Rotation einer Ellipse

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Holden Auf diesen Beitrag antworten »
Rotation einer Ellipse
Hallo!
Schreibe im Moment eine Facharbeit über das Thema "Reuleaux-Dreieck".
Hierfür benötige ich jedoch nun die Funktion für eine verschobene und um den Mittelpunkt rotierte Ellipse.
Sie sollte in der Form (x/a)²+(x/b)²=1 sein.

Zentrum ist P(1|1)
a = 1 + 1/sqrt(3)
b= 1 - 1/sqrt(3)
Rotation um 45° gegen den Uhrzeigersinn.

Ich hoffe hier Hilfe zu finden, auch wenn ich die Suche schon fast aufgegeben habe...

Vielen Dank im Vorraus!

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

kennst du die Transformation in polarkoordinaten ?

mfg, phi
 
 
Holden Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt mir prinzipiell gerade recht wenig ..
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schau dir obigen Link und den folgenden : Drehmatrix mal an.

Dann gehen wir so vor:

1.Schritt: Durch x-1 und y-1 verschieben wir den Ursprung des Koordinatensystems in das Zentrum der Ellipse.

2.Schritt: Winkel in die Drehmatrix einsetzen um neue Koordinaten x' und y' auszurechnen bzw. darzustellen.


Beides zusammen sieht dann so aus:



mfg, phi
Holden Auf diesen Beitrag antworten »

Wärst du so nett und schreibst mir eine kartesische Gleichung auf?
Finde mich da nicht ganz zurecht ...
Sind das Brüche, die du da dargestellt hast?
(x'/y')=...?
oder ist das Zeilenweise zu lesen, sodass ich statt x dann x'=(cos45 - sin45)*(x-1) in die normale Ellipsengleichung einsetzen muss?

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es fast richtig intepretiert.

Das ist Vektorschreibweise, also Matrix mal Spaltenvektor gleich Spaltenvektor.



Aufgedröselt heißt das :





Und dann x' und y' in die Ellipsengleichung einsetzen, genau.

mfg, phi
Holden Auf diesen Beitrag antworten »

Also setze ich jetzt x=x' und y=y', löse die daraus resultierende Gleichung nach y auf, erhalte 2 Funktionen, lasse diese Zeichnen und habe eine verschobene, rotierte Ellipse vor mir?
Auf jeden Fall schonmal sehr sehr großen Dank an Dich.

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, müsste so klappen. Eine Gleichung mit +Wurzel ... und eine -Wurzel...

Sag bescheid ob´s funzt.
Holden Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ... es kommt eine Ellipse raus, aber sie ist ca. 45° im Uhrzeigersinn rotiert, nicht gegen den Uhrzeigersinn ...
Hier mal ein Bild davon ...
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert.jpg

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir fast gedacht, bei Wikipedia haben sie die Vorzeichen bei den Sinusen vertauscht, schreiben aber dazu das es so gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Also kein Problem: einfach bei x' das Minus vorm Sinus weg, und beim y' dann minus sinus.
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mich jetzt mal angemeldet ..
So ... die Rotationsrichtung stimmt nun, aber sie ist nicht um 45° rotiert ... das ist etwas mehr.
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert-2.jpg

edit - um zu erläutern, wofür ich diese ellipse brauche ...
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ReuleauxCentroidEllipse_601.gif

Mittelpunkt des Quadrats ist (0|0) und Mittelpunkt der Ellipse ist (1|1)
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja seltsam..hmm. Es gibt zwei Möglichkeiten: ist dein Plotter auch auf Grad eingestellt und nicht vlt. auf Radiant ?

Oder: a und b müssen mit transformiert werden. Ich probier mal rum.
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nett ... Ich wüsste nicht, wie ich den Plotter bei dem Programm MuPAD verändere...
Ein anderes besitze ich leider nicht ...

Wirkt sich die Transformation von a und b denn auf die Rotation der Ellipse aus und nicht nur auf die Form der Ellipse?

edit - hier nochmal ganz kurz meine Eingaben:

solve((cos(45)*(x-1)+sin(45)*(y-1))^2/((1+1/sqrt(3))^2)+((-sin(45))*(x-1)+cos(45)*(y-1))^2/(1-1/sqrt(3))^2=1,y)

um die Gleichung nach y aufzulösen

f:=(3*cos(90)*sqrt(3)-3*sin(90)*sqrt(3)+sqrt(3)*sqrt(-3*x^2+6*x+2*cos(90)*sqrt(3)+1)+3*sin(90)*sqrt(3)*x+6)/(3*cos(90)*sqrt(3)+6)

g:=(3*cos(90)*sqrt(3)-3*sin(90)*sqrt(3)-sqrt(3)*sqrt(-3*x^2+6*x+2*cos(90)*sqrt(3)+1)+3*sin(90)*sqrt(3)*x+6)/(3*cos(90)*sqrt(3)+6)

Ich weiß nicht, ob es dir etwas bringt/sagt, aber ich dachte mir, dass es sicherlich niemandem schadet, wenn ich sie hier kurz schreibe...
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Das probier ich gerade aus. Wie bist du auf den Ausdruck mit cos 90° gekommen?

Edit: super.
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Durch das Auflösen der Gleichung nach y (siehe edit im obigen Post)
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Scheint alles soweit zu stimmen. Da ich bei mir gestern Format C gemacht habe, hab ich im Moment kein Programm mit Solve-Funktion, und per Hand ist doch aufwendiger als ich dachte.

Gib mal x'=((x-1)/a)cos45°+((y-1)/b)sin45° usw. ein, und schau mal was dabei rauskommt.

mfg, phi
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau soll ich eingeben für x' und y'? Tut mir Leid ... bin heut nichtmehr sooo fit :P

edit -
x'=cos45° * ((x-1)/a) + sin45° * ((y-1)/b)
y'=-sin45° * ((x-1)/a) + cos45° * ((y-1)/b)

so?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Yep! Freude
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ...
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert-3.jpg

Kommt nicht hin...

Eingaben:
solve((cos(45)*((x-1)/(1+1/sqrt(3)))+sin(45)*((y-1)/(1-1/sqrt(3))))^2/((1+1/sqrt(3))^2)+((-sin(45))*((x-1)/(1+1/sqrt(3)))+cos(45)*((y-1)/(1-1/sqrt(3))))^2/(1-1/sqrt(3))^2=1,y)



f:=(27*cos(90)-2*sqrt((-(81*x^2)/4)+(81*x)/2+27*cos(90)+18*cos(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+(63/4))+18*cos(90)*sqrt(3)-9*sin(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+9*sin(90)*sqrt(3)*x+36)/(27*cos(90)+18*cos(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+36)


g:=(27*cos(90)+2*sqrt((-(81*x^2)/4)+(81*x)/2+27*cos(90)+18*cos(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+(63/4))+18*cos(90)*sqrt(3)-9*sin(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+9*sin(90)*sqrt(3)*x+36)/(27*cos(90)+18*cos(90)*sqrt(3)+18*sqrt(3)+36)

sind etwas länger geworden :hust:

edit -
Auf dieser Seite stehen unter Punkt (7) und Punkt (11) Gleichungen von Ellipsen. Punkt (7) ist richtig und klappt auch, Punkt (11) jedoch leider nicht, daher Betreibe ich diesen ganzen Aufwand. Möchte noch anmerken, dass ich im 12. Jg. bin verwirrt
http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Und statt der dortigen Parameterform brauchst du es in Funktionsform mit nur einer Variablen. Ich überleg grade wie man von der Parameterform vlt. direkt umformen kann.
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie gesagt, Punkt (7) habe ich bereits erfolgreich fertiggestellt. Punkt (11) ist falsch, wie man auf folgender Zeichnung klar erkennen kann:
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/elipsefalsch.jpg
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab hier ein LINK gefunden, wo steht das man mit "Curve2d" auch in Parameterform plotten kann. Das würde das Umrechnen ersparen. Geht das mit deiner Version?
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wird sicher gehen .. habe die neuste Pro Version ... Nur was genau ist die Parameterform und was soll ich genau eingeben?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

das ist einfach die Form x=..., y=...., also das was auf der Wolframseite nach parametric equations kommt. Bei "curve2d" werden nur die Gleichungen (ohne x= und y=) eingegeben.

Edit: Schau nochmal den Link an
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Das funktioniert nicht ... da kommt eine Kurve raus, die keinen Sinn macht ...
Ich lass es dann mal gut sein für heute ...

Nacht!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

Was hast du genau eingesetzt ?

mfg, phi
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

curve:=plot::Curve2d([1+cos(`β`)+(1/3)*sqrt(3)*sin(`β`),1+sin(`β`)+(1/3)*sqrt(3)*cos(`β`)],`β`=PI/6..PI/3,ViewingBox=[-5..5,-5..5])

plot(curve)

das sind die Eingaben.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Gleichungen (9) und (10) bei Wolfram. Aber da steht dass sie nur das Intervall für Beta betrachten , welches sich um die zentrale Form schlingt.

probier mal statt pi/3 und pi/6 mal von 0 bis 2pi , das wäre dann die volle Ellipse.

mfg, phi.
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert-4.jpg
Voilà!
Vielen Vielen Dank!!!

edit - PI/6..PI/3 ist nicht das Intervall für das Stück unten links, sondern es ist das Stück oben rechts!
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dann hat sich die Ausdauer ja gelohnt. Freude

Werd mich trotzdem demnächst mal mit befassen, warum die Drehmatrix nicht gefunzt hat. Es lag auch nicht an Wikipedia das es in die falsche Richtung drehte, habs mit nem Punkt geprüft.

Toi,toi fürs Projekt!

mfg, phi Wink
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Wär total nett von dir, wenn du Bescheid geben könntest, woran es im Endeffekt lag. Auch wenn ich mich mit dem Thema bis vor ner knappen Woche nie wirklich befasst habe, find ich es sehr sehr interessant.
Daher würde mich doch interessieren, wo der Wurm drin war.

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Sobald ich´s raushabe häng ich es hier an diesen Thread dran. Schau ab und zu vorbei ab nächster Woche...


mfg, phi
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nix rausgefunden? Ich würd den Lösungsweg dann nämlich gleich noch in meiner Facharbeit übernehmen Augenzwinkern

mfG
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Chris,

Ist im Rummel der letzten Woche bei mir leider untergegangen. Ist jetzt wieder im Visier. Falls irgendein anderer Helfer, weiß warum man eine Rotationsmatrix nicht einfach auf eine Ellipse in impliziter Form anwenden darf, kann gerne kommentieren.

mfg, phi
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Würd ich gern, es ist in diesem langen Thread nur leider sehr schwer zu überblicken was wie nicht geklappt hat. Daher sollte das nochmal präzisiert werden - und zwar im Detail. Auf die Details kommt es nämlich bei solchen Sachen an.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse mal alles zusammen:

Die Aufgabenstellung:

Zitat:
Hierfür benötige ich jedoch nun die Funktion für eine verschobene und um den Mittelpunkt rotierte Ellipse.
Sie sollte in der Form (x/a)²+(x/b)²=1 sein.

Zentrum ist P(1|1)
a = 1 + 1/sqrt(3)
b= 1 - 1/sqrt(3)
Rotation um 45° gegen den Uhrzeigersinn.


Meine Idee es mit einer Dreh- und Translations-Matrix zu probieren:

Zitat:
Dann gehen wir so vor:

1.Schritt: Durch x-1 und y-1 verschieben wir den Ursprung des Koordinatensystems in das Zentrum der Ellipse.

2.Schritt: Winkel in die Drehmatrix einsetzen um neue Koordinaten x' und y' auszurechnen bzw. darzustellen.

Beides zusammen sieht dann so aus:



Und was dabei rausgekommen ist:

Zitat:
Original von Holden
Naja ... es kommt eine Ellipse raus, aber sie ist ca. 45° im Uhrzeigersinn rotiert, nicht gegen den Uhrzeigersinn ...
Hier mal ein Bild davon ...
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert.jpg


Und wie wir´s schließlich mit Parameterform gelöst haben:

Zitat:
curve:=plot::Curve2d([1+cos(`β`)+(1/3)*sqrt(3)*sin(`β`),
1+sin(`β`)+(1/3)*sqrt(3)*cos(`β`)],
`β`=PI/6..PI/3,ViewingBox=[-5..5,-5..5])

http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert-4.jpg


Die Frage die offen blieb, war ob und wie man die Dreh/Translationsmatrix auf eine nichtparametrische Ellipsengleichung anwenden kann.


Edit: Kurvenplotgleich gleich mit Latex... (Edit2: hat sich erübrigt)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde hier zwar schon mal diskutiert, aber seid ihr sicher, dass es nicht doch an so einer Geschichte Grad vs. Bogenmaß liegt?

Dieses cos(90)(x) kommt mir in der Hinsicht auch ziemlich seltsam vor - was bedeutet das?

P.S.:
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Das ist ja seltsam..hmm. Es gibt zwei Möglichkeiten: ist dein Plotter auch auf Grad eingestellt und nicht vlt. auf Radiant ?

Holden: Ich wüsste nicht, wie ich den Plotter bei dem Programm MuPAD verändere...


Das dachte ich auch; haben wir nicht wirklich geklärt.

cos(90)(x) habe ich für eine Eigenart von MuPAD gehalten. Vlt. sagt uns Holden was dazu.


EDIT: Ja, es sieht wirklich wie 116,6..° aus!

Ich war mir halt unsicher weil die Ellipsengleichung in implizite Form gegeben war, aber wir haben sie dann nach y umgestellt. Und da müsste eine Transformationsmatrix funktionieren.

Vielen Dank Arthur ! smile
-chr!s- Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Das Ergebnis war eine etwas zu weit rotierte Ellipse.
Nachdem ich das Minus vor dem Sinus vertauscht habe:
=

Ergebnis davon:
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/ellipse45gradrotiert-2.jpg

mfG

edit -
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/eq1.jpg
http://horsti.thegeeks.de/~hilbig/eq2.jpg

Die beiden Gleichungen. Woher cos(90)(x) unter der Zeichnung kommt, keine Ahnung.

Wie ich das Bogenmaß verändere weiß ich leider nicht genau.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber diese Vertauschung war falsch, denn damit haben wir sie tatsächlich nur zig-mal, aber diesmal in die falsche Richtung gedreht.

Vor der Vertauschung der Sinuse, hatten wir eine Drehung in die richtige Richtung, nur eben viel zu weit, nämlich 116.6..° , also ein gutes Stück weiter als 90° .


Falls du also nicht weiß wo man beim Programm von Radiant(Bogenmaß) auf Grad (°) umstellt, mach folgendes:

Gib statt 45° für alpha einfach ein, in



Bin gespannt ob´s jetzt funzt.

mfg, phi
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