Drehung und Spiegelung

05.06.2008, 12:46

murxhu

Drehung und Spiegelung

Ich verstehe eine Anwendungsaufgabe aus der Vorlesung nicht. Dabei handelt es sich um eine orthogonale Matrix, die eine Abbildung beschreibt, für die gilt det(A)=1.
Sprich einer Drehspiegelung.
Nun hat der Professor, uns anhand einer gegebenen Matrix vorgerechnet, wie man die DrehAchse bestimmt, denn Drehwinkel, die Drehrichtung und die Spiegelungsebene.
Doch kann ich seine Rechnung nicht nach voll ziehen.
$\begin{eqnarray*} A:= \begin{pmatrix} \frac{3}{7} & \frac{2}{7} & \frac{6}{7} \\ - \frac{6}{7} & \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{6}{7} & - \frac{3}{7} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Drehachsenbestimmung versteh ich ja noch:
$\begin{eqnarray*} L_A = Ker (A + \mathbb{E}_3) \end{eqnarray*}$ (da es eine Drehspiegelung ist)
Nach Gauß Jordan, erhält er nun: $\begin{eqnarray*} L_A = span \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$
So weit so gut, alles verständlich. Doch jetzt fängt er an mit der Bildung einer orientierten orthogonalen Basis zu denn Vektor $\begin{eqnarray*} v:= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Denn Rechenweg zeigt er nicht, aber die Lösung: $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$
Aber was ist an ihr orientiert? A ist negativ orientiert, diese Basis nun posetiv orientiert. War das so gewollt? (kanns mir nur durch die Spiegelung erklären) Und wie hat er denn nun das berechnet dass eine posetiv orientierte Basis herraus kommt.

Aber nun gut es geht weiter.Anhand dieser Basis bestimmte er, dass nun die Ebene die orthogonal zu $\begin{eqnarray*} L_A \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} L'_A = span_\mathbb{R} \{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ (versteh ich auch noch)
Jetzt wird es aber verdammt haarig für mich:
Einfach so steht in der folgenden Zeile: $\begin{eqnarray*} A \cdot w_1 = \frac{5}{7} \cdot w_1 + \frac{4}{7} \cdot w_2 \end{eqnarray*}$
Wobei ich über die ws nur spekulieren kann. Soweit ich weiß keine näheren Angaben gemacht und im Script, stand auch nichts.
Dann hat er dazu folgende Angaben gemacht:
a.) $\begin{eqnarray*} \{w_1 , Aw_2 \}\in L'_A \end{eqnarray*}$ Wobei $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Untermenge bedeuten sollte. Das soll zudem jetzt die Basis von $\begin{eqnarray*} L'_A \end{eqnarray*}$ sein.
b.) Übergangsmatrix zu $\begin{eqnarray*} \{ w_1 , w_2 \} \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{7}\\ 0 & \frac{4}{7} \end{pmatrix} =C \end{eqnarray*}$
c.) det (C) >0 => orientierte Basis

Diesen Abschnitt habe ich null komma null verstanden und selbst nach durch forsten das Scriptes keine Promille mehr.

Dann kam die Winkelberechnung:
$\begin{eqnarray*} cos \sphericalangle (w_1 , Aw_1) =\frac{<w_1 , Aw_1>}{\| w_1 \| \| Aw_1 \|} = \frac{5}{7} \end{eqnarray*}$
Das versteh ich hier wieder. Da scheinbar $\begin{eqnarray*} < w_1 , w_2 > = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Leider ist er uns dann noch schuldig geblieben wie man die Spiegelungsebene berechnet und wie nun die Drehrichtung ist.

Meine Annahme: Spiegelungsebene ist $\begin{eqnarray*} L'_A \end{eqnarray*}$
Drehrichtung ist (da posetiver Winkel+ posetive orientierung): links?

Könnt ihr mir weiter helfen?

Mir würden schon Links zu anderen Beispielaufgaben helfen, jedoch fand ich weder über Bord-Suche noch über google etwas.

Gruß murx

06.06.2008, 16:55

murxhu

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Hm ich hab es langsam verstanden.
$\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ sind die orthogonalen Vektoren zu meiner Drehachse. Die hat er leider bloß nicht definiert, was mir das Leben unnötig schwieriger macht. Dann wählte er $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ als den Vektor, der gedreht werden sollte durch MAtrix A. Wir wissen, dass das Ergebis von $\begin{eqnarray*} A \cdot w_1 \end{eqnarray*}$ enthalten ist in der orthogonalen Ebene von der Drehachse,also lässt sich dieses als Kombination von $\begin{eqnarray*} w_ 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Dann die Winkelberechnung die bereits klar war.

Letzte zwei Fragen zu meinem Megapost:
1.) Die Spiegelachse, ist in diesem die Fall die orthogonale Ebene?
2.) Die Winkel Drehrichtung ist, da Winkel posetiv, links?

Dann noch schnell zu etwas anderem.

Im 2 dimensionalen Raum, sind alle Drehungs und Spiegelungsmatrizen durch
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & \ - sin(\alpha) \\ sin( \alpha) &\ cos(\alpha) \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & \ sin(\alpha) \\ sin( \alpha) &\ -cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ definiert.

Ist es wahr wenn ich der Vorlesung entnehme, dass A eine reine Drehungsmatrix um 0 und B eine reine Spiegelungsmatrix ist um E(B,1) wobei E der Eigenvektor von B zum Eigenwert 1 ist.

Wobei ich letzteres nicht glauben kann und ersteres eigt. leicht nach zu vollziehen ist. Doch stellt sich mir die Frage, ob in dem Fall $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die komplette Drehung ist, oder die Drehung des Vektors v, vor der Spiegelung.

[Edit]
Wenn ich mir so recht überlege, muss B auch eine Drehung beschreiben. Da alpha gegeben ist. Und eine Drehung nach einer Spiegelung für alle vs fest zu schreiben geht nicht.
Soweit richtig?

06.06.2008, 18:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von murxhu
Jetzt wird es aber verdammt haarig für mich:
Einfach so steht in der folgenden Zeile: $\begin{eqnarray*} A \cdot w_1 = \frac{5}{7} \cdot w_1 + \frac{4}{7} \cdot w_2 \end{eqnarray*}$
Wobei ich über die ws nur spekulieren kann. Soweit ich weiß keine näheren Angaben gemacht und im Script, stand auch nichts.

Doch, hat er. An der Tafel stand, dass $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ der zweite und $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ der dritte Vektor der ursprünglichen Orthogonalbasis sein sollen. Und die Gleichung wollte er halt der Zeit wegen nicht nochmal vorrechnen.

Zitat:

Original von murxhu
Dann hat er dazu folgende Angaben gemacht:
a.) $\begin{eqnarray*} \{w_1 , Aw_2 \}\in L'_A \end{eqnarray*}$ Wobei $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Untermenge bedeuten sollte. Das soll zudem jetzt die Basis von $\begin{eqnarray*} L'_A \end{eqnarray*}$ sein.
b.) Übergangsmatrix zu $\begin{eqnarray*} \{ w_1 , w_2 \} \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{7}\\ 0 & \frac{4}{7} \end{pmatrix} =C \end{eqnarray*}$
c.) det (C) >0 => orientierte Basis

Diesen Abschnitt habe ich null komma null verstanden und selbst nach durch forsten das Scriptes keine Promille mehr.

Zunächst stand dort $\begin{eqnarray*} \{w_1,Aw_1\} \end{eqnarray*}$ . Und natürlich gibt es nicht DIE Basis, er hat nur gesagt, dass es eine Basis ist. Und die Übergangsmatrix von der neuen zur ursprünglichen Basis $\begin{eqnarray*} \{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gegeben. Nun war $\begin{eqnarray*} \{w_1,w_2\} \end{eqnarray*}$ eine orientierte Basis in $\begin{eqnarray*} L_A^{\perp} \end{eqnarray*}$ , sodass wegen $\begin{eqnarray*} \det C>0 \end{eqnarray*}$ auch die neue Basis eine orientierte Basis ist. Das ist wichtig für die Winkelberechnung (siehe Definition des Winkels in der Vorlesung zuvor).

Ansonsten: Welches Skript meinst du? Mir ist nicht bekannt, dass wir eines hätten.

Zitat:

Original von murxhu
Leider ist er uns dann noch schuldig geblieben wie man die Spiegelungsebene berechnet und wie nun die Drehrichtung ist.

Meine Annahme: Spiegelungsebene ist $\begin{eqnarray*} L'_A \end{eqnarray*}$
Drehrichtung ist (da posetiver Winkel+ posetive orientierung): links?

Die Spiegelungsebene ist tatsächlich $\begin{eqnarray*} L_A^{\perp} \end{eqnarray*}$ , ja. Das ergibt sich einfach daraus, dass $\begin{eqnarray*} L_A \end{eqnarray*}$ selbst der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist.
Die Drehung soll immer im mathematisch positiven Sinne ("linksherum") stattfinden. Deswegen muss man am Anfang auch diese orientierte Basis wählen, wie er sie gewählt hat. Die Orientierung ist hierbei durch die Standardbasis gegeben, damit man ein Koordinatensystem bekommt, was genauso orientiert ist.

Zitat:

Original von murxhu
Ist es wahr wenn ich der Vorlesung entnehme, dass A eine reine Drehungsmatrix um 0 und B eine reine Spiegelungsmatrix ist um E(B,1) wobei E der Eigenvektor von B zum Eigenwert 1 ist.

Ja, das ist wahr. Deinen Edit verstehe ich nicht. Wie meinst du das?

Zitat:

Original von murxhu
Wobei ich letzteres nicht glauben kann und ersteres eigt. leicht nach zu vollziehen ist. Doch stellt sich mir die Frage, ob in dem Fall $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die komplette Drehung ist, oder die Drehung des Vektors v, vor der Spiegelung.

Welche Drehung vor welcher Spiegelung? verwirrt

Das zweite ist nur eine Spiegelung. Du kannst es zwar auch als Drehung mit anschließender Spiegelung, also als Drehspiegelung interpretieren, aber das würde es irgendwie nur unnötig komplizierter machen.

07.06.2008, 10:22

murxhu

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Ich danke dir. Du hast nun die aller letzten Zweifel bei mir beseitigt.

Sollte mir aber scheinbar ne Brille besorgen, wenn ich Sachen in der Vorlesung überlese.

Mein Edit war wirklich verwirrend. (auch das kurz davor) Mir war eigentlich klar, dass es eine Spiegelung an einer Achse ist. Aber ein Beispiel was ich die ganze Zeit berechnet hatte, wollte sich nicht an einer Achse Spiegeln lassen. Daher zweifelte ich daran.
Nun mittlerweile weiß ich, dass ich mich verrechnet habe smile

Noch mal ein dickes Danke Schön.

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