Dimension einer Matrix

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05.06.2008, 20:12	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension einer Matrix Es ist vielleicht eine blöde Frage, aber ich will lieber auf Nummer sicher gehen. Kann ich eine nxn Matrix erweitern auf (n+1)x(n+1) Matrix, wobei die neu gewonnen Matrixeinträge gleich Null sind. Und wenn ich am Ende im Ergebnis eine Matrix habe, wo die n+1 Spalte und n+1 Zeile =0 ist, kann ich dann sagen, dass ist eine nxn Matrix. Weil dann könnte ich doch gleichermaßen, nxn Matrizen mit (n+1)x(n+1) Matrizen multiplizieren (indem ich nxn auf fülle) oder was noch wichtiger ist, kann ich so etwas addieren. Bsp.: Habe $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 &9 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0 &0&0 \\ 0 &0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &2&0 \\ 1 &9&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 &2&0 \\ 1 &9&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 &0&0 \\ 0 &0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 &9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wäre echt nett, wenn es mir irgendwer beantworten könnte. Gruß murx
05.06.2008, 20:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist zumindest nicht gebräuchlich. Du kannst natürlich alles definieren was du willst und benötigst. Normalerweise wird in solchen Fällen die Matrix in Blöcke aufgeteilt.
05.06.2008, 21:28	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht mir darum, dass ich ein Homomorphismus zwischen orthogonalen Matrizen O(n) (n-dimensional) und O(n-1) zeigen soll. Wobei O(n) noch weiter eingeschränkt wird nach Definition, so dass in Grunde genommen ein O(n-1) + diese Matrix mit dem m_nn = 1 Eintrag = O(n) ist. Kann ich dann eine Funktion definieren mit $\begin{eqnarray} f(O(n-1)) = O(n-1) + \begin{pmatrix} 0 & 0 & . & 0 \\ . & . & . & . \\ 0 & 0 & . & 1 \end{pmatrix} = O(n) \end{eqnarray}$
05.06.2008, 21:31	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es mit Hilfe von Blockmatrizen machen. Also $\begin{eqnarray} f : O(n-1,\mathbb R)\to O(n,\mathbb R)\\A\mapsto \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei die Nullen natürlich dann n-1 dimensionale Vektoren darstellen
05.06.2008, 21:39	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr vielen Dank bis hierhin. Kann man dann auch easy so das inverse Bezeichnen. Sprich: $\begin{eqnarray} f^{-1}: O (n, \mathbb{R}) -> O(n-1,\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} -> A \end{eqnarray}$ Wobei O(n) wieder so eingeschränkt wird, dass genau diese Form nur möglich ist.
05.06.2008, 21:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein natürlich nicht, nicht jede Matrix in O(n,R) hat die Form die du angegeben hast, also wäre die Abbildung keine Abbildung Du kannst natürlich $\begin{eqnarray} f^{-1} : \mathrm{im}(f) \to O(n-1,\mathbb R) \end{eqnarray}$ definieren, denn dann werden wieder alle Matrizen korrekt abgebildet. Das funktioniert weil dein f injektiv ist(als Einbettung)
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05.06.2008, 22:00	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist aber wenn die O(n)s die ich meine so eingeschränkt sind, dass nur sie diese Form haben. Sprich $\begin{eqnarray} \{ A \in O(n) \\| Ae_n = e_n \} \end{eqnarray}$ Dann dürfte es doch hoffentlich so gehen.
05.06.2008, 22:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke einmal darüber nach und mach vielleicht ein paar Beispiele. Deine Menge enthält zu viele Elemente, schreibe lieber explizit die Bedingung hin bzw. benutze das von mir vorgeschlagene im(f)
05.06.2008, 22:07	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du? Ich hab ja nach gedacht. Und O(n) mit den oben beschriebenen Einschränkung ist genau $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} O(n-1) & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Daher kann ich doch ohne Probleme so das inverse bilden und brauche das Bild doch nicht? Oder hab ich gerade einen kapitalen Denkfehler?
05.06.2008, 22:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
für $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \det A = 1 \end{eqnarray}$ also orthogonal und $\begin{eqnarray} Ae_3 = e_3 \end{eqnarray}$ (hoffe hab mich nicht vertan )
05.06.2008, 22:20	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich glaube ich vertan, da (1,0,1) und (0,0,1) nicht orthogonal zueinander sind. <(1,0,1),(0,0,1)>=1 ungleich 0 Zudem habe ich bereits bewiesen, dass diese Form gilt. Zumindest glaub ich es. Also wenn du doch noch ein Gegenbeispiel findest, würde es mich sehr freuen. Aber nach dem ich gerade meine Aufzeichnung angeschaut habe, glaube ich dass ich keinen Fehler gemacht habe. P.S.: Aber nehmen wir nur mal an, dass diese Form immer gilt. Kann ich dann so das inverse einfach bilden?
05.06.2008, 22:29	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab mich vertan. Lineare Algebra ist schon etwas her Ich dachte das orthogonal <=> det A = +-1 gilt. Tatsächlich gilt nur =>. Ja das Inverse kannst du bilden. Allerdings ist es nicht das Inverse zu f, da f nicht bijektiv ist. Schränkst du den Bildbereich von f allerdings ein so ist es wirklich ein inverses
05.06.2008, 22:32	murxhu	Auf diesen Beitrag antworten »
tausend Dank Gruß murx P.S.: Mit 21 Jahren hast du Lina lange hinter dir? Respekt!

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