Noch ein Problem mit Kurvendiskussionsaufgabe - Seite 2

15.03.2006, 18:04

phi

Ist fast richtig, nur dass du das Ableitungs-Strichelchen vergessen hast , und ein Minus zuviel :

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)= kx^-2 \cdot \ln{x}- kx^-1 \cdot 1/x \end{eqnarray*}$

(könnte sonst böse Verwechslungen geben! )

15.03.2006, 18:38

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie fange ich nun eigentlich am besten an um diese Aufgabe zu lösen?

15.03.2006, 19:07

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie üblich 1. Ableitung 0 setzen. Für Wendepunkt die 2. Ableitung 0 setzen, und 3.Ableitung prüfen.

mfg, phi

16.03.2006, 16:00

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

ist die 1. Ableitung wirklich richtig so??
Weil ich weiß nicht was ich machen muss! $\begin{eqnarray*} kx^{-1} \end{eqnarray*}$ ausklammern? Nein oder??

$\begin{eqnarray*} 0 = kx^{-2} \cdot \ln{x}-kx^{-1} \cdot 1/x \end{eqnarray*}$

16.03.2006, 18:29

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt so. Bevor du´s so aufräumst, dass nur ein Bruch da steht, mach gleich noch die 2.Ableitung.

Und dann die Nullstelle des Zählers der 1.Ableitung finden. (Jetzt wo du fertig ableiten bist, kannst du die negativen Potenzen wieder unterm Bruchstrich schreiben)

mfg, phi

13.04.2006, 08:38

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das die 2, Ableitung davon?

f´´(x)= (-2(kx)^-3) * ln x + kx^-2 * 1/x

13.04.2006, 08:58

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0 = kx^-2 \cdot \ln{x}- kx^-1 \cdot 1/x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} kx^-1 \cdot \ 1/x = kx^-2 \cdot \ ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/x^2 \cdot \ 1/x = 1/x^3 \cdot \ ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1/x^3 = 1/ x^3 \cdot \ lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 10 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig??

13.04.2006, 12:12

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine 2. Ableitung kann ich nicht wirklich lesen, so wie´s da steht stimmt es nicht.

Ausnahmsweise, zur Orientierung, sind die ersten beiden Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f'_k(x)= kx^-2 \cdot \ln(x)- kx^{-2}=\frac{\ln(x)-1}{kx^2}=\frac{\ln(x)}{kx^2}-\frac{1}{kx^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_k(x)= \frac{1-2 \ln(x)}{kx^3}+\frac{2}{kx^3} \end{eqnarray*}$

Von deinen letzten Ausführungen ist richtig nur

$\begin{eqnarray*} kx^-1 \cdot \ 1/x = kx^-2 \cdot \ ln x \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 1 = ln x \end{eqnarray*}$ ist z.B. $\begin{eqnarray*} x = e \end{eqnarray*}$

x=10 würde nur stimmen, wenn du den 10-er Logarithmus hast. Aber ln ist der natürliche.

Aber: Nicht aufgeben, das wird schon! smile

mfg, phi

13.04.2006, 13:11

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0 = ln x - 1 \end{eqnarray*}$ Vielen Dank!!

Um nun die x der ersten Ableitung herauszubekommen, multipliziere ich nun mit $\begin{eqnarray*} kx^2 \end{eqnarray*}$ nach dem ich Null gesetzt habe??

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{\ln(x)}{kx^2}-\frac{1}{kx^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = e \end{eqnarray*}$

Stimmt das nun wenigstens??

Ich schlag mich nun schon bestimmt 2 Monate mit dieser BElegarbeit rum! Ich komm kaum weiter. Ende des Monats muss ich sie abgeben und mir fehlt noch einiges! traurig

13.04.2006, 16:27

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Yep, stimmt. Siehtman auch am Plot: bei 2.7... werden alle Kurven entweder minimal oder maximal.

Bleib am Ball, dann klappt das schon.. Freude

(muss mich auch erst nochmal in den Thread einlesen...)

Edit: Ja, damit haben wir gezeigt, das alle Extrema auf einer zur y-Achse parallelen Gerade liegen.

Das Gleiche musst du nur noch für die Wendepunkte machen.

mfg, phi

14.04.2006, 08:43

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Da brauch ich noch die 3. Ableitung? Oder?

Warum hab ich das nun nachgewießen? Hab doch noch keine Gleichung, dafür?

Habe nun für den Extrempunkt folgende Koordinaten errechnet:

(e/ 2/10k)

Bezieht sich die Frage nach den Extrempunkten auf den abgebildeten Graphen`? Weil "Berechne sie die Koordinaten des lokalen Extrempunktes und die des Wendepunktes von $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ "

Muss ich nucn die Koordinaten ausrechnen wenn k 0,2 ist?

14.04.2006, 09:15

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

für den wendepunkt brauchst du eigentlich nur die 2. ableitung

f''(x)=0
dann muss für den errechneten wert x, das vorzeichen in der umgebung von x sich ändern...

oder es gilt einfach f'''(x) ungleich 0

dann brauchst du auch die 3. ableitung=)

14.04.2006, 09:58

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

moin, moin,

....alle Extrema auf einer zur y-Achse parallelen Gerade liegen.

"Sieht man auch am Plot: bei e=2.718... werden alle Kurven entweder minimal oder maximal"

Frage: Hängt die Extremstelle $\begin{eqnarray*} x_E = e \end{eqnarray*}$ von k ab ?

Zitat:

Original von Milchshake

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0=\frac{\ln(x)}{kx^2}-\frac{1}{kx^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_E = e \end{eqnarray*}$

Nicht eine Gleichung beschreibt die Antwort, sondern eine Lösungsmenge von Punkten....

mfg, phi smile

PS: Am Plot sieht man übrigens auch, was für x=0 und x gegen Unendlich passiert..

14.04.2006, 10:30

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, nur in der Aufgabenstellung steht das ich begründen soll das alle EP´s und Wp´s auf einer Paralellen zur y-Achse liegen und ich soll die Gleichung angeben!

Gleichung ist dann demzufolge $\begin{eqnarray*} x_E = e \end{eqnarray*}$ l

Nur die Begründung!??

Muss für die Wendepunkte die 2. Ableitung Nulssetzen um X werte herauszu bekommen Oder? stimmt die allgemeine Koordinate der EP oben?

14.04.2006, 12:21

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Als Koordinatenform einer Geraden wäre das so in Ordnung. Begründen kannst du es über die Funktionswerte $\begin{eqnarray*} f_k(e)= extrema(f) \end{eqnarray*}$ , die für verschiedene k verschieden sind, aber alle auf der Geraden x=e liegen.

Du kannst auch diese Gerade in Parameterform angeben (Bonuspunkt?) . Dazu nimmst du einen Stützpunkt der garantiert auf g liegt (Nullstelle z.B) und als Richtungsvektor ...

"Muss für die Wendepunkte die 2. Ableitung Nullsetzen um $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ herauszu bekommen Oder?"

Yep. das ist die notwendige Bedingung. Hinreichende Bedingung ist das f''' nicht Null ist.

mfg, phi

15.04.2006, 08:36

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann würde die X Koordinate der Wendepunkte bei $\begin{eqnarray*} x = e^{3/2} \end{eqnarray*}$ liegen.

Also $\begin{eqnarray*} x = 4,48 \end{eqnarray*}$ !

Die Wendepunkte liegen also bei (4,48/ -0,31 k)

Stimmt nun die allgemeine Koordinate der Extrempunkte.

Eigentlich muss ich doch noch durch einsetzten der Lösung aus der 1. Ableitung in die 2. Ableitung nachweißen obs nun ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist. Muss ich das hier auch machen, oder ist es hier nicht von bedeutung. Da es ja eigentlich egal ist, weil die Gleichung für die Extrempunkte ja gegeben ist und nicht nach einem NAchweiß nach der Art der EP gefragt ist!??

edit: gesamten Exponent in geschweifte Klammer gesetzt

15.04.2006, 18:40

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Der x-Wert stimmt, aber f(x) muss abgerundet =-0,3347 k sein...

Zitat:

Original von phi

"Muss für die Wendepunkte die 2. Ableitung Nullsetzen um $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ herauszu bekommen Oder?"

Yep. das ist die notwendige Bedingung. Hinreichende Bedingung ist das f''' nicht Null ist.

Du musst also zumindest zeigen dass die 3. Ableitung nicht 0 ist. Und für welche x dann f'''(x) kleiner bzw. größer als 0 sind ist doch ganz einfach.

(Bei den Extremwerten ebenfalls)

PS: du musst ein bischen Tempo üben... und wenn du Fragen hast, dann frage lieber im Stundentakt als im Tagestakt. Denn beim Abi löst man so eine Aufgabe in 25 Minuten. Freude

mfg, phi

16.04.2006, 08:07

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bekomm die 3. Ableitung nicht hin... traurig

Ich komme immer auf einen ewig langen Term...

Wegen Geschwindigkeit: Kann abends nicht ins I-net, und du siehst ja, du warst gestern über den Tag nicht online und keiner hilft mir hier weiter... wie soll ich da Geschwindigkeit üben, ich bin ein Ahnungsloser, haben das noch nicht mal so richtig behandelt... steht aber noch bevor... Naja wird schon hinhauen... Freude

16.04.2006, 10:47

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Also so lang wird der Term auch nicht.

Ich mach mal den ersten Schritt:

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)=\frac{3-2ln(x)}{kx^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_k'''(x)= \frac{-\frac{2}{x}kx^3-((3-2ln(x))\cdot3kx^2)}{k^2x^6} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} -kx^2 \end{eqnarray*}$ ausklammern und zusammenfassen und du erhälst einen recht einfachen Term.

Gruß Björn

16.04.2006, 12:25

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Frohe Ostern !! Tanzen

Im Falle wenn im Nenner nur Potenzen von x stehen, und zudem im Zähler eine Summe mit einer Konstanten (hier +3) bietet sich es auch an den Bruch in zwei Brüche aufzusplitten, und auf den zweiten Term mit die Produktregel anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)=\frac{3-2ln(x)}{kx^3}=\frac{3}{kx^3}-\frac{2ln(x)}{kx^3}= \\\\ \frac{3}{k}x^{-3}-\frac{2}{k}ln(x)\cdot x^{-3} \end{eqnarray*}$

Damit also:

$\begin{eqnarray*} f_k'''(x)= \\\\ \frac{3 \cdot 3}{k}x^{-4}-\frac{2}{k}(u'v+uv') \end{eqnarray*}$

mfg, phi smile

16.04.2006, 12:56

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab jetzt $\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{- 9}{k}x^{-4} -\frac{2}{k}(\frac{x^3}{x}+3 x^{-4} ln x) \end{eqnarray*}$

heraus. hab aber so ein schlechtes GEfühl dabei...

16.04.2006, 13:16

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube tu vertust dich etwas mit den Vorzeichen:

Den ersten Term hast du richtig abgeleitet.
Die (noch nicht zusammengefasste) Ableitung des zweiten Terms lautet:

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{k}( \frac{x^{-3}}{x}+ln(x) \cdot (-3x^{-4})) \end{eqnarray*}$

Siehst du wo dein Fehler liegt?

Gruß Björn

16.04.2006, 13:48

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das jetzt nun richtig?

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{- 9}{k}x^{-4} -\frac{2x^{-3}}{kx}+ (\frac{6x^{-4}}{k} * ln x) \end{eqnarray*}$

16.04.2006, 14:09

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Jawoll

Das kann man jetzt noch etwas schöner schreiben:

$\begin{eqnarray*} f_k'''(x)=\frac{6ln(x)-11}{kx^4} \end{eqnarray*}$

16.04.2006, 17:33

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

So und jetzt zur Kontrolle einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f'''(e^{3/2})=-\frac{32}{81k} \end{eqnarray*}$

...und jetzt überlegen: für welche k ist f'''<0 und für welche k ist f'''>0 ?

mfg, phi

17.04.2006, 08:53

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Cool Danke!

Für k < 0 is f´´´(x) >0

und für k>0 is f´´´ (x) < 0.

Also das sagt mir jetzt das für die jeweiligen k werte dann ein Wendepunkt vorliegt.

Was ist wenn k - 81 ist? Dann ist das eine Polstelle oder?

17.04.2006, 09:08

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

für k=-81 ist f'''(x)>0

nur für k=0 wirds kritisch!

17.04.2006, 09:20

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwirrt mich jetzt!

Was sagt das denn jetzt nur aus, ob nun der Term negativ oder positiv nach einsetzten von k wird?

17.04.2006, 09:20

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Für k = -81 wäre f'''(xw) = 1/6561 > 0 (mal nicht plus...)

Jedenfalls gilt

$\begin{eqnarray*} f'''\neq 0 : \forall k \end{eqnarray*}$

Edit: Schau mal einfach die Definition des Wendepunkts an. Und schau dir den Graphen oben an; was passiert dort für pos./neg. k ?

mfg, phi

http://www.world-of-smilies.com/html/images/smilies/ostern/o_3.gif

17.04.2006, 09:44

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Habs auch mal in meinem GTR eingegeben. Man sieht schon das wenn k größer Null ist irgendwie nen wechseln von links anch rechtgekrümmt vorliegt und bei k kleiner Null von rechts nach linksgekrümmt.

Lieg ich da richtig in der Annahme?

17.04.2006, 09:48

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Yep, stimmt. Aber du kannst dich bei der Definition bei Wikipedia ja selbst überzeugen. Freude

17.04.2006, 09:59

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

!!

Nur noch kurz paar Frage.

Wie bringe ich das zu Papier? mit dem links gekrümmt und so?

Eigentlich haben wir doch auch nicht gezeigt das alle Wendepunkten auf einer paralellen zur y-Achse liegen! Oder?

17.04.2006, 10:11

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn das mit der krümmung nicht verlangt ist, brauchst du das auch nicht aufschreiben...
ansonsten kannst du ja schreiben: Linkskurve für ...
Rechtskurve für...

17.04.2006, 10:13

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

"Für k < 0 ist f´´´(x) >0, also liegt ein Wechsel der Krümmung zwischen ... und ... vor." usw.

Parallel zur y-Achse, heißt doch dass alle Punkte denselben x-Wert haben (genau wie oben bei den Extrempunkten). Die Wendepunkte sind alle von der Form xkw(e^(3/2) ; f(e^(3/2) )) . Nur der y-Wert hängt von k ab.

@marci: spätestens beim Abi gehört das dazu, also früh übt sich...

mfg, phi

http://www.world-of-smilies.com/html/images/smilies/ostern/o_3.gif

17.04.2006, 10:16

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

@phi: also ich hab dieses jahr abi gemacht, und auf sowas wurden wir nicht "geschult"...ok es sieht natürlich besser aus, aber wenn man keine verwendung dafür hat, kann man es ja weglassen...

17.04.2006, 10:28

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank euch allen! Gott

Besonders phi, hast mir extrem geholfen!

Hätten wir diese Aufgabe also abgeschlossen! Prost

Danke vielmals!

Is glaub seit langen der längste threat im Analysis Forum geworden! Big Laugh

18.04.2006, 09:44

Milchshake

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo noch mal!

Wenn ich in die 3. Ableitung $\begin{eqnarray*} f_k'''(x)=\frac{6ln(x)-11}{kx^4} \end{eqnarray*}$

den x-wert einsetzte

$\begin{eqnarray*} f'''(e^{3/2})=-\frac{32}{81k} \end{eqnarray*}$ ( So hats Phi ausgerechnet)

komm ich aber auf $\begin{eqnarray*} \frac {-2}{403,428...k} \end{eqnarray*}$

Wo könnte mein Fehler sein?

bei $\begin{eqnarray*} ln ( e^{3/2}) \end{eqnarray*}$ bekomm ich 1,5 heraus. das mal 6 ist 9. Und das minus 11 ist schon mal -2!

Und $\begin{eqnarray*} e^{3/2} = 4,48^4= 403,... \end{eqnarray*}$ also wo is mein Fehler?

18.04.2006, 17:09

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Milkshake,

Deine Lösung ist richtig, der Fehler liegt auf meiner Seite ! Da geb ich mir gleich mal selber Forum-Kloppe: Forum Kloppe