Taylorpolynom - Seite 2

11.03.2006, 17:13

phi

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moin,

1)Die Rechnung mit 31.145... war nur als Beispiel gedacht, damit du siehst wie man von der Definition von T zu konkreten Werten kommst. Der Wert 31.14.. allein sagt noch gar nichts, denn es ist ja nur das k=5. Glied in der Summe:

$\begin{eqnarray*} T_n (x;a=0) = \sum_{k=0}^n \left( {f^{(k)}\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix} \over k!}(x-\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix})^k \right)\\ = sin\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix} + \frac{cos\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}}{1!}(x-\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}) + \frac{-sin\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}}{2!}(x-\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix})^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix}}{n!}(x-\begin{pmatrix} \frac{\pi}{3} \end{pmatrix})^n \end{eqnarray*}$

2) x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!) ist richtig, denn die Terme mit gerader Potenz verschwinden (wenn man den Entwicklungspunkt a=0 nimmt) , da sie mit geraden Ableitungen von sin x multipliziert werden; z.B. ist die 2. Ableitung von sin x doch -sin x, und die 4.Ableitung ist wieder sin x und +/- sin 0 =0 (Siehe obige Definition der Taylorreihe).

$\begin{eqnarray*} T_n (x;a=\frac{\pi}{3}) = \sum_{k=0}^n \left( {f^{(k)}0 \over k!}(x-0)^k \right)\\ = sin 0 + \frac{cos 0}{1!}(x-0) + \frac{-sin0}{2!}(x-0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0 )}{n!}(x-0)^n \end{eqnarray*}$

3) n=7: -5.2926..

Das bei x=5 die Näherung schlechter wird ist eine wichtige Beobachtung, allgemein gilt: Für kleines n wird die Näherung umso schlechter, desto weiter man sich vom Entwicklungspunkt a (in diesem Fall a=0) entfernt.

Ist ja auch logisch, eine Polynomfunktion 7.Grades, (hier negativ) oder allgemein eine Polynomfunktion ungeraden Grades, pendelt ja nicht ewig hoch und runter wie Sinus und Cosinus, sondern sieht so aus:

Na, macht´s langsam Klick?

4) Der nächste Punkt, wäre die Genauigkeit der Reihe in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt.

Für deine Funktion f(x)= sin x - cos x hab ich rausgefunden, dass sie im Intervall [0,2Pi] für n=7, am Besten von einer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt a=Pi dargestellt wird, also sogar besser als um a=0.

D.h. jedes a hat "seinen" Intervall, indem es die Funktion am Besten darstellt.

mfg, phi

11.03.2006, 19:57

fred

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hallo, halli
so, wenn ich das jetzt in meine funktion setze,
$\begin{eqnarray*} (sin\frac{pi}{2}-cos \frac{pi}{2}) + \frac{cos(2/pi)-(-sin(pi/2)}{1!} .... \end{eqnarray*}$
einsetze, kommt für
n=0 -0,209
n=1 -3,140
raus.
was sagt mir denn dieser wert jetzt eigentlich?

Zitat:

Original von phi
4) Der nächste Punkt, wäre die Genauigkeit der Reihe in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt.

Für deine Funktion f(x)= sin x - cos x hab ich rausgefunden, dass sie im Intervall [0,2Pi] für n=7, am Besten von einer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt a=Pi dargestellt wird, also sogar besser als um a=0.

kommt man dadrauf durch ausprobieren?

viele grüße fred

11.03.2006, 20:19

phi

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moi,moin,

Zitat:

Original von fred

so, wenn ich das jetzt in meine funktion setze,
$\begin{eqnarray*} (sin\frac{pi}{2}-cos \frac{pi}{2}) + \frac{cos(2/pi)-(-sin(pi/2)}{1!} .... \end{eqnarray*}$
einsetze, kommt für
n=0 -0,209
n=1 -3,140
raus.
was sagt mir denn dieser wert jetzt eigentlich?

Was hast du da wo eingesetzt ? Das scheint ziemlich zusammenhangslos angesichts dessen was alles gesagt wurde. Du musst dich genau an die Definition der Taylorreihe halten.

Selbst wenn´s stimmen würde: Nochmal: einzelne Werte besagen fast gar nichts, es sei denn es geht um eine x-Stelle die weit weg vom Entwicklungspunkt liegt. Ansonsten braucht man eine vollständige Wertetabelle oder einen Funktionsgraphen.

Zitat:

Zitat:

Original von phi
4) Der nächste Punkt, wäre die Genauigkeit der Reihe in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt.

Für deine Funktion f(x)= sin x - cos x hab ich rausgefunden, dass sie im Intervall [0,2Pi] für n=7, am Besten von einer Taylorreihe um den Entwicklungspunkt a=Pi dargestellt wird, also sogar besser als um a=0.

kommt man dadrauf durch ausprobieren?

Entweder durch ausprobieren (plotten, Wertetabelle) oder durch Berechnung des Restgliedes.

mfg, phi

11.03.2006, 20:39

fred

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hallo,
ich hab das für meine funktion sin(x)-cos(x) eingesetzt.
oder hab ich jetzt schön wieder was durcheinander gebracht und ich habe die funktion abgeleitet f'(x)=cos(x)-sin(x).
oder muss ich da doch eines meiner alten näherungspolynome
z.b.
$\begin{eqnarray*} n(x)=(x-\frac{x^3}{6})-(1- \frac{x^2}{2}) \end{eqnarray*}$
irgendwie mit einbringen.das verwirrt mich grad irgendwie .
einen mathematisch verwirrten gruß von fred

11.03.2006, 20:47

phi

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Das schöne an der Mathematik ist dass man (meistens) die Verwirrung dadurch loswird, indem man sich genau die Definition anschaut, und sich klar macht was genau wo eingesetzt werden muss um ein konkretes Beispiel zu erhalten.

Ich schreib dir nochmal die Definition auf.

Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

$\begin{eqnarray*} T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left( {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k \right)\\ = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray*}$

und dem so genannten n-ten Restglied

$\begin{eqnarray*} R_{n}^a(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt. \end{eqnarray*}$

In den Formeln stehen $\begin{eqnarray*} f', f'', \dots, f^{(k)},\dots, f^{(n)} \end{eqnarray*}$ für die erste, zweite, ... ,k-te,...,n-te Ableitung der Funktion f.

Du willst also für f die Funktion f(x)= sin x - cos x, für f^(k) die k-te Ableitung und für a die Stützstelle a=Pi/2 einsetzen...

mfg, phi

11.03.2006, 21:03

fred

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gut, mal sehen ob icn meine verwirrung am wochenende noch los werde....
also ich setze nochmals ein
$\begin{eqnarray*} cos((pi/2))-sin(pi/2)+\frac{cos(pi/2)-(-sin(pi/2))}{1!}(x-(pi/2))+ \frac{-sin(pi/2)-(-cos(pi/2)}{2!}(x-(pi/2)^2...+\frac{f^n(pi/2) }{n!} (x-(pi/2), \end{eqnarray*}$
aber irgednwie komm ich dann doch auf das gleiche wie vorhin.
immer noch verwirtrrte??? grüße von fred

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11.03.2006, 21:09

phi

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Vorhin hat da aber was gefehlt..

Zitat:

Original von fred

$\begin{eqnarray*} (sin\frac{pi}{2}-cos \frac{pi}{2}) + \frac{cos(2/pi)-(-sin(pi/2)}{1!} .... \end{eqnarray*}$

Versuch jetzt mal das zu Plotten und mit 1) der Funktion selbst und 2) mit der Taylorreihe für a=0 zu vergleichen. (also alle drei Graphen in einem Plot im Intervall von -3Pi bis 3Pi )

mfg, phi

12.03.2006, 12:22

fred

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guten morgen,
das verwundert mich nun aber, dass meine eine funktion eine gerade geworden ist.
also ich habe erstmal die funktion f(x)=sin(x)-Cos(x), dann die taylorreihe f(x)=(x-((x^3)/6)-(1-(x^2)/2) und dann die funktion vom vorletzten beitrag.war das richtig so?
sonnige grüße vom fred

12.03.2006, 13:09

phi

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Bei der grünen Reihe vom Prinzip her richtig, nur zu wenige Glieder, d.h. zu kleines n. Nimm wenigstens n=5.

Wieso hast du bei der blauen Funkt. bei manchen Summanden 3/pi statt pi/2 ?

"cos(3/\pi)+(cos(3/\pi)"

mfg, phi

12.03.2006, 13:21

fred

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oh das mit dem pi hatte ich verwechselt., aber wenn ich das ersetze bleib die funktion ja immer noch eine gerade oder ist noch etwas falsch?
viel zu vergleichen find e ich da jetzt nicht gerade.

12.03.2006, 13:29

phi

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Aber man erkennt doch schon ganz gut, dass die grüne Reihe zwischen -1.8 und 0.8 fast identisch mit der Orginalfunktion ist. Da sind bist du auf dem richtigen Weg.

Bei der blauen könnte es an einem Bug des Forum-Plotters liegen, dass 1/2 auf 0 abgerundet wird, probier mal stattdessen 0.5*Pi .

Übrigens: Was ist Cos(pi/2) ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2006, 14:07

fred

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wird auch nicht besser. mhh verwirrt

verwirrt

, sagt mir so nicht viel irgendwie
cos(2/pi) sieht doch besser aus als 0 Big Laugh

Big Laugh

so und du hattest geschrieben, dass man, um an den besten entwicklungspunkt zu gelangen, durch ausprobiren oder ins restglied einsetzen auf á=pi kommt.
also ich hab ja schon viel gelernt. erstmal restglied nochmal anschauen
und dann werte einsetzen.
für n=7

$\begin{eqnarray*} R_{7}^a(x) = \frac{1}{7!}\int_a^x (x-t)^7 f^{(7+1)}(t) dt. \end{eqnarray*}$

12.03.2006, 14:31

phi

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Bei der blauen Funktion stimmt was mit den Klammern nicht, und wenn man für cos(pi2) überall 0 einsetzt wird´s übersichtlicher :

(sin(0.5*\pi) - cos(0.5*\pi) + (cos(0.5*\pi) - sin(0.5*\pi))/
1)*(x - (0.5*\pi)) + (-sin(0.5*\pi)) - (-(cos(0.5*\pi))/2)*(
x - (0.5*\pi))^2

Schreib es mal mit dem Formeleditor, da erkennt man eher ob´s stimmt oder nicht.

Im Restgliedintegral für a mal 0 mal pi/2, mal pi einsetzen, und da 8 durch 4 teilbar ist, ist die 8.Ableitung von f(x) gleich f(x) selbst.

12.03.2006, 14:58

fred

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so müsste das nun eigentlich stimmen, denke ich mal, obwohl das sieht irgendwie schon wieder merkwürdig aus

grüße vom fred

12.03.2006, 15:01

fred

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nochmal zum restglied,
wähle ich dann für x und t beliebige zahlen?

$\begin{eqnarray*} R_{7}^a(x) = \frac{1}{7!}\int_a^x (x-t)^7 f^{(7+1)}(t) dt. \end{eqnarray*}$ [/quote]

12.03.2006, 15:13

phi

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Bei der blauen Reihe sind einfach zu wenig Glieder. Beim Grünen gehst du ja bis k=4 und bei der Blauen nur bis n=2.

t ist die Variable ! Für x kann man beliebige Werte einsetzen.

Schreib bitte vorm Plotten die Reihe immer erst mit dem Formeleditor darüber, dann können wir auch für andere Stützstellen das Ganze anschauen.

mfg

12.03.2006, 15:45

fred

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also setze ich für die variable t auch einfach irgendwelche zahlen ein, weil ich möchte ja werte rausbekommen beim restglied.

so und nun nochmal :
f(x)=sin(x)-cos(x)
$\begin{eqnarray*} f(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-(1-\frac{x^2}{2}+ \frac{x^4}{24}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(0.5*\pi)-0+0-\frac{sin(0.5*\pi)}{1}*(x-0.5*\pi)+(-sin(0.5*\pi))-\frac{-0}{2}*(x-(0.5*\pi))^2 \end{eqnarray*}$

12.03.2006, 16:19

phi

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Ah, jetzt sieht man wo überall Klammern fehlen, bzw. was weggelassen werden kann (+0 oder geteiltdurch 1 z.B):

Und ich häng gleich mal das 3. und 4. Gllied dran damit es überhaupt mit dem Grünen verglichen werden darf:

Aus

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(0.5*\pi)-0+0-\frac{sin(0.5*\pi)}{1}*(x-0.5*\pi)+(-sin(0.5*\pi))-\frac{-0}{2}*(x-(0.5*\pi))^2 \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(0.5 \pi)-sin(0.5\pi)(x-0.5\pi)-\frac{sin(0.5\pi)(x-0.5\pi)^2}{2} +\frac{sin(0.5\pi)(x-0.5\pi)^3}{6}+\frac{sin(0.5\pi)(x-0.5\pi)^4}{24} \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht man schön das für die Stützstelle a=Pi/2 die Funktion bei n=4 überhaupt nicht dargestellt wird.
(ausser an den 4 Punkten wo es die rote Kurve schneidet)

Lassen wir das Restglied erstmal.

Probier mal a=Pi

12.03.2006, 17:23

fred

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$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(\pi)-sin(\pi)(x-\pi)-\frac{sin(\pi)(x-\pi)^2}{2} +\frac{sin(\pi)(x-\pi)^3}{6}+\frac{sin(\pi)(x-\pi)^4}{24} \end{eqnarray*}$

huch, nun ist die funktion auf die x-Achse gerutscht

gruß fred

12.03.2006, 17:44

phi

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Du hast das Cosinus vergessen: cos pi =-1 und nicht 0 !

mfg

12.03.2006, 18:21

fred

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(cos(\pi)-sin(\pi))+(cos(\pi)-(-sin(\pi))(x-\pi))+\frac{-sin(\pi)-(-cos(\pi))}{2}(x-\pi)^2+\frac{-cos(\pi)-(sin(\pi))}{6}(x-\pi)^3+\frac{sin(\pi)-cos(\pi))}{24}(x-\pi)^4 \end{eqnarray*}$

ich bin wieder irgendwie verrutsch, der will meine funktion nicht plotten,
mir tun schon die augen weh vom genau kucken

12.03.2006, 18:23

fred

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der entwurf wäre so

sin(x)-cos(x),(x-(x^3/6)+((x^5)/120))-(1-(x^2)/2+((x^4)/24)),(cos(\pi)-sin(\pi))+(cos(\pi)-(-sin(\pi)))((x-\pi))+((-sin(\pi)-(-cos(\pi)))/(2)*(x-(\pi)^2))+((-cos(\pi)-(sin(\pi)))/(6)*(x-(\pi)^3))+((sin(\pi)-(cos(\pi)))/(24)*(x-(\pi)^4))

12.03.2006, 18:45

phi

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Da haben ein paar *-Zeichen gefehlt...und ausserdem wieso cos x - sin x am Anfang ???

So muss es richtig heißen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(sin(\pi)-cos(\pi))+(cos(\pi)+sin(\pi))(x-\pi)+ \\ \\ \frac{-sin(\pi)-(-cos(\pi))}{2}(x-\pi)^2+\frac{-cos(\pi)-(sin(\pi))}{6}(x-\pi)^3+\frac{sin(\pi)-cos(\pi))}{24}(x-\pi)^4 \end{eqnarray*}$

Für n=4 wird also nur ein schmales Intervall durch a=Pi , gut angenähert (Für n=7 wird f(x) auf ganz [0, 2Pi] genau dargestellt):

Ausschnittsvergrößerung:

mfg, phi

12.03.2006, 19:31

fred

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immer diese kleinen fehler die sich bei mir einschleichen....

achso so sieht das dann also bei einer anderen entwicklungsstelle aus
und wie komme ich jetzt nochmal auf die bestmögliche entwicklungsstelle, nur übers ausprobieren oder wie bist du genau auf pi gekommen?
desweiteren hattest du
du hattest geschrieben mit dem restglied
also
so nun nochma
für n=7

$\begin{eqnarray*} R_{7}^a(x) = \frac{1}{7!}\int_a^x (x-t)^7 f^{(7+1)}(t) dt. \end{eqnarray*}$
also für x irgendwas einsetzen und was setze ich dann für t

schöne grüße fred

12.03.2006, 20:09

phi

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t ist nur die Integrationsvariable, für die wird doch nach dem Integrieren, x und a eingesetzt

$\begin{eqnarray*} R_{7}^a(x) = \frac{1}{7!}\int_a^x (x-t)^7 f^{(7+1)}(t) dt= \frac{1}{5040}\int_a^x (x-t)^7 (\sin t-\cos t ) dt=... \end{eqnarray*}$

12.03.2006, 20:36

fred

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stimmt, vielleicht sollt ich mal erst denken und dann fragen.

meine (denke ich mal :-))letzte frage zu dem thema wäre dann noch
wie du jetzt nochmal auf die beste entwicklungsstelle pi gekommen bist?
schöne grüße fred

12.03.2006, 20:42

phi

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"Brute Force" ...Ich habe ein Mathe-Programm, der a) die Taylorreihen zu beliebigen Funktionen um beliebige Stützstellen ausspuckt und b) man diese auch viel einfacher plotten kann als hier.

Aber das würde mir nicht´s nützen wenn ich nicht schon ein Dutzend Aufgaben darüber gelöst hätte, und darüber in Büchern & in der Uni gelernt habe. Der Ausgangspunkt ist die Potenzreihe der Expotentialfunktion exp(x) bzw. exp(z) für komplexe Variable z.

mfg

12.03.2006, 21:29

fred

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ein großes DANKESCHÖN nochmal,
ich denke, dass wird ein spitzenmäßiges referat
dank deiner hilfe phi!!!!
mit erleuchtetem mathematischen gruß fred

12.03.2006, 21:44

phi

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Übrigens: regestrier dich doch hier im Board... Willkommen

Willkommen

Und ich danke dir für die Ausdauer die du hattest, damit wirst du sicher Punkte sammeln können in Mathe.

mfg, phi

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