Symmetriegruppen eines regelmäßigen Sechsecks

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Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetriegruppen eines regelmäßigen Sechsecks
Hallo,

kleines Problem: Vorlesung kommt in LinAlg nicht hinter dem Tutorium hinterher -> keine Ahnung.

Aufgabe: Sei (G6,o) die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen Sechsecks.
In der Vorlesung wurden die Untergruppen von G6 mit 1,2,3 und 4 Elementen angegeben (von wegen!!).
Außerdem wurde gezeigt, dass die Gruppe der Drehungen R6 eine Untergruppe mit sechs Elementen ist. (das ist ja ok)

Zeigt, dass noch genau zwei weitere Untergruppe von G6 mit sechs Elementen gibt (Originaltext). Wie sehen diese aus?

Würde mich sehr freuen, wenn bis spätestens Mittwoch abend eine (mehr oder minder) ausführliche Lösung bereitstünde, denn wenn die Donnerstagsvorlesung diese Inhalte eine halbe Stunde vor dem Tutorium verbreitet, ist es zu spät.

Danke im Voraus!
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

So, bin jetzt angemeldet, auf dass mir niemand deshalb die Hilfe verwährt Augenzwinkern

Ich habe nun bereits Stunden mit der Suche nach Gruppentheorie und Symmetriegruppen online verbracht, doch nirgens Anhaltspunkte gefunden, die mich weitergebracht hätten.
Morgen in die Bibliothek, aber ich weiß halt nicht, ob ich da was finde...mal gucken. unglücklich
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn schon die beiden Untergruppen gefunden? Der Nachweis, dass das die einzigen sind, ist dann der zweite Schritt.

Ist diese Gruppe nicht genau die Diedergruppe D_12? (gesprochen "di-eder-gruppe", von "zwei-flächner")
Ich kenn deren Untergruppen zwar auch nicht, aber die Stichworte "dihedral group" und "diedergruppe" werden dir vielleicht weiterhelfen.

Ich vermute, dass eine der gesuchten Untergruppen von einer 1/3-Drehung und einer Spiegelung erzeugt wird. Das ergäbe die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks.

Gruss,
SirJective
sokol22 Auf diesen Beitrag antworten »

hi Fallen Angel.

bist du auf der TU Berlin?

Falls ja, so wurden die Untergruppen in der Vorlesung angegeben:

Mit einem Element:

{D0}

Mit 2 Elementen:

{D0, S4 }

Mit 3 Elementen:

{D0, D2, D4}

Mit 4 Elementen:

{D0, D3, S0, S3}

Mit 6 Elementen:

{D0, D1, D2, D3 D4, D5, D6}


Die restlichen zwei sind gesucht, aber nicht sehr schwer zu finden.
der Beweis ist miener meinung nach, acu nicht besonders schwer.

Falls du von der TU bist. Hast du schon die 3. Aufgabe gemacht? Mit dem inversen Element.


mein überlegung scheitert an der tatsache, das ich zeigen soll, dass die gleichung:

a^3 + 4*c^3 + 2*b^3 - 6*a*b*c = 0

für a,b,c element aus Q. abgesehen von der trivialen lösung, nicht lösbar ist!


kann mir da jemand weiterhelfen??!!
sokol22 Auf diesen Beitrag antworten »

die anderen zwei 6 elementige gruppen sind meiner meinung nach:

{D0, D2, D4, S1, S3, S5}

{D0, D2, D4, S2, S4, S0}

der nachweis, das es die einzigen gruppen sind:

eine gruppe mit

5 Drehungen und einer Spiegelung, nicht möglich, da mit 5 Ds auch ein sechstes D erzeugbar ist.

4 Drehungen + 2 Spiegelungen, gleiche Begründung.

5 Spiegelungen + drehung (D0) nicht möglich, da 5 Spiegelungen weitere Ds erzeugen können.

4 spiegelungen + 2 drehungen, gleiche Begründung.

das bedeutet nun, das die restlichen Gruppen. nur mit
3 Spiegelungen + 3 drehungen möglich sind!

der rest des beweises verläuft analog. falls ich es posten soll. bitte melden.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt Ist wohl der große Nachteil, wenn man nie Gruppentheorie hatte. Augenzwinkern

1.: Bestätigung Augenzwinkern
2.: Partner zugeteilt bekommen und der kann nichts /ihm ist egal/ ist zu faul.

Vermutung zu deinem Problem: (p:=q^-1) Setzt man nun einfach bei "p"=1/q=..... ein und löst nach einer Variable auf, so erhält man eine Variable, die von den anderen beiden abhängig ist. Dies kann man wiederum in altgewohnter Manier als Funktionsschar interpretieren und Nullstellen ermitteln.
Hab's jetzt nicht gemacht, weil zu wenig Zeit da ist im Moment, sollte aber so zu einer eindeutigen Lösung zu kommen sein, hoffe ich. verwirrt
Moooment...geht nur unter der Annahme, dass eine der Variablen null ist, oder? Weiß jetzt auch nicht, wie es da mit Gleichsetzungen etc. aussieht und ist heute schrecklich anstrengend gewesen. Hoffe, ist wenigstens kein allzu abwegiger Gedanke.

Zu Deiner Gleichung: Warum nachweisen, dass nur die triviale Lösung gilt? Stimmt die Gleichung, hat sie zwangsweise nur eine Lösung, da nicht mehr Inverse möglich sind, oder ist das ein herausgerissenes Teilargument gewesen?

PS: Ja, ich bin im Moment mathetechnisch mangels Quellen nicht grad auf der Höhe und ja, ich bräuchte unbedingt einen vollständigen Beweis, bitte.

Vielleicht lichtet sich das Chaos im Kopf dann um ein weiteres Stück. Hilfe Augenzwinkern
 
 
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt mal, ist in der Multiplikation abgeschlossen?

Mein Problem: Ich habe := definiert (ist das so richtig?) und dementsprechend bei der Prüfung der Abgeschlossenheit von (;*) herausbekommen:

.

Und ist ja nicht , was die Abgeschlossenheit widerlegen würde. verwirrt
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sicher ist das abgeschlossen bzgl. Multiplikation.
Du musst nicht (!) schauen, dass das Produkt von Elementen wieder in Q liegt, sondern dass es wieder in liegt. Und das tuts doch.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Schon klar, aber müsste nicht die Form des Produktes wieder auf die Definition mit zurückzuführen sein? Die Summe müsste also auch sein, ist sie aber aufgrund des irrationalen Summanden nicht, oder lieg ich da falsch? ( Kotzen )
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Da fällt mir auf, dass dein nicht stimmt. Daran liegt es wohl auch, dass du nicht weiterkommst. Du brauchst ja auch in deinem Ring, d.h. die Elemente mit a,b,c aus Q sind genau der Ring.
Fallen_Angel Auf diesen Beitrag antworten »

Gott Vielen Dank, jetzt geht's natürlich!

Dann freu ich mich jetzt schonmal auf die Bestimmung der Inversen Augenzwinkern Big Laugh
sokol22 Auf diesen Beitrag antworten »

dei heutige Erklärung von Andreas, der die Übung leitet:

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Hallo liebe Studenten,

hier noch einmal die in der Uebung erwaehnten Hinweise zum 3. Hausaufgabenblatt:

Aufgabe 24
Zu zeigen ist nur:

Zn ist nullteilerfrei <=> n ist Primzahl.

Nicht zu zeigen ist , dass Zn dann auch ein Koerper ist.

Aufgabe 25 b)

Da Q[3. Wurzel (2)] Teilmenge von R ist, vererben sich Assoziativ-, Kommutativ- und Distributiv-Gesetze aus R, sind also nicht zu zeigen.

Es bleiben also "nur" Abgeschlossenheit von Addition und Multiplikation sowie die
Existenz der jeweiligen neutralen und inversen Elemente zu zeigen.

Das Multiplikativ-Inverse 1/q will von euch aber bestimmt keiner ausrechnen. Deshalb braucht ihr dafuer nur ein Lineares Gleichungssytem aufstellen und dann sagen, dass man daraus 1/q errechnen kann.
Wer das Inverse tatsaechlich richtig ausrechnet, hat sich 2 Bonus-(Fleiss-)Punkte verdient!

Viele Gruesse
Andreas


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meine Gleichung war ein herausgerissenes Argument.

und zwar falls man das Lineare Gleichungssystem aufstellt und mit der Cramerschen Regel nach den zu suchenden Variablen auflöst. Kommt im Nenner diese Gleichung, und die muss natürlich ungleich 0 sein, damit die Eindeutigkeit gewährleistet ist!
sokol22 Auf diesen Beitrag antworten »

BEWEIS. Fortsetzung.

Gruppe muss also 3 drehungen, 3 Spiegelungen haben.

D0 als neutrales immer vorhanden.

Überlegung. es müssen zwei weitere Ds da sein. *= nur Verknüpfung, nicht die Miltiplikation!

D1 unmöglich, da D1*D1=D2 D2*D1=D3 etc ... alle Ds. Widerspruch.
D5 analog zu D1.
Falls D2 neben D0 in der Gruppe ist, so ergibt sich:

D2*D2=D4 D4*D2=D0 -> 3 Drehungen!

D3 kann in der Gruppe nicht sein, da es verknüpft mit D2 oder D4 (eins von beiden muss in der Gruppe sein) alles anderen Ds erzeugt.

Also könne von den Ds nur D0, D2, D4 es sein.

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jetzt kommt man zu den Spiegelungen.

Annahme: S1 ist in der Gruppe.

D2*S1=S3 D4*S1=S5 S1, S2, S5 wären dann in der gruppe.

stelle nun eine verknüpfungstabelle auf. man sieht es ist eine gruppe.

Annahme: S2 ist in der Gruppe. es ergeben sich analog wie vorhin, dass auch S4, S0 in der Gruppe sind.

analoge Anahme dass S3, S4, S5 in der gruppe sind, führen zu den gleichen gruppen.
damit ist gezeigt dass es nur diese gruppen existieren. also drei insgesamt.
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