Kurvenintegrale

24.02.2006, 14:10

flug_one

Kurvenintegrale

hallo zusammen habe 'ne problem diese Aufgabe zu lösen
wie soll ich am besten vorgehen bzw. den Lösungsweg. Ich habe Null Ahnung. Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Aufgabe:

Gegeben sei
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = e^x + y*z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec r(t) = (ln(t^2),sint,t) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq t\leq 4 \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie

$\begin{eqnarray*} \int_{c}{\nabla f d\vec r} \end{eqnarray*}$

24.02.2006, 14:47

phi

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RE: Kurvenintegrale
zuerst den Gradient von f bestimmen, gibt eine Vektorfunktion. Und dann das Skalarprodukt mit den Ableitungen der Parametrisierten Kurve bilden:

$\begin{eqnarray*} \int_{c}{v d\vec r} = \int_{b}^{a}~v(r(t)) \cdot r'(t) ~dt \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} v=\nabla f \end{eqnarray*}$

mfg

25.02.2006, 19:58

flug_one

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RE: Kurvenintegrale
In diesem Fall ist das Potential bereits vorgegeben und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec r(1)=(1;0;2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec r(4)=(16;4*ln4;16) \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht wie ich weiter machen soll Bitte hilft mir Danke!!!!!!!!! traurig

25.02.2006, 20:14

phi

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Was ist die Ableitung von r ?

Tip: Komponentenweise ableiten.

mfg, phi

25.02.2006, 20:33

flug_one

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RE: Kurvenintegrale
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, kannst du mir helfen und sagen wie das geht auf einfachste weg Ableitung von $\begin{eqnarray*} \vec r \end{eqnarray*}$
Danke!!!!!!!!!

25.02.2006, 20:44

phi

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Okay fangen wir mit was einfachem an : Was ist die Ableitung von sin t ?

Das soll jetzt wirklich keine Beleidigung sein, aber wie bist du denn ins 2. Semester gekommen ohne zu wissen was komponentenweise ableiten bedeutet ?

Wenn du den Weg wirklich gehen willst für den du dich entschieden hast, würde es dir helfen das erste Semester zu wiederholen, weil damit kommst du nicht durch. Wink

Aber wenn du heute und morgen dran bleibst und Schritt für Schritt mitmachst können wir vlt. das allerwichtigste nachholen. Also nicht aufgeben. Freude

Ist wie eine Fremdsprache: man lernt sie nur durch selbst probieren.

Also : Was ist die Ableitung von sin t ?

mfg, phi

25.02.2006, 20:48

flug_one

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cos t

25.02.2006, 20:52

phi

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genau, also Ableitung von t weißt du bestimmt auch. Bleibt nur noch die Ableitung von ln(t^2) . Das geht mit der Kettenregel, also

innere Abl. mal äußere Ableitung.

Merkst du was ? Um einen Vektor r=(x,y,z) abzuleiten, leiten wir jede Richtung einzeln ab , also: r'=(x',y',z') .

Was ist Ableitung von ln(t^2) ?

Edit: Tip: wir brauchen die Ableitung von ln(s) und die von t^2

mfg

25.02.2006, 21:33

flug_one

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wenn ich $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} 2*t \end{eqnarray*}$
aber wenn ich t ableite dann bekomme ich 0 heraus
ist das Richtig?????????????
aber um die klamme abzuleiten $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) \end{eqnarray*}$ habe keine Ahnung
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln (t^2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*t} \end{eqnarray*}$
Ich das ist Richtig????????????
Danke das du mir hilfst

25.02.2006, 21:50

phi

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln (t^2) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2t \frac{1}{t^2}=\frac{1}{2*t} \end{eqnarray*}$ , richtig.

Aber die Ableitung von t ist nicht 0. Stell dir t als Potenz geschrieben vor:

$\begin{eqnarray*} t^1 \end{eqnarray*}$

und leite mit der Potenzregel ab.

Mit f(x,y,z) hatten wir noch gar nicht. Wir sind bei r(t) , und dafür gilt:

Um einen Vektor r=(x,y,z) abzuleiten, leiten wir jede Richtung einzeln ab , also: r'=(x',y',z')

P.S.: Bleib jetzt aber mal dran, nicht wieder ne Stunde mit antworten warten, sonst müssen wir morgen weitermachen.

25.02.2006, 22:59

flug_one

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Wie kommst du auf diese form $\begin{eqnarray*} 2t \frac{1}{t^2} \end{eqnarray*}$
Ich habe es so gerechnet unzwar ich habe mir gesagt $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 2*t \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} ln2*t \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ dann habe ich mir gesagt das $\begin{eqnarray*} ln (t^2) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*t} \end{eqnarray*}$ ist oder?????
und jetzt zu $\begin{eqnarray*} t^1 \end{eqnarray*}$ Abgeleitet ergibt $\begin{eqnarray*} t^{1-1} \end{eqnarray*}$ oder???????????
Danke!!!!!!!!!!!!Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

26.02.2006, 00:24

Leopold

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Das Integral ist wegunabhängig, denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \nabla{f} \end{eqnarray*}$ . Das Integral hat daher den Wert $\begin{eqnarray*} f \left( \vec{r}(4) \right) - f \left( \vec{r}(1) \right) \end{eqnarray*}$ .

26.02.2006, 09:58

phi

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Leopold hat recht, dies ist ein Beispiel für den allgemeinen Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.

Aber erstmal zum Thema Kettenregel (die du so oder so lernen musst):

Innere Ableitung mal äußere Ableitung !

also f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x).

Ich hab mich da vertippt, die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} ln (t^2) \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} 2t \frac{1}{t^2}=\frac{2}{t} \end{eqnarray*}$ , und nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2t} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

26.02.2006, 19:32

flug_one

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Hallo, Danke für die Antworten, ich habe versucht die zu verstehen.
Die Kettenregel habe ich verstanden, jetzt weiß ich wie die Ableitung $\begin{eqnarray*} 2t \frac{1}{t^2}=\frac{2}{t} \end{eqnarray*}$ zustande gekommen ist.
Was wäre jetzt der nächste schritt.

27.02.2006, 09:51

phi

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Zitat:

Original von Leopold
Das Integral ist wegunabhängig, denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \nabla{f} \end{eqnarray*}$ . Das Integral hat daher den Wert $\begin{eqnarray*} f \left( \vec{r}(4) \right) - f \left( \vec{r}(1) \right) \end{eqnarray*}$ .

mfg, phi

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