Extremwertaufgabe Rechteck in Hälfte einer Ellipse

25.02.2006, 11:07

traice

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe Rechteck in Hälfte einer Ellipse

Schreib einfach mal die Aufgabe rein:

Der Graph f(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$ ist die Hälfte einer Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordinatensystem liegt.
a) Ein Rechteck soll so einbeschrieben werden, das eine Seite auf der x-Achse liegt. Ermitteln Sie die Seitenlängen des Rechtecks, das maximalen Flächeninhalt hat...
b) das ganze mit einem Trapez.

Danke schonmal im voraus.
chris

25.02.2006, 11:16

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze mal es soll Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems heißen...

Was du jetzt brauchst ist eine Gleichung für´s Rechteck, hast du eine Idee?

Auf welchem Nivou bist du grade ? Auf der Uni gibt´s da einen anderen Trick.

mfg, phi

25.02.2006, 11:38

traice

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe Rechteck in Hälfte einer Ellipse
gehe gym 11te klasse... unglücklich

unglücklich

naja gleichung für rechteck ist ja logisch: ab. wobei a=x ist und b f(x) oder?

25.02.2006, 11:42

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber Gleichung für´s Rechteck bekommst du bestimmt hin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg

Edit: Ah, hat sich schon erledigt. Genau. Als nächstes einfach A=x mal f(x) , ein bischen vereinfachen und dann Ableiten und das Maximum bestimmen.

25.02.2006, 11:48

traice

Auf diesen Beitrag antworten »

ok dank dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2006, 12:12

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Frag nochmal falls du Probleme mit Kettenregel & Co. bekommst..

Anzeige

25.02.2006, 13:43

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ich geh auch in der 11 und hätte das gleiche problem. könnt ihr mir sagen, wie man das genau macht?
also man doch erst die zielfunktion bilden, das wäre:
$\begin{eqnarray*} A=f(x)*x \end{eqnarray*}$
jetzt muss ich doch die ableitung bilden und dann den extremwert bestimmen ? wie geht das?

25.02.2006, 13:53

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du die Ableitung?

25.02.2006, 13:58

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine, wie man die aufgabe lösen kann.,also wie ich herausfinden kann, wie ich x und f(x) wählen muss, damit der flächeninhalt des rechteckes maximal wird.

edit:ableitungen kann ich, aber die aufgabe net...

25.02.2006, 14:01

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es doch schon super erklärt wie´s geht:

Zitat:

Original von PG
...
also man doch erst die zielfunktion bilden, das wäre:
$\begin{eqnarray*} A=f(x)*x \end{eqnarray*}$
jetzt muss ich doch die ableitung bilden und dann den extremwert bestimmen ? wie geht das?

also $\begin{eqnarray*} x \cdot f(x)=\frac{x}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

25.02.2006, 14:10

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

achso so , man muss es gleichsetzen?
$\begin{eqnarray*} x\cdot f(x)=\frac{x}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
wäre das dann die funktion, die ich ableiten müsste, dann extremwerte rausbekommen und das wars?

25.02.2006, 14:19

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso gleichsetzen? , einfach mal x .

Die erste deiner Funktionen ist die Zielfunktion die wir ableiten müssen, die zweite ist die Ellipse.

mfg

25.02.2006, 14:27

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

wozu soll mal x helfen? und die Ableitung von A wäre
A'=0, da f(x) und x konstante werte sind ohne einen koeffizienten

25.02.2006, 14:33

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe Rechteck in Hälfte einer Ellipse

Zitat:

Original von traice

naja gleichung für rechteck ist ja logisch: ab. wobei a=x ist und b f(x) oder?

Und du selbst hast doch erkannt, das A=f(x)*x das Rechteck darstellt.

Der letzte Satz ist völlig konfus, x ist eine unabhängige Variable von der die abhängige Variable y:=f(x) abhängt . Es sind keine Konstanten.

Wir setzen die Ableitung nur Null um das Maximum zu finden.

Jetzt geht es mit Kettenregel weiter um das zu bestimmen.

mfg, phi

25.02.2006, 14:59

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von phi
$\begin{eqnarray*} x \cdot f(x)=\frac{x}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

ich verstehe nur nich, warum du mit x multipliziert hast? das ist doch überflüssig...

hier die ableitung

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}(225-9x²)^{0,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)'=-\frac{18x}{10}(225-9x²)^{-0,5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)'=-1\frac{4}{5}\cdot x\sqrt[-2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

wie weiter?

25.02.2006, 15:15

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne das x berechnest du nur das Maximum der Ellipse, und der ist bei x=0.

Also: Wir suchen ein Rechteck dessen eine Seite auf der x-Achse liegt. Es hat also die Breite x. Die Höhe ist wegen rechtem Winkel y.

Fläche ist A=x mal y , also A= x mal f(x)

Ich sehe grade in der Aufgabe, dass das Zentrum der Halbellipse im Ursprung liegen soll. Das bedeutet das wir mal 2x nehmen müssen. (Wegen Achsensymmetrie)

mfg

25.02.2006, 15:59

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe auf der vorherigen seite die ableitung gebildet und die Formel für die Fläche lautet doch:
$\begin{eqnarray*} A=2x*f(x) \end{eqnarray*}$

wie geht es weiter?

25.02.2006, 18:01

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG

... und die Formel für die Fläche lautet doch:
$\begin{eqnarray*} A=2x*f(x) \end{eqnarray*}$

Genau, mal 2x. Aber nicht mal f'(x) sondern vor dem Ableiten. Und dann die Ableitung gleich 0 setzen um das Maximum zu finden, evt. noch die 2.Ableitung.

mfg, phi

25.02.2006, 18:13

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also wie jetzt?
wir haben jetzt, wenn ich zusammenfasse:
funktion f(x)
ableitung f'(x)
zielfunktion A=2x*f(x)

wie weiter?

Zitat:

Genau, mal 2x. Aber nicht mal f'(x) sondern vor dem Ableiten. Und dann die Ableitung gleich 0 setzen um das Maximum zu finden, evt. noch die 2.Ableitung.

ich verstehe, was du mir damit sagen willst...

25.02.2006, 18:16

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

1) A=2 x*f(x)

2) A' ableiten

3) A' =0

4) evt. noch A'' < 0 prüfen

5) freuen, das wir das Maximum gefunden haben.

mfg, phi

25.02.2006, 18:22

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

achso du meinst wenn wir A ableiten, dann passiert folgendes:
$\begin{eqnarray*} A=2x*f(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'=2x*f'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''=2x*f''(x) \end{eqnarray*}$
??
also ich muss es so schreiben
$\begin{eqnarray*} A=2x\cdot(\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}) \end{eqnarray*}$
und nun ableiten? die erste ableitung gibt den x-wert an und dann diesen wert bei f(x) einsetzen und ich den y-wert richtig?

25.02.2006, 18:29

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz, die Produktregel nicht vergessen:

A'=2f(x)+2xf '(x)

25.02.2006, 18:29

rain

Auf diesen Beitrag antworten »

egal..

25.02.2006, 18:44

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

dann alles richtig?

25.02.2006, 18:46

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit 'alles richtig' ?

25.02.2006, 18:51

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} A=2x\cdot(\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=2x\cdot(\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'=\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2}+\frac{1}{5}x\sqrt[-2]{(225-9x^2)} \end{eqnarray*}$
das müsste richtig sein,wenn ich hoffentlich keinen fehler wieder gemacht habe

25.02.2006, 18:57

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir kommen der Sache näher. Der erste Term stimmt, aber beim zweiten bedenke das bei der Kettenregel mit der Ableitung von -9x^2 multipliziert werden muss, also mit -18x

26.02.2006, 00:31

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

hatte ich raus und das löst sich wieder auf. hier alles genau de produktregel mit kettenregel

$\begin{eqnarray*} A=2x\cdot (\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=0,2\cdot(-18x)\cdot0,5\cdot(225-9x^2)^{-0,5}=-\frac{18}{10}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

nach produktregel:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'\cdot v+v'\cdot u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}\cdot2x+2\cdot-\frac{18}{10}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{5}x\sqrt{225-9x^2}-\frac{18x}{5\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

so das ist nun die fertige ableitung. aber wie geht es weiter. bitte schnell, denn ich will schnell die aufgabe lösen, weil es auch noch andere gibt Big Laugh

Big Laugh

26.02.2006, 10:09

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

Jetzt mal

$\begin{eqnarray*} \frac{18x}{5\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

nehmen um Bruch weg zu kriegen ,

dann gleich 0 setzen,

und x ausrechnen.

26.02.2006, 12:00

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also, du meinst ich soll den bruch wegnehmen und dann nach 0setzen,also die gesamte funktion und dann nach x. ok ich machs mal:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2}{5}x\sqrt{225-9x^2}-\frac{18x}{5\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{5}x\sqrt{225-9x^2}-\frac{18x}{5\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\frac{2}{5}x\sqrt{225-9x^2}\cdot5\sqrt[2]{225-9x^2}-18x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=2x\sqrt{225-9x^2}\cdot\sqrt[2]{225-9x^2}-18x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=2x-18x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=-16x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=x \end{eqnarray*}$

und weiter?? das kann doch net sein...x=0??

26.02.2006, 15:13

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab oben noch einen Fehler entdeckt: du hast bei der Produktregel auf beiden Seiten mal 2x genommen:

Zitat:

nach produktregel:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'\cdot v+v'\cdot u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}\cdot \end{eqnarray*}$ 2x + 2x $\begin{eqnarray*} \cdot-\frac{18}{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

26.02.2006, 16:50

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

lol ein flüchtigkeitsfehler:
$\begin{eqnarray*} A=2x\cdot (\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=0,2\cdot(-18x)\cdot0,5\cdot(225-9x^2)^{-0,5}=-\frac{18}{10}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

nach produktregel:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'\cdot v+v'\cdot u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{18}{10}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}}\cdot2x+2\cdot \frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{18}{5}x^2\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}}+2\cdot \frac{1}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{18x^2}{5\sqrt[2]{225-9x^2}}+\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{18x^2}{5\sqrt[2]{225-9x^2}}+\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2}\cdot 5\sqrt[2]{225-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2}\cdot 5\sqrt[2]{225-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+2\cdot(225-9x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+450-18x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -450=-36x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} +\frac{450}{36}=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12,5=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{12,5}=x \end{eqnarray*}$

ist nun $\begin{eqnarray*} x_1=+\sqrt{12,5} \end{eqnarray*}$ das maximum? wie bekomm ich jetzt den maximum vom y-wert, wenn das stimmt?

edit: das sit nun der richtige wert. hast gut den fehler entdeckt smile

smile

26.02.2006, 17:21

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Fleißig!

Hier hat sich noch ein Schusselfehler eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+\frac{2}{5}\sqrt{225-9x^2}\cdot 5\sqrt[2]{225-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-18x^2+\frac{1}{2}\cdot(225-9x^2) \end{eqnarray*}$

Die 5 müsste sich rauskürzen und die 2 dann oben stehen statt unterm Bruchstrich.

mfg

26.02.2006, 17:54

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

genau so habe ich es doch??
aber ist es nun richtig? und wie geht es weiter? was ist dieser x-wert? wie bekomm ich den y-wert?

mein lehrer ist wirklich dumm, weil er uns noch nie solche aufgaben gegeben hat und ich muss es halt im internet machen, daher danke für hilfe.

edit: du hast recht mit dem fehler. korrigier ich

26.02.2006, 18:12

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab´s jetzt nicht genau überprüft, denk mal es stimmt.

$\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{12,5}=x \end{eqnarray*}$

Einfach x in die Gleichung der Halbellipse einsetzen ! y=f(x)...

Und dann A=2xy ausrechnen...

Nun zu Teil b) Wie soll das Trapez aussehen ? Brauchen wir erstmal die allgemeine Formel der Trapezfläche.

mfg, phi

26.02.2006, 18:19

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

..

26.02.2006, 18:20

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

also bei b) müssen ja mit einem trapez.
$\begin{eqnarray*} A=\frac{a+c}{2}\cdot h \end{eqnarray*}$
ich vermute, dass
$\begin{eqnarray*} h=f(x) \end{eqnarray*}$ ist, aber bei $\begin{eqnarray*} a+c \end{eqnarray*}$ , weiss ich net. das ist bestimmt net $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder?

26.02.2006, 18:31

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nennen wir a die obere Breite des Trapez und c die Breite der unteren Seite, die auf der x-Achse liegt.

h wäre dann f(a)

$\begin{eqnarray*} \frac{a+c}{2} \end{eqnarray*}$ ist der Mittelwert, der beiden Breiten. Dieser Mittelwert mal Höhe ist ein Rechteck der Flächengleich mit dem Trapez ist.

Wie´s weitergeht weiß ich jetzt auch noch nicht. Müssen wir noch ein bischen überlegen.

mfg

26.02.2006, 18:43

PG

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn dieser wert flächengleich ist mit der fläche des trapezes, dann müsste doch $\begin{eqnarray*} A=a*f(a) \end{eqnarray*}$ und wenn wir a, f(a) und A haben können wir das in der trapezflächenformel einsetzen und nach c auflösen.
hört sich logisch an!

edit:stimmt doch net. habe dich falsch verstanden.hmmm...

26.02.2006, 18:56

phi

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach mal eine Skizze, da wirst du sehen das a*f(a) ein viel schmaleres Rechteck ist da a ja nur die kurze Seite ist.

Für die Fläche müssen wir den Mittelwert nehmen.

Überleg erstmal in Ruhe. Falls keine anderen Helfer übernehmen melde ich mich später, hab grade Besuch.

mfg, phi

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »