Exponentielle Wachstum

24.02.2006, 19:33

Ruth3

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Exponentielle Wachstum

Zu Beginn des Jahres 1990 hatte Mexiko 84,4 Millionen Einwohner. Im Jahr 2000 waren es 100,4Millionen. Es wird von einer exponentiellen Vermehrung der Bevölkerung ausgegangen.
a) Bestimmen Sie jeweils die Wachstumskonstante zu den Zeitschritten 1, 5 bzw. 10 Jahre.
b) Berechnen Sie die Einwohnerzahlen für die Jahre 2001 bis 2005.
c) Wie viele Einwohner hat Mexiko bei gleich bleibendem Wachstum im Jahr 2010 ? Wann wird dieEinwohnerzahl von 120 Millionen voraussichtlich überschritten ?
d) Wann wird Mexiko doppelt so viele Einwohner wie Deutschland haben

für a.)
84,4* $\begin{eqnarray*} e^10k \end{eqnarray*}$ =100,4
k=0,017
f(t)=84,4* $\begin{eqnarray*} e^0,017*1 \end{eqnarray*}$
f(1)= 85,85
ist a.) so richtig?

24.02.2006, 21:05

phi

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Du musst die Exponenten in geschweifte Klammern setzen damit sie richtig angezeigt werden.

a) stimmt soweit, nur solltest du nicht schon während der Rechnung runden, weil f(1)=85,88.

Und was würdest du bei b) machen?

mfg, phi

24.02.2006, 21:51

Ruth3

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zu b.)
für 2001
f(t)=84,4* $\begin{eqnarray*} e^0,017*11 \end{eqnarray*}$
=101,75
ich weiss nicht ob es so stimmt.
Zu c.) und d.)
ich hab keine Ahnung...

24.02.2006, 21:51

Ruth3

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zu b.)
für 2001
f(t)=84,4* $\begin{eqnarray*} e^(0,017*11) \end{eqnarray*}$
=101,75
ich weiss nicht ob es so stimmt.
Zu c.) und d.)
ich hab keine Ahnung...

25.02.2006, 00:07

mYthos

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Hi!

b) stimmt ansatzmäßig, das Ergebnis ist aber wieder wegen Rundungsfehlers sehr ungenau. Die Konstante nur mit $\begin{eqnarray*} 0.017 \end{eqnarray*}$ anzusetzen, ist - salopp gesagt - "fahrlässig". Denke daran, dass die Nullen davor nicht zählen, somit hast du nur 2 wertführende Stellen.

Du wirst sicher einen Taschenrechner mit zumindest 5 .. 7 Stellen haben ...

$\begin{eqnarray*} k = 0.0173595 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(11) = 102,158 \ Mio \end{eqnarray*}$

Wenn nun die Zeit zu berechnen ist, in der eine bestimmte Bevölkerungszahl (120 Mio) erreicht wird, wird dies zu einer Exponentialgleichung führen, weil jetzt die Unbekannte t im Exponenten ist:

$\begin{eqnarray*} 120 = 84,4 \cdot e^{0.0173595 \cdot t} \end{eqnarray*}$

Hast du nun einen Vorschlag zu deren Lösung?

Gr
mYthos

25.02.2006, 12:02

Ruth3

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für t bekomme ich jetzt -20,272723 raus

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25.02.2006, 12:09

phi

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Der Wert stimmt aber warum Minus ?

Bei a) sehe ich grade das nicht nach Einwohnerzahlen gefragt wird sondern "die Wachstumskonstante zu den Zeitschritten 1, 5 bzw. 10 Jahre"

Das kriegen wir auch noch hin. Du hast den Dreh ja schon raus.

mfg, phi

25.02.2006, 12:17

Ruth3

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Genau das habe ich auch gemerkt. Also für a.) soll ich anstelle von t 1;5;10 einsetzen und k bestimmen, ja?
und d.) ????

25.02.2006, 12:25

phi

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Bleiben wir lieber mal bei a) sonst gibt´s Kuddelmuddel. Die Frage ist ob und wenn ja, warum es verschiedene Wachstumskonstanten gibt?

mfg

25.02.2006, 12:36

Ruth3

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weil die Bevölkerung exponentiell steigt

25.02.2006, 12:39

phi

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aber welches k nehmen wir denn um die Bevölkerung nach 1 Jahr oder 5 Jahren zu berechnen ?

(Ich nehme an die Aufgabe steht genauso da wie du oben geschrieben hast? )

25.02.2006, 12:51

marci_

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das heißt doch einfach, dass man da den wachstumsfaktor mit 1,5 bzw. 10 multiplizieren muss?

25.02.2006, 12:57

mYthos

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potenzieren (!), marci

25.02.2006, 13:12

marci_

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wenn k 0,0173 ist gilt das ja für ein-jahresschritte
für 1,5 jahresschritte ist k doch 0,0173*1,5
und für 10 jahresschritte 0,0173*10 ?

25.02.2006, 13:36

mYthos

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Klar, hast Recht, es wird zwar

$\begin{eqnarray*} e^{k \cdot t} \end{eqnarray*}$ potenziert, z.B. mit 5, aber für den Exponenten heisst das natürlich mit 5 multipliziert:

$\begin{eqnarray*} {(e^{k \cdot t})}^5 = e^{5k \cdot t} \end{eqnarray*}$

Sorry, da war ich zu voreilig.

P.S.:

Es kommt darauf an, was man unter Wachstumsfaktor versteht: Meint man nur das k im Exponenten, wird es multipliziert, meint man aber die ganze Potenz (inclusive Basis), ist zu potenzieren.

25.02.2006, 13:49

phi

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Zitat:

Original von marci_
wenn k 0,0173 ist gilt das ja für ein-jahresschritte
für 1,5 jahresschritte ist k doch 0,0173*1,5
und für 10 jahresschritte 0,0173*10 ?

Das haut aber trotzdem so nicht hin. Mit 0,0173*10 hätten wir ja das Wachstum enorm beschleunigt!

Wir dürfen aber nicht Anzahl und Dauer der Zeitschritte durcheinander bringen.

Wir haben k=0,017359... für kontinuierliches Wachstum in 10 Jahren ausgerechnet.

10 Jahre : ein Schritt

5 Jahre : zwei Schritte

1 Jahr: 10 Schritte.

Ich finde irgendetwas fehlt in der Aufgabenstellung, oder zumindest ist noch nicht genau klar wonach genau gefragt ist.

mfg, phi

25.02.2006, 14:36

mYthos

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Zitat:

Original von phi
...
Das haut aber trotzdem so nicht hin. Mit 0,0173*10 hätten wir ja das Wachstum enorm beschleunigt!
...
mfg, phi

Mit $\begin{eqnarray*} e^{0.0173595*10} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{0.173595} \end{eqnarray*}$ machen wir mit der 10 mal so großen Hochzahl eben einen 10-Jahres Sprung. Wir haben damit einen neuen 10-Jahres Faktor.

Das stimmt schon.

Marci hat nebenbei 1,5 Jahre statt 1, 5, 10 .. verstanden, den Beistrich für ein Komma gehalten.

Die Wachstumsfunktion lautete:

$\begin{eqnarray*} f(t) = 84,4 \cdot e^{0.0173595 \cdot t} \end{eqnarray*}$

Will man nun in 5-Jahres Schritten rechnen, setzen wir die Anfangsmenge mal allgemein f(0) und fassen wir das Wachstum innerhalb der 5 Jahre zu einem Schritt zusammen:

$\begin{eqnarray*} f(5) = f(0) \cdot e^{0.0173595 \cdot 5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(5) = f(0) \cdot e^{0.086797} \end{eqnarray*}$

Sind n die Anzahl der 5-Jahresschritte, so gilt nun:

$\begin{eqnarray*} f(5n) = f(0) \cdot e^{0.086797 \cdot n} \end{eqnarray*}$

z.B.

$\begin{eqnarray*} f(10) = f(0) \cdot e^{0.086797 \cdot 2} = ... \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

25.02.2006, 14:56

phi

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Ah, danke Mythos, jetzt hab ich´s verstanden. Es ist

$\begin{eqnarray*} 84.4e^{0.0173595*10\tau} ~ = ~ 84.4e^{0.173595\tau} ~ = ~ 100.4 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \tau = 1 \end{eqnarray*}$ für ein Jahrzehnt.

mfg, phi

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