Bahnen, Stabilisatoren und Permutationsgruppen

24.02.2006, 20:06

schlimu

Bahnen, Stabilisatoren und Permutationsgruppen

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aufgabe zu Übungszwecken vorliegen:

Sei $\begin{eqnarray*} M = \{1, \ldots, 19 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G = <g_1, g_2, g_3 > \end{eqnarray*}$ die von

$\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ = (1 4) (2 10) (3 8) (7 9) (11 14) (12 18) (13 15)
$\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ = (3 7) (5 6) (8 9) (12 13) (15 18) (16 17)
$\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ = (1 3 7) (2 8 6 5 9) (4 10) (12 13 19) (14 17 15 18 16)

erzeugte Permutationsgruppe.

(a) Man bestimme die Bahnen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .
(b) Man bestimme $\begin{eqnarray*} |G : G_i| \end{eqnarray*}$ für die Stabilisatoren $\begin{eqnarray*} G_i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} i \in M \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Kann mir bitte jemand helfen?
Ich weiß nicht wie ich an die Aufgaben rangehen soll...

Gruß

Lars

PS:
Definition einer Bahn ist bekannt:
Für $\begin{eqnarray*} s \in M \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} Gs = \{ xs : x \in G \} \end{eqnarray*}$ die Bahn von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

24.02.2006, 23:22

schlimu

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Nachtrag:

Mir würde auch schon mal helfen, wenn mir einer erklären könnte wie ich mir die Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ vorzustellen habe. Ich meine, die wird ja von $\begin{eqnarray*} g_1, g_2, g_3 \end{eqnarray*}$ erzeugt...

Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ aus? Das kann ich mir einfach nicht vorstellen.

25.02.2006, 00:12

JochenX

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ich glaube auch nicht, dass ihr euch G vorstellen sollt, ihr sollt damit vermutlich einfach nur knallhart rechnen

wie sieht denn deine Gruppenoperation überhaupt aus?

versuche mal von Hand, die Bahn von 1 zu bestimmen; beachte insbesondere, dass zwei Bahnen entweder disjunkt oder identisch sind und an andere Dinge.....

25.02.2006, 01:49

schlimu

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Hm...ok, müsst ich dann so was machen wie

$\begin{eqnarray*} g_3 \circ g_2 \circ g_1 (1) \end{eqnarray*}$ , wenn ich die Bahn von 1 haben möchte?

Nen anderen Ansatz hab ich nicht...

25.02.2006, 03:03

JochenX

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1 ist in der Bahn von 1
schau nach, ob 2 drinliegt, 3 drinliegt usf.

danach musst du nur noch die Bahnen bestimmen, derer Zahlen, die nicht in der Bahn von 1 liegen

bei dieser seltsamen Gruppe G fällt mir da auch nix gescheiteres ein, dein Ansatz ist aber Unsinn, was du da auf 1 anwendest ist nur eine einzige Permutation in G

25.02.2006, 14:49

schlimu

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Also in der Bahn von 1 liegen doch 1, 4 (wg. $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ ), 1 (wg. $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ ), 1, 3, 7 (wg. $\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ ).

Demnach müsste die Bahn $\begin{eqnarray*} G1 = \{1, 3, 4, 7 \} \end{eqnarray*}$ lauten, richtig?

25.02.2006, 15:02

JochenX

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auf den ersten Blick sehe ich: 8 und 10 liegen auch drin

denke an verknüpfungen der gi

25.02.2006, 15:19

schlimu

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Wenn ich die Verknüpfungen der einzelnen $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ noch mitbetrachten muss, kommt für das Element 1 $\begin{eqnarray*} \in M \end{eqnarray*}$ ja so was raus:

$\begin{eqnarray*} G1 = \{1, \ldots, 10 \} \end{eqnarray*}$ , weil die 1 in den Permutationen immer so permutiert wird, dass sie bei einem Element zw. 1 und 10 landet.

Ist das jetzt korrekt?

26.02.2006, 01:22

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
wie sieht denn deine Gruppenoperation überhaupt aus?

btw, da fehlt mir noch eine (relativ einfache) antwort...

G1={1,...,10} sollte stimmen;
dann ist G2=G3=...=G10=G1

weiter gehts: G11=?

26.02.2006, 03:11

schlimu

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naja, also die Verknüpfung der Gruppe ist einfach die Nacheinanderausführung der Permutationen, nicht?

Okay, schön, dass ich die Bahnen für 1 - 10 erstmal hab...
$\begin{eqnarray*} G11 = \ldots = G19 = \{ 11, \ldots, 19 \} \end{eqnarray*}$

Die Stabilisatoren müssten ja dann genau "umgekehrt" sein:

$\begin{eqnarray*} G_i = \{ 11, \ldots, 19 \} \; \forall i = 1, \ldots, 10 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} G_i = \{ 1, \ldots, 10 \} \; \forall i = 11, \ldots, 19 \end{eqnarray*}$

Dann käme ja auch noch die Berechnung der $\begin{eqnarray*} |G : G_i| \end{eqnarray*}$ hinzu:

$\begin{eqnarray*} |G : G_i| = \frac{|G|}{|G_i|} = \frac{19}{|G_i|} \end{eqnarray*}$ , sodass für i = 1, ..., 10: $\begin{eqnarray*} |G : G_i| = \frac{19}{9} \end{eqnarray*}$
und für i = 11, ..., 19 $\begin{eqnarray*} |G : G_i| = \frac{19}{10} \end{eqnarray*}$ zustandekäme...

Stimmt das jetzt?

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