ESV und GSV Konvergenz

05.06.2008, 15:21

knalli

ESV und GSV Konvergenz

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & a \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Menge aller $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ , so dass
(a) das Gesamtschrittverfahren
(b) das Einzelschrittverfahren
zur Lösung von $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b \in R^2 \end{eqnarray*}$ und alle Startwerte $\begin{eqnarray*} x_0 \in R^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

für max (über alle i) $\begin{eqnarray*} \sum_{i ungleich k}~\frac{\mid a_{ik}\mid}{\mid a_{ii}\mid} \end{eqnarray*}$ kleiner 1 konvergiert das GSV (starkes Zeilensummenkriterium)

Sehe ich das richtig, dass das also immer erfüllt ist, wenn -1 < a < 1 gilt?
Und das wars schon zu a)? Kommt mir viel zu einfach vor

bei b wäre es doch genau das gleich oder sehe ich das falsch?

bin gerade etwas verwirrt Augenzwinkern

05.06.2008, 22:42

knalli

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RE: ESV und GSV Konvergenz
kann mir denn keiner helfen?

05.06.2008, 23:36

tigerbine

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RE: ESV und GSV Konvergenz

Zitat:

Original von tigerbine
Für die Matrix A gelte (ebentuell nach Zeilen- Spaltenvertauschung)

$\begin{eqnarray*} \rho:=\max_{i=1,...,n}~\sum_{k=1 \atop k \neq i}^{n}| \frac{a_{ik}}{a_{ii}}|~<1 \end{eqnarray*}$

Eine andere Schreibweise des Kriteriums wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1 \atop k \neq i}^n~|a_{ik}| < |a_{ii}| \quad \forall~i=1,..,n \end{eqnarray*}$

D.h. die Matrix A ist strikt zeilendiagonal dominant.

Dann gilt:

Das lineare Gleichungssystem Ax=b ist regulär, also eindeutig lösbar.
Die vom GSV und ESV erzeugte folge $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \end{eqnarray*}$ konvergiert für jeden Startpunkt $\begin{eqnarray*} x^{(0)} \end{eqnarray*}$ gegen die theoretische Lösung x.
Der Abstand eines Folgengliedes $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \end{eqnarray*}$ von der Lösung x ist abschätzbar durch:

$\begin{eqnarray*} \max_{i=1,...,n}|x_i^{(k)}-x| \leq \frac{\rho^k}{1-\rho} \cdot \max_{i=1,...,n} | x_i^{(1)}-x_i^{(0)}| \end{eqnarray*}$

Eine Aussage ob GSV oder ESV schneller konvergiert, läßt sich im Allgemeinen nicht treffen. Die Verfahren konvergieren umso besser, je kleiner (mind. < 1) der Spektralradius der Iterationsmatrix M ist.

Deine Matrix hat die Gestalt:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & a \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Naja, das liefert hier eben die beiden Bedingungen

$\begin{eqnarray*} |a| <1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} <1 \end{eqnarray*}$

Damit haben folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} A \in (-1,1) \Rightarrow \text{ESV und GSV konvergieren für alle } x_0 \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, gibt es noch weitere, da imho keine Aussagenäquivalenz hier gilt. Da bin ich aber im Moment überfragt.

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