Nullstellen der Funktion

25.02.2006, 16:42

flush

Nullstellen der Funktion

Hallo,

brauche die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=5\cdot e^{-\frac{x^{2}}{x^{2}-4x+4}} \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich das machen bzw. wie bekomme ich das e weg?

25.02.2006, 16:43

-felix-

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Was sind denn die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = e^x \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2006, 16:46

flush

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ähm gar keine...

25.02.2006, 16:52

-felix-

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Genau. Kann dann deine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Nullstellen haben?

25.02.2006, 16:59

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Zitat:

Genau. Kann dann deine Funktion Nullstellen haben?

warum stellst du die frage?? willst du etwa sagen, dass f(x) keine nullstellen hat? nur weil
$\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ keine nullstellen hat, bedeutet das nicht gleich, dass der graph f auch keine nullstellen hat, denn das ist ne ganz andere funktion

@flush: es hat genau drei nullstellen, aber aufgaben solcher art hatte ich noch net(klasse 11) und kann es auch net...

25.02.2006, 17:02

flush

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Also ok. Wie mach ich das dann?!

25.02.2006, 17:04

-felix-

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Genau das will ich. Angenomenn, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ habe die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} -\frac{z_n^2}{z_n^2-4*z_n+4} = x_n \end{eqnarray*}$ und natürlich auch die Umkehrung. Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ jedoch keine Nullstellen hat, kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ebenfalls keine haben.

25.02.2006, 17:10

rain

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wie kommt PG darauf dass f drei nullstellen hat?

25.02.2006, 17:11

Calvin

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Zitat:

Original von PG
willst du etwa sagen, dass f(x) keine nullstellen hat? nur weil
$\begin{eqnarray*} g(x)=e^x \end{eqnarray*}$ keine nullstellen hat, bedeutet das nicht gleich, dass der graph f auch keine nullstellen hat, denn das ist ne ganz andere funktion

Aber mit den gleichen Eigenschaften. Jede Funktion der Art $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{g(x)} \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen. Demnach ist die Aussage

Zitat:

@flush: es hat genau drei nullstellen

falsch.

25.02.2006, 17:13

flush

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also ich würde das einfach so behaupten: e^irgendwas kenn eh nie 0 werden, also ist auch 5*e^irgendwas=0 eine nie erfüllbare Gleichung. Wenn man das so sagen kann...

25.02.2006, 17:14

flush

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Dann hätt ich noch was und zwar soll ich sagen wie sich die Funktion für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2\pm } \end{eqnarray*}$ verhält.

Also der Nenner hat die Form (x-2)(x-2) wobei die 2 dann nicht im Definitionsbereich wär.

25.02.2006, 17:15

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wie kann man überhaupt e-funktionen hier im plotter zeichnen? welche abkürzung muss ich für e nehmen?
mein plotter hat drei nullstellen angezeigt

25.02.2006, 17:16

rain

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@flush,
so kann man das sagen... smile

25.02.2006, 17:17

flush

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die nullstellen waren wahrscheinlich 1*10^-20 mm von der x achse weg *ggg*

25.02.2006, 17:19

Calvin

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@PG
das geht mit e^x=exp(x) im Plotter.

25.02.2006, 17:26

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seht ihr, was habe ich gesagt, es hat nullstellen.

man muss es irgendwie mit ln machen,damit der exponent nach unten kommt, aber damit kenn ich mich echt net aus

25.02.2006, 17:28

Calvin

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Das, was du als Nullstelle siehst, ist keine Nullstelle, sondern Teil der nächsten Aufgabe von flush.

@flush
Wie weit bist du denn mit dem Grenzwert? Das Bild aus meinem letzten Posting ist da schon hilfreich.

25.02.2006, 17:31

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calvin, er wollte doch nullstellen finden und dies sehen wir im plotter
nullstellen definier ich als
$\begin{eqnarray*} N(x/0) \end{eqnarray*}$
und der berührt die x-achse und das sind nullstellen

25.02.2006, 17:33

rain

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@PG
die schaubilder täuschen öfters mal,rechnerisch ist es immer besser zu sehen... smile

2,7...^z kann für kein einziges z aus R gleich 0 werden,es kann beliebig klein werden,so wie im schaubild erkennbar,aber nunmal nie 0!

25.02.2006, 17:33

-felix-

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richtig. $\begin{eqnarray*} x_n \in D_f \end{eqnarray*}$ heißt Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt lese mal aus deinem Plot die Nullstellen ab und prüfe nach, ob die Bedingung für Nullstellen erfüllt ist.

25.02.2006, 17:33

flush

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also noch mal zu der Limes Geschichte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2+ } 5\cdot e^{-\frac{x^{2}}{(x-2)(x-2)} } \end{eqnarray*}$

da würde der Zähler gegen 4+ gehen und im Nenner jeweils gegen 0+ je Klammer gehen. Also der gesamte Term gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ ohne das - als Vorzeichen, denn das kann ich ja auch so umformen:

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \frac{1}{e^{\frac{x^{2}}{(x-2)(x-2)} }} \end{eqnarray*}$ also müsste doch das ganze dann $\begin{eqnarray*} 5\cdot \frac{1}{e^{\frac{4}{0} }} \end{eqnarray*}$ sein. Also $\begin{eqnarray*} 5\cdot \frac{1}{e^{\infty }} \end{eqnarray*}$ dann geht das ganze dann gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder?

25.02.2006, 17:36

-felix-

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Die ersten Überlegungen stimmen. $\begin{eqnarray*} e^\infty \to \infty \end{eqnarray*}$ ist richtig, wenn auch von der Schreibweise fragwürdig. Kann dann allerdings $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^\infty} \to \infty \end{eqnarray*}$ gelten?

25.02.2006, 17:41

flush

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ja eigentlich schon der Bruch wird ja immer kleiner aber geht ja trotzdem nie ins Negative

25.02.2006, 17:43

-felix-

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Glaub du meinst das richtige, siehst aber grad den Wald vor lauter Bäumen nicht.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^\infty} \to \infty \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass der Bruch immer größer wird.
Wenn du allerdings meinst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^\infty} \to 0 \end{eqnarray*}$ , dann liegst du goldrichtig.

25.02.2006, 17:43

rain

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das es nicht ins negative geht,ist klar,dann würde es ja nullstellen geben,aber das hast du ja schon selber erkannt,dass es diese nicht gibt..

was gibt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ 1000} \\ \frac{1}{10000} \\ ... \end{eqnarray*}$
also was passiert wenn bei nem bruch der nenner immer größer wird?

25.02.2006, 17:52

flush

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ja klar ok, geht gegen 0. Wie ist das denn wenn ich dann das ganze mit 2- mache? Also das - oder + hinter der Zahl heißt ja dass ich von der negativen oder der positiven Seite her komme. Hat das denn irgendwelche Auswirkungen dann auf den Grenzwert? Das kapier ich nicht so ganz wie ich das handhaben soll...

$\begin{eqnarray*} 5\cdot \frac{1}{e^{\frac{x^{2}}{(x-2)(x-2)} }} \end{eqnarray*}$

Dann würde doch das im Zähler 4- sein und im Nenner jeweils 0-. Würde ja dann eigentlich dasselbe rauskommen wenn man jetzt die - nicht beachtet, nur was spielen die dann überhaupt für ne Rolle...

25.02.2006, 17:59

rain

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am besten du rechnest dass einmal für 1,9 durch und einmal für 2,1 dann siehst du wie sich das ganze verhält..in dem fall kommt dasselbe raus,auch im schaubild erkennbar.

25.02.2006, 18:02

-felix-

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Im Zähler steht $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 \end{eqnarray*}$ , also ist es egal ob du von links gegen 2 oder von rechts gegen 2 gehst, der Bruch geht immer gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ .
Etwas anderes wäre, wenn im Zähler nur $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ stehen würde. Kannst dir ja mal überlegen, was dann passieren würde.

25.02.2006, 18:11

flush

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keine Ahnung, was würde dann passieren? Das im Zähler geht gegen 4- oder stimmt das nicht? Sondern gegen 4 weils im Quadrat ist?

Bei (x-2) würde es ja dann gegen 0- gehen und bei (x-2)(x-2) dann gegen 0-*0-=0+ ??

25.02.2006, 18:34

rain

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felix meint,dass es egal ist ob (x-2) sich der 0 "von unten" annähert,also von -0,01 oder von oben,also 0,01,weil das ganze im quadrat steht und somit in beiden fällen positiv wird.wenn jez nur (x-2) ohne quadrat da steht,geht der bruch für ein x,dass sich der 2 von unten annähert,also sagen wir einfach mal 1,9 gegen "0-".weil der nenner (x-2)=(1,9-2)=-0,1 negativ wird,wenn man sich nun von der anderen seite annähert,also z.B. 2,1 geht der Bruch gegen "0+"..

25.02.2006, 18:44

flush

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ja ok, aber das hat letztendlich eigentlich dann nix mit dem Grenzwert zu tun, oder? Also das - oder + hinter der Zahl gegen was das dann geht, brauch ich nicht beachten?

25.02.2006, 18:53

rain

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nein,der grenzwert ist 0.das ist nur zu beachten um zu wissen wie die kurve läuft.ob oberhalb oder unterhalb der x-achse in dem bereich

25.02.2006, 19:02

flush

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ok.

Also ist die Funktion ja stetig ergänzbar für x=2. Für welchen Wert muss ich die Funktion dann an der Stelle x=2 ergänzen?
Bzw. wie funktioniert das davon hab ich auch keinen Plan...

25.02.2006, 19:53

mercany

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Naja, du überlegt dir jetzt eine Konstantenfunktion, für die deine abschnittsweise definierte Funktion dann an der Stelle x_0 = 3 stetig ist.

Dazu muss an der Stelle x_0=3 der links- und rechtsseitige Grenzwert mit dem an der Stelle x_0 erklären Funktionswert übereinstimmen.

Allgemein sähe das so aus:

$\begin{eqnarray*} f(x) &=&\begin{cases} f(x)\, & , x \in \mathrm{D_f} \\ \lim_{x \to x_0} f(x) &, x=x_0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

25.02.2006, 19:59

flush

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versteh ich nicht... wie kommst du auf x_0=3?

25.02.2006, 20:12

-felix-

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wahrscheinlich ein Tippfehler. Sollte wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ heißen, denn hier ist ja die Definitionslücke deiner Funktion und für diese Stelle hast du den Grenzwert berechnet.

25.02.2006, 20:26

flush

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ok wie mach ich das dann? Hab da gar kein Beispiel dafür, daher hab ich keine Ahnung was da nachher dabei rauskommen soll...

26.02.2006, 18:13

flush

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kann mir da keiner weiterhelfen? Hab keine Ahnung wie ich da was ergänzen soll...

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