformation ändern?? |
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| 23.02.2006, 16:37 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ich hab da als Grenzen : 0<phi<2pi , 1<r<Wurzel 2 , 1<z<(Wurzel(4-r²)) |
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| 23.02.2006, 16:56 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
{(x,y,z)€R|x²+y²+z²=4, x²+y²>1, z>1} Wegen ..=4 ist´s eindeutig `ne Fläche. Wieder eine Kugelfläche, aus der aber wegen der zweiten Bedingung etwas rausgeschnitten ist. Aber nach der Transformation darf kein x,y,z mehr zu sehen sein, nur noch phi, theta und r . Und da es eine Fläche ist braucht man über r nicht zu integrieren (konstanter Faktor r=2) , muss aber mit in die Jacobideterminante. |
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| 23.02.2006, 17:45 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Super. Vielen Dank für deine Hilfe.Mach mich dann nochmal an die Aufgabe ran
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| 23.02.2006, 18:04 | balibali | Auf diesen Beitrag antworten » |
Tatsächlich du hattest recht
hab da 4pi((wurzel3)-1) raus und das stimmt mit der Lösung überein. Hab ja schon so langsam an mir selbst gezweifelt
Ist das denn immer so das wenn ich den Flächeninhalt berechnen soll der Radius angegeben sein muss und keine der Grenzen abhängig von einer anderen Variablen sein darf?? |
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| 23.02.2006, 19:40 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
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super! Bei Kugeln und Kreisen ja, allgemein sind das sog. Flächen_zweiter_Ordnung_im_Raum (Dort etwas runter scrollen und nach Flächen... von dort gehen viele links zu Kegel und Co.) Beim Kreis kann man die implizite Gleichung direkt nach y auflösen. +Wurzel aus (r^2-x^2) ist oberer Halbkreis. Beim Kegel ist der Radius Höhe, z.B. von der Höhe abhängig. Bei der Kugel sind die Variablen auch nicht ganz unabhängig. In deinem 2.Beispiel folgt aus z>1, dass 1< x^2+y^2 < 3 sein muss mfg, phi |
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| 24.02.2006, 08:32 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, hab alles noch mal angeschaut. Beim 2. Beispiel handelt es sich um die Mantelfläche einer Kugelscheibe (zone), und es kommt das selbe ohne Integral raus. Beim ersten hab ich glaub ich unsinn erzählt, z>0 und x^2+y^2 < z^2 bedeutet nicht das die Kugel nach oben versetzt ist, sondern das es nur eine Halbsphäre ist. Dann wäre der Schwerpunkt (0,0,r/2) statt (0,0,r) mit r=Wurzel(2). mfg, phi |
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