Taylorpolynom

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Gast -> Fred Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom
Hallo liebe Leute,
ich bin probiere mich gerade darin ein Referat über Taylor vorzubereiten.
Mein Problem ist nun, dass ich ein

geeignetes Taylorpoynom zu f(x)=sin(x)-cos(x) (an der Stelle 0) herrausfinden
und desweiteren auch noch die Güte der Approximation in Abhänigkeit vom Grad des Taylorpolynoms und der verwendendeten Stützstelle als Hauptaufgabe betrachten soll.

Diese Aufgabe find ich verdammt schwierig und hoffe das mir jemand dabei behilflich sein kann.
Viele Grüße Fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviel weißt du denn schon über Taylorpolynom ?

mfg, phi
 
 
Fred Auf diesen Beitrag antworten »

hallo phi,
ja also die allgemeine Taylorformel und ihre Herleitung kenn ich wohl
und das es für sinus und cosinus irgendwie extra Taylorpolynome gibt (die ich irgendwie auf Grund des Summenzeichens jetzt nicht einfügen kann).

Mein Problem liegt jetzt bei diesem Bespiel. Ich weiß einfach nicht wie die Aufgabe zu lösen ist.

Viele Grüße Fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Für Summenzeichen gibt´s einen Knopf im Formeleditor.

Für den Entwicklungspunkt x_o = 0 gilt für Sinus und Cosinus:





Du brauchst jetzt erstmal nur die Cosinusreihe von der Sinusreihe abzuziehen.

Näherung in Abhängikeit vom Grad: entweder bestimmte Werte vergleichen oder Plotten . Grad 1 beim sinus : da stimmt x nur im Punkt 0 mit sin x überein.

mfg, phi
Fred Auf diesen Beitrag antworten »

ok also ich hab jetzt mal wie beschreiben wurde die gleichung aufgestellt:

f(x)=



Ich bin dir jetzt schon sehr dankbar, aber ich weiß nun immer nochnicht weiter.

Du schreibst "Werte vergleichen oder Plotten".
Das ist mir nun ja schon richtig peinlich,aber ich weiß auch nicht wirklich wie ich das machen kann.
Aufsteigend Zahlen für n einsetzen oder überhaupt erstmal die gleichung umstellen?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Sinus und Cosinus "füttert" man mit Argumenten zwischen 0 und 2Pi (oder in Grad: 0° bis 360°, aber für die Reihen ist der Radiant günstiger).

Es geht darum den "wahren" Wert den unser Taschenrechner ausspuckt, mit der Summe der Reihe zu vergleichen, wenn wir nur ein Glied, wenn wir zwei Summanden, drei....usw. nehmen.

Nehmen wir also als Beispiel Pi/7 : sin(Pi/7)=0.43388.. und cos(Pi/7)=0.9..., also sin - cos = -0,467...


Für n=0 haben wir f(x)=x+1, da setzen wir für x Pi/7 ein : f(Pi/7)=Pi/7+1=1.449 . Das ist wie zu erwarten war keine gute Näherung.

Für n=1 haben wir ,

für n=2, usw...

Und wenn man das plottet sieht es dann so aus:




Du kannst für n=2 die Terme zu meinem Plot hinzufügen indem du bei meinem Beitrag auf "Zitat" gehst, den rot markierten Term von sin(x)-cos(x),x+1,x+1-0.16667*x^3-0.5*x^2 kopierst und nach einem Komma einfügst und noch die 2 weiteren Terme dazumachst...

mfg, phi.
Fred Auf diesen Beitrag antworten »
0-2pi???
hallo,
erstmal vielen dank für die antwort phi!
habe da noch eine frage:

warum füttert man den die funktionen nur mit Zahlen zwischen Null und 2Pi?

viele grüße fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Weil sie periodisch sind : cos (2pi)=cos(0) , es geht also ab 2pi wieder von vorn los. M.a.W. 2pi ist mit 360° äquivalent, also eine volle Kreisumdrehung.

Und trigo-Funktionen sind Kreisfunktionen

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

d.h eine annäherung führt man nur an einer periode durch?
und
was sagt mir nun das ergebnis sin - cos = -0,467... im vergleich zu
f(Pi/7)=Pi/7+1=1.449 eigentlich genau aus?
-heißt es , dass unser tr es bis zu einem sehr großen n ausgerechnet hat? weil die funktion nähern sich ja nicht so sonderlich gut an.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch an mehr als einer Periode eine Annäherung machen. Braucht man nur höheres n. Und da Sinus und Cosinus sog. analytische Funktionen sind, stimmen die TR für n--> Unendlich haargenau mit den Funktionen überein.


Ist ja auch kein Wunder, wir sind erst bei n=0 ! Es fängt erst ab n=5 an halbwegs gut zu werden.

Plot doch mal für n=2 und n=3.

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
mir ist aufgefallen, dass es doch eigentlich imm erminus anstatt plus heißen sollte oder nicht?
also beu n=0 ->f(x)=n-1 usw
hier der graph dazu:



gruß fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fred
.. dass es doch eigentlich immer minus anstatt plus heißen sollte oder nicht?
also beu n=0 ->f(x)=n-1 usw



Was meinst du damit, kannst du dass genauer erklären ? Was ist beu ?

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Für n=0 haben wir f(x)=x+1
Für n=1 haben wir ,


die ausgangsfunktion ist ja
f(x)=sin(x)-cos(x)
somit müsste doch für
n=0 f(x)=x-1
und
n=1 f(x)= x-(x^3/6) - 1 - (x^2/2)
rauskommen.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, jetzt verstehe ich, ja du hast vollkommen recht !

(beu hieß bei ..)

mfg
fred Auf diesen Beitrag antworten »
DankeschÖn
Vielen Dank nochmal für deine ausführliche Hilfe phi!
langsam fängt mir an ,dass mit den Taylorpolynomen richtig spass zu machen :-)
schönen sonntag noch
fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichfalls ! Wink

Bist du mit der Abhängigkeit von der verwendendeten Stützstelle klargekommen ?

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

Schläfer
oh das hatte ich schon ganz vergessen,
hab mir da grad gedanken drüber gemacht, aber wie das denn so ist in mathe bei mir *hehe* .bin ich nicht wirklich zu einem ergebnis gekommen.weißt du da noch was drüber?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreib dir erstmal die Definition auf. Betrachte z.B. die Liste der ersten 5 Ableitungen von f(x)=sin(x) nochmal um den Entwicklungspunkt a=0 und setze die Ableitungen und a in untere Summe ein.


Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a



und dem so genannten n-ten Restglied



In den Formeln stehen für die erste, zweite, ... n-te Ableitung der Funktion f.

Edit: zu früh auf "Antwort-Knopf" gekommen.

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

ach so,
eigentlich ist es doch völlig egal, wo man jetzt seine näherung mit den polynomen durchführt oder nicht?
also nochmal zur definition:stützstelle ist der punkt von wo aus die näherung durchgeführt wird?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei manchen analytischen Funktionen wie ganzrationale Polynome (sind ja schon Polynome) ist es tatsächlich egal, welchen Entwicklungspunkt man wählt.

Aber bei Kreisfunktionen ist es, obwohl sie analytisch sind (d.h. bei n->unendlich wird Abweichung=Restglied zu 0 ) ist es nicht egal. Mach einfach mal die Ableitungen von sin(x) an einer anderen Stelle.

Die schöne einfache Reihe vom Sinus ist nur deshalb so einfach, weil z.B. sin(0)=0 und -sin(0) ist. Es kommen also nur die cos-terme mit rein, und cos(0)=1 und -cos(0)=-1, daher kommt das + - + - .... Verhalten, also (-1)^k.


Und bei anderen Funktionen, gibt es a´s wo die Reihe überhaupt nicht mehr die Funktion darstellt, selbst wenn n gegen unendlich geht.

Stützstelle=Entwicklungspunkt, ja.

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Die schöne einfache Reihe vom Sinus ist nur deshalb so einfach, weil z.B. sin(0)=0 und -sin(0) ist. Es kommen also nur die cos-terme mit rein, und cos(0)=1 und -cos(0)=-1, daher kommt das + - + - .... Verhalten, also (-1)^k.


was heißt es kommen nur die kosinusterme mit rein und woher kommt auf einmal (-1)^k?

grüße von fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Just do it! (was rot markiert ist), dann wirst du verstehen:

Zitat:
Original von phi
Ich schreib dir erstmal die Definition auf. Betrachte z.B. die Liste der ersten 5 Ableitungen von f(x)=sin(x) nochmal um den Entwicklungspunkt a=0 und setze die Ableitungen und a in untere Summe ein.


Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a



und dem so genannten n-ten Restglied



In den Formeln stehen für die erste, zweite, ... n-te Ableitung der Funktion f.



mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Ich schreib dir erstmal die Definition auf. Betrachte z.B. die Liste der ersten 5 Ableitungen von f(x)=sin(x) nochmal um den Entwicklungspunkt a=0


ja , das hab ich für die f(x9=cos(x9 durchgeführt und ja festgestellt, dass mit steigender ableitung eine immer bessere näherung stattfindet.
Zitat:

und setze die Ableitungen und a in untere Summe ein.

in die restgliedformel?-das kann ich nicht weil mir dann ja noch ein x fehlt
oder wählt man das dann frei, was sollte ich den erkennen.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

x bleibt als unabhängige Variable bestehen, sonst hätten wir keine Funktion zum Integrieren.

Auf die Restgliedformel wollte ich zunächst auch gar nicht hinaus, sondern auf die Terme die 0 werden, und z.B. für sin x:

,

da kann man quasi live miterleben, wie eigentlich die Taylorreihe des Sinus zustande kommt.

Das Restglied wird betragsmäßig für grösserwerdenes n immer kleiner.

mfg
fred Auf diesen Beitrag antworten »

für die zweite ableitung -sin(0) kommt dann 0*x^2 also 0 raus , aber was sagt mir das denn jezt genau?
und wieso kommt so die taylorreihe des sinus zustande, was passiert mit meinem restglied?

ich hab immer soviele fragen verwirrt
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal die 4., 6., ..., alle graden Ableitungen an. Es sagt dir das bei der Taylorreihe des Sinus keine graden Potenzen vorkommen.

Und beim Cosinus ist es umgekehrt, es bleiben nur grade Potenzen übrig.

Das Restglied wird umso kleiner, je mehr Terme du dazunimmst. M.a.W. die Annäherung wird immer genauer.

mfg
fred Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok ,aber was sagt mir das nun zu meiner stützstelle o von f)x)=sin(x)-cos(x)?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dass dabei nur noch die Hälfte aller Ableitungen übrigbleiben. Deutlich wird dass erst wenn du eine andere Stützstelle a einsetzt, z.B. pi/3 , und dass mit dem anderen (a=0) vergleichst .
fred Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich nun
3/pi einsetze, dann folgt bei f' -> (x-(3/pi)
und bei f'' -> (x-(3/pi)²,
ich versteh das immer noch nicht was mir das jetzt sagen soll
viele grüße fred
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche mal deine Frage zu konkretisieren, was ist genau unklar? Ich versteh grade nicht was du genau wissen willst.

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

die ursprüngliche frage war ja, was die stützstelle für eine auswirkung auf die approximation von f(x)=sin(x)-cos(x) hat und mir ist nun unklar wie ich deine ausführungen dazu darauf zu deuten habe
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu hatte ich gesagt, dass du dass nur herausfindest indem du für eine andere Stelle Werte berechnest und vergleichst. Hast du dass schon gemacht?


mfg
fred Auf diesen Beitrag antworten »

so haben wir uns bei dem enwtwicklungspunkt o genähert

n=1 ,

und wenn ich das jetzt für a machen will, dann setz ich hinter jede Zahl ein x-a? ich kann das nicht einsetzen, weil ich nicht weiß wie
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach einsetzen ! Tanzen

okay, ich setz für euch schonmal das a ein, setzt ihr jetzt die k-ten Ableitungen vom sin x ein (Wenn ihr auf "Zitat" geht, könnt ihr die komplette Formel unten veränderen, und abschicken mit euren Ableitungen)

z.B. Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle pi/3=1.0471.. für Sin x:



mfg, phi
FRED Auf diesen Beitrag antworten »



so eingesetzt und nun verwirrt
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Und jetzt noch als letztes entweder:

Für sagen wir n=5

1) ein paar x-Werte sowohl in die Taylorreihe um a=0, um a=Pi/3 und in die reine Sinusfunktion einsetzen.

2) oder drei Graphplots machen und vergleichen.

Da ich selbst in diese Richtung auch noch nie weitergeforscht habe, bin ich auf das Ergebniss gespannt. Deswegen auch die ganze Prozedur, weil um eine Antwort auf eure Frage zu erhalten, muss man der Sache konsequent nachgehen.

mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Super! Und jetzt noch als letztes entweder:

Für sagen wir n=5




was rechene ich denn dann für f?

Zitat:
Original von phi
1) ein paar x-Werte sowohl in die Taylorreihe um a=0, um a=Pi/3 und in die reine Sinusfunktion einsetzen.

x-werte 2 und 7

Taylorreihe mit a=0:

Taylorreihe mit a=pi/2


[/quote]
2) oder drei Graphplots machen und vergleichen.
[/quote]
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

f ist die Funktion, z.B. f(x)=sin x.

ist die fünfte Ableitung von f.

Beispiel: der 5. Summand für f(x)=sin x am Entwicklungspunkt a= Pi/3 für x=7:




mfg, phi
fred Auf diesen Beitrag antworten »

so und was sagt mir nun die 31,...?

ich hab ketzt mal in in die normale taylorreihe um a=0 die x-werte 1,2,5 eingesetzt

x-wert 1
sin(1)=0.8415...
n=3 0.833...
n=5 0.8417
n=7 0.8415... unter n=7 versteh ich x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)


x-wert 2
sin(2)= 0.9092
n=3 0,6666..
n= 5 0,9333..
n=7 0,9079...

x-wert 5
sin(5)= -0.9589..
n=3 10.208
n=5 -5.2926..
n=7 0,08963

ich merke, dass außerm bei x-wert 5 sich die taylorreihenwerte der sin- funktion annähern, aber warum mache ich das eigentlich?
oder hätte ich nicht zB bei n= 7 das in diesen term einsetzen müssen
x+(x^2/2!)-(x^3/3!)+(x^4/4!)-(x^5/5!)+(x^6/6!)-(x^7/7!)

???
milka Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich glaub du hast da einen fehler gemacht, aber ich kann dir das jetzt euch nicht erklären, aber ich denk da wird dir jemand von deen netten helfern hier im forum wohl mit rat und tat zur seite stehen.
mfg milka
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