Extremwertaufgabe Rechteck in Hälfte einer Ellipse - Seite 2

26.02.2006, 18:58

dann ist also doch
(a+c)/2=x ,denn das wäre der mittelwert

27.02.2006, 10:58

phi

moin,

Ja, (a+c)/2 ist der mittelwert, aber ich bin mir nicht sicher ob wir das jetzt so einfach in die Zielfunktion einbauen können. Weil a und c sind zwei verschiedene x-Werte.

Pro Forma können wir mal b:= (a+c)/2 setzen.

mein Besuch ist weg, ich werd mal weiter überlegen.

mfg, phi

Edit: Ein Extremfall wäre wenn a=0 wäre, dann hätten wir ein Dreieck statt Trapez, und dieser hätte Flächeninhalt (1/2)*5*3=7.5.

Ein anderes Extrem, wäre wenn wir das Rechteck aus der vorigen Aufgabe nehmen, von dem wir schon wissen das es maximal ist, und verbreitern die untere Seite so weit es geht, also c=5. (Da die Halbellipse 2*5 breit ist und 3 hoch)

Mir schwant nämlich, das wir gar nicht eine komplette Rechnung machen müssen, wenn wir zeigen können das Trapeze, bei denen a<Wurzel(12,5) nicht grösser sein können als das zuletzt beschriebene.

Hier ein Plot der Halbellipse und dem y-Wert des maximalen Rechtecks der zum Trapez erweitert wird:

27.02.2006, 12:06

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jo ist doch logisch.
die untere seite des trapezes muss immer die ecken der beiden ellipsen haben, damit das trapez maximal wird, denn es ist doch egal, wie breit oder wo a liegt- du verbindest es immer mit den tiefsten,äußersten punkte von der ellipse, damit es das möglichst höchste flächeninhalt bekommt.
die nullstelle wäre bei der ellipse der äußerste punkt und da es achsensymmetrisch ist, liegt natürlich der andere punkt genau so weit von der y-achse weit entfernt, also:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=225-9x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{225}{9}=x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=5 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2=-5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=10 \end{eqnarray*}$ (nämlich differenz)

$\begin{eqnarray*} A=\frac{a+c}{2}\cdot f(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=(\frac{a}{2}+5)\cdot f(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=(\frac{a}{2}+5)\cdot f(a) \end{eqnarray*}$

nun produktregel:
$\begin{eqnarray*} u=a/2+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u'=0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'= -\frac{9}{5}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'=(a/2+5)\cdot -\frac{9}{5}x\cdot\frac{1}{\sqrt[2]{225-9x^2}}+ 0,5\cdot\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9x²} \end{eqnarray*}$

(x=a)

$\begin{eqnarray*} A'=-\frac{9a^2}{10\sqrt[2]{225-9a^2}} +-\frac{45a}{5\sqrt[2]{225-9a^2}}+ \frac{1}{10}\sqrt[2]{225-9a²} \end{eqnarray*}$

A'=0
$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{9a^2}{10\sqrt[2]{225-9a^2}} +-\frac{45a}{5\sqrt[2]{225-9a^2}}+ \frac{1}{10}\sqrt[2]{225-9a²} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 10\sqrt[2]{225-9a^2} \end{eqnarray*}$ multiplizieren

$\begin{eqnarray*} 0=-9a^2-90a+225-9a² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-9a^2-90a+225-9a² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -225=-90a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=2,5 \end{eqnarray*}$

und jetzt die 2,5 in f(a) und dann haben wir auch h smile

.
rechne mal schnell aus:
$\begin{eqnarray*} f(a)=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9a²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2,5)=\frac{1}{5}\sqrt[2]{225-9\cdot2,5²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2,5)=\frac{1}{5}\cdot(\pm13) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(2,5)=\pm2,6=h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{10+2,5}{2}\cdot2,6=16,25 \end{eqnarray*}$

27.02.2006, 12:12

Leopold

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Die eine Seite des Trapezes, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , ist Teil des Intervalls $\begin{eqnarray*} [-5,5] \end{eqnarray*}$ , die andere, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , parallel dazu. Wenn man nun $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ läßt, aber $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch den maximal möglichen Wert $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ ersetzt (die Seite erstreckt sich jetzt also über das ganze Intervall $\begin{eqnarray*} [-5,5] \end{eqnarray*}$ ), so wird der Flächeninhalt des Trapezes gemäß Flächenformel höchstens größer. Man darf also von vorneherein annehmen, daß $\begin{eqnarray*} a=10 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn daher $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ der Eckpunkt des Trapezes im I. Quadranten auf der Ellipse ist, so hat das Trapez den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( 10 + 2x \right) y = (5+x)y \end{eqnarray*}$ . Zur Bestimmung des Maximums kann man auch das Quadrat dieses Ausdrucks betrachten, denn Quadrieren nichtnegativer Zahlen ändert das Monotonieverhalten nicht:

$\begin{eqnarray*} F(x) = (5+x)^2 y^2 \ \ \mbox{für} \ x \in [0,5] \end{eqnarray*}$

Hierin ist $\begin{eqnarray*} y = y(x) \end{eqnarray*}$ gemäß Ellipsengleichung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig. Man berechnet zunächst die Randwerte:

$\begin{eqnarray*} F(0) = 5^2 \cdot 3^2 = 225 \, , \ \ F(5) = 10^2 \cdot 0^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Das globale Maximum wird daher entweder am linken Rand, also bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , angenommen (das Trapez entartet zum Dreieck) oder im Innern des Definitionsbereichs. Dazu untersucht man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} y' = y'(x) \end{eqnarray*}$ als Ableitung der Ellipsenfunktion folgt:

$\begin{eqnarray*} F'(x) = 2(5+x) y^2 + 2(5+x)^2 y y' \end{eqnarray*}$

Und hier sind jetzt die Nullstellen im offenen Intervall $\begin{eqnarray*} (0,5) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Nach Vereinfachen ist also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y^2 + (5+x) y y' = 0 \end{eqnarray*}$

zu lösen. Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} 25 \end{eqnarray*}$ führt auf

$\begin{eqnarray*} 25 y^2 + (5+x) \cdot 25 y y' = 0 \end{eqnarray*}$

Aus der Ellipsengleichung $\begin{eqnarray*} 9 x^2 + 25 y^2 = 225 \end{eqnarray*}$ erhält man durch Ableiten $\begin{eqnarray*} 9x + 25 y y' = 0 \end{eqnarray*}$ . Wenn man daher $\begin{eqnarray*} 25 y y' \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} -9x \end{eqnarray*}$ ersetzt, folgt:

$\begin{eqnarray*} 25 y^2 - (5+x) \cdot 9x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ -9 x^2 + 25 y^2 - 45 x = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 9 x^2 + 25 y^2 - 45x = 18 x^2 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} 9 x^2 + 25 y^2 = 225 \end{eqnarray*}$ heißt das

$\begin{eqnarray*} 225 - 45x = 18 x^2 \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung besitzt eine Lösung $\begin{eqnarray*} x_0 \in (0,5) \end{eqnarray*}$ . Jetzt muß man noch $\begin{eqnarray*} F(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(x_0) \end{eqnarray*}$ miteinander vergleichen. Der größere der beiden Werte ist das Quadrat des maximalen Trapezinhaltes.

Mit denselben Tricks kann man übrigens auch die Aufgabe mit der maximalen Rechtecksfläche lösen. Man vermeidet so das Rechnen mit den fehleranfälligen Wurzeldifferentiationen.

27.02.2006, 13:10

phi

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Jep, Leopolds Trapez ist um 1,3734 FE grösser als das von mir vorgeschlagene, und dass war ja schon grösser als das Dreieck. (danke für die Unterstützung)

smile

mfg, phi

27.02.2006, 13:13

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und was ist mit mein ergebnis? meins müsste richtig sein oder die ganze anstrengung war umsonst Klo

edit: ich verstehe leopolds variante nicht so recht

27.02.2006, 13:28

phi

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irrwitziger weise hast du bis auf einen kleinen Denkfehler und einen noch kleineren Rundungsfehler das richtige Ergebniss.

die kurze Breite muss 2*2.5 sein, dann hast du

$\begin{eqnarray*} A=\frac{10+5}{2}\cdot2,6=19,5 \end{eqnarray*}$

Ich hab Leopolds Weg gerechnet und hab 19.48... raus. Du hast eigentlich das gleiche wie er gemacht, nur das du die Vereinfachung durch quadrieren weggelassen hast. Und musst wohl irgendwo mitten in der Rechnung gerundet haben. (runden lieber nur zum Schluss)

Edit:

Schau mal : Leopold schrieb: $\begin{eqnarray*} F(x) = (5+x)^2 y^2 \ \ \mbox{für} \ x \in [0,5] \end{eqnarray*}$

und dein Ansatz $\begin{eqnarray*} A(x) = (5+\frac{a}{2}) y \end{eqnarray*}$ .

Also kopf hoch, da du weder Leopolds noch meinen Vorschlag verstanden hast, hast du glatt deinen eigenen Lösungsweg gefunden ! Ich Gratuliere.

mfg

27.02.2006, 13:36

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jo ich habe gerundet. es hat 2,599... gelautet und ich habe dann 2,6 geschrieben.
wie meinst du mit einem denkfehler? meine überlegungen müssten stimmen.

edit:

Zitat:

Also kopf hoch, da du weder Leopolds noch meinen Vorschlag verstanden hast, hast du glatt deinen eigenen Lösungsweg gefunden ! Ich Gratuliere.

thx

27.02.2006, 13:39

phi

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Wenn man Leopold´s quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 225 - 45x = 18 x^2 \end{eqnarray*}$

löst kommt als positive Lösung x=2.5 raus, genau wie bei dir.

Der Denkfehler war aber nur, das die ober Breite ja 2a ist genau wie die untere 2*5=10 ist.

mfg, phi

27.02.2006, 13:40

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Zitat:

Original von phi
Wenn man Leopold´s quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} 225 - 45x = 18 x^2 \end{eqnarray*}$

löst kommt als positive Lösung x=2.5 raus, genau wie bei dir.

Der Denkfehler war aber nur, das die ober Breite ja 2a ist genau wie die untere 2*5=10 ist.

mfg, phi

stimmt ja... LOL Hammer

27.02.2006, 13:45

phi

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Dank Leopold hab ich auch wieder was neues gelernt.

bis zur nächsten Aufgabe Wink

27.02.2006, 14:10

Leopold

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@ PG

Der richtige Ansatz in deiner Notation wäre

$\begin{eqnarray*} A = \left( \frac{a}{2} + 5 \right) \, f \left( \frac{a}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Wenn man mit deinem fehlerhaften Ansatz $\begin{eqnarray*} A'=0 \end{eqnarray*}$ löst, bekommt man $\begin{eqnarray*} a = \frac{5}{2} \left( \sqrt{3} - 1 \right) \end{eqnarray*}$ .

Mit dem richtigen Ansatz (siehe oben) und richtiger Rechnung ergibt sich dagegen $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ , was meinem $\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ entspricht.

Du kommst also mit i) falschem Ansatz und ii) falscher Rechnung zu einem iii) falschen Ergebnis, was du bei iv) falscher Interpretation (d.h. Vergleich mit meinem Ergebnis) als v) richtig interpretiert hast.

Dein Ansatz stimmt natürlich prinzipiell (mit obiger Korrektur). Nur machst du allzu viele Rechenfehler. Als Beleg dein Schluß

$\begin{eqnarray*} 0 = -9a^2 - 90 a + 225 - 9 a^2 \end{eqnarray*}$

Hier läßt du die $\begin{eqnarray*} -9a^2 \end{eqnarray*}$ einfach unter den Tisch fallen. Dabei ergeben sie zusammen $\begin{eqnarray*} -18a^2 \end{eqnarray*}$ .

27.02.2006, 14:22

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... du hast recht. weil da stehen soviele buchstaben und zahlen, dass ich nicht mehr durchblicke und flüchtigkeitsfehler mache, die nicht sein müssen.
danke nochmals für die fehlerentdeckung und für deine hilfe, leopold

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