Extremwertberechnung

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mathe.null Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Hallo,
vieleicht kann mir einer helfen. Ich fang erst an mit Extremwertberechnung.
Aufgabe: Ein Rechteck hat den Umfang u. Bestimme die Rechteckseiten so, dass der Inhalt maximal ist!

Ich habe keinen Schimmer wie ich das rechnen soll. verwirrt
jama Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das kann ja unmöglich die vollständige Aufgabenstellung sein. Die Fläche eines Rechtecks wirst Du ja auch so können ... http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=618&sid=

Gruß,

Jama
 
 
Joda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Hallo,

wie du sicherlich weißt, hängt der Umfang u = 2a + 2b, wobei a und b die Seitenlängen sind, direkt mit dem Flächeninhalt, nämlich A = a *b zusammen.

Deine Aufgabe muß eine Eigenschaft für den Umfang geben, damit die Aufgabe sinnvoll wird.
Beispielsweise soll vielleicht der Umfang möglichst klein sein oder so...
mathe.null Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Hallo

die Aufgabe gibt nur vor, das die Fläche maximal sein soll.
Und wenn ich mich nicht ganz täusche ist die maximale Fläche eines Rechteckes ein Quadrat.

Oder?
Joda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Das stimmt so nicht.

Die Fläche eines beliebigen Rechteckes kann nur in Beziehung auf etwas anderes Maximal sein.
Als beispielsweise auf einen möglichst kleinen Umfang!

Denn ich finde bestimmt irgendein Rechteck dessen Flächeinhalt immer größer ist als der eines von dir vorgegebenen Quadrates!
screamknight Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Das ist alles halb so schwer. Normalerweise würde man bei der Aufgabe einen Umfang nennen. Aber man kann den Umfang U auch einfach als Zahl behandeln.

Flächeninhalt: A(x)=y*x
Umfang: U=2y+2y

man löst den Umfang nach x odery auf und fügt ihn in die Flächeninhaltsformel ein.
also :

y=(U/2)-x

A(x)=((U/2)-x)*x

Nun such man mit der ersten Ableitung nach einem Hochpunkt. Also maximalen Inhalt.
A(x)=(Ux/2)-x²
A'(x)=(U/2)-2x
A''=-2

Ableitung wir nun gleich 0 gesetzt: (U/2)-2x=0
x=U/4

A''(U/4)=-2 <0 damit ein lokales Maximum

Ergebnis wieder in den Umfang eingesetzt U=2(U/4)+2y
y=U/4

Damit ist der maximale Flächeninhalt A(x)=(U/4)*(U/4)

Bedeutet das Rechteck ist ein Quadrat.
Joda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
screamknight, das ist ja schon klar.

Aber du hast dir jetzt die Müge gemacht und anscheinend scheint der Umfang ja gar nicht in Bezug zum Rechteck zu stehen...

So schreibt es die Aufgabe
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber du hast dir jetzt die Müge gemacht und anscheinend scheint der Umfang ja gar nicht in Bezug zum Rechteck zu stehen...

verwirrt verwirrt verwirrt
Und was soll dann DAS heißen?
Zitat:
Ein Rechteck hat den Umfang u.


-- > Screamknight rulez! :]

johko

Dazu als Grundprinzip:
Im Aufgabentext wird angegeben, welche Größe optimiert werden soll. Diese hängt von zwei Variablen ab (hier a und b genannt), deren Definitionsbereiche jeweils vorab ermittelt werden MÜSSEN. Für diese Größe muß die ZIELFUNKTION Z (a,b) aufgestellt werden. Im Resttext versteckt sich eine weitere Funktion, die einen Zusammenhang zwischen a und b liefert. diese heisst NEBENBEDINGUNG und ist am besten in einer Skizze zu finden. Bei der Aufstellung der Nebenbedingungen treten immer die gleichen Methoden auf: Strahlensatz, Satz des Pythagoras, Flächen-, Körper- und Umfangsformeln. Daraus wird eine der beiden Variablen isoliert. Das Ergebnis wird dann in Z eingesetzt, so dass aus Z (a,b) nur noch Z(a oder b ) wird. Dieses Z wird dann mit den Mitteln der Kurvensiskussion untersucht. Man bildet Z´ = 0 und erhält somit die gewünschten Extremwerte davon, aus denen dann alles weitere folgt, was noch gefragt sein könnte.

Wichtig: Liegen die Ergebnisse auch in den zugehörigen Definitionsbereichen?

Variatione: Manchmal kann statt Z auch Z² betrachtet werden.

Beispiele:
1) Welches Rechteck mit dem Umfang U hat den größten Flächeninhalt F?
Zielfunktion ist F(a,b), Nebenbedingung ist U(a,b)
2)Einem Kreis mit dem Radius r soll ein Rechteck mit möglichst großem Umfang einbeschrieben werden.
U(r,x) ist Zielfunktion, die Nebenbedingung liefert der Satz des Pythagoras (Skizze!)
screamknight Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Nur mal ganz rein theoretisch. Es wird ja nicht wirklich Sinn machen, hierbei irgendetwas anderes zu berechnen. Vielleicht hat sich da jemand nur ein bisschen unklar ausgedrückt, als er die Aufgabe gestellt hat.
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Tja - Senden und Empfangen sind manchmal zweierlei!
ICH kenne jedenfalls weitaus undurchsichtigere Aufgabenstellungen.
Aber manchmal mach auch ich mir unnötige Probleme damit. Bei Vollmond, Hungerast oder so... Augenzwinkern

Johko
mathe.null Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertberechnung
Hallo Zusammen,

ich Danke euch allen für Eure Bemühungen. Ich denke
ich kann mit Euern Infos schon eine Menge anfangen und vieleicht
im Untericht mal was sinnvolles von mir geben.

Bis zum nächsten Mal :]
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Hi,

diese Aufgabe liese sich viel eleganter geometrisch lösen.

Falls U=const, dann ist auch

U/2 = Seite1 + Seite2 =constant
F= Seite1*Seite2

Weil U/2 constant ist, lässt es sich als eine fixe Stecke auftragen.
Zeichnet man über dieser Strecke den Thaleskreis und wählt
einen BELIEBIGEN Teilpunkt auf der Strecke a =U/2 aus,
so entspricht die Länge der Senkrechten darüber
( bis zum Thaleskreis hin ) der Höhe H eines rechtwinkligen Dreiecks
mit der Grundlinie U/2

Nach dem Höhensatz gilt:
H² =p*q = Teilstrecke1 * Teilstrecke2 = Seite1*Seite2 = F

Wegen des Halbkreises ist offensichtlich, dass H² genau für
p=q bzw Seite1=Seite2 maximal wird.


Dies ist der geometrische Beweis dafür, dass das Quadrat dasjenige
Rechteck ist, das bei vorgegebenen Umfang, maximale Fläche liefert.


smile


Zitat:
Original von screamknight
Nur mal ganz rein theoretisch. Es wird ja nicht wirklich Sinn machen, hierbei irgendetwas anderes zu berechnen. ...


Ich weiß nicht was 'ihr' habt ??

Für mich ist diese Aufgabe KLIPP und KLAR gestellt
und die Aufgabe ist auch SINNVOLL gestellt !!

... die meisten Einwände dagegen, hingegen falsch Augenzwinkern
.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertberechnung
Zitat:
Original von Poff
Wegen des Halbkreises ist offensichtlich, dass H² genau für
p=q bzw Seite1=Seite2 maximal wird.


Kannst du diese Ausssage auch algebraisch beweisen??

--------------------------------------Edit------------------------------------------------------

Ok, habs selbst geschafft, hatte vorher n Brett vorm Kopf.
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