separable Körpererweiterung

25.02.2006, 16:49

schlimu

separable Körpererweiterung

Hallo,
kann mal bitte jmd. drübersehen, ob das hier stimmt?

Aufgabe:
Man begründe ob das Folgende wahr oder falsch ist.

Ist die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} K(a, b) / K \end{eqnarray*}$ separabel, so ist auch die Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} K(a, b) / K(a) \end{eqnarray*}$ separabel.

Meine Lösung dazu:
Die Aussage ist wahr.

$\begin{eqnarray*} K(a, b) / K \end{eqnarray*}$ separabel
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} m_y \end{eqnarray*}$ eines Elementes $\begin{eqnarray*} y \in K(a, b) \end{eqnarray*}$ hat nur einfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} K \subseteq K(a) \end{eqnarray*}$ gilt somit auch: $\begin{eqnarray*} m_y \end{eqnarray*}$ hat auch nur einfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ .

25.02.2006, 18:38

quarague

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ich glaube so einfach geht es nicht. m_y ist dein Minimalpolynom zu y über K. Das Minimalpolynom zu y über K(a) ist nicht unbedingt das gleiche, da musst du auf jeden Fall noch was drüber sagen.

26.02.2006, 01:03

schlimu

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Sei $\begin{eqnarray*} m_y(x) \in K[x] \end{eqnarray*}$ Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} y \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m^*_y(x) \in K(a)[x] \end{eqnarray*}$ Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} y \in K(a) \end{eqnarray*}$ .

Dann müsste doch gelten:
$\begin{eqnarray*} m_y^*(x) \; | \; m_y(x) \end{eqnarray*}$

Mehr fällt mir dazu nicht ein...

26.02.2006, 01:28

JochenX

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RE: separable Körpererweiterung

Zitat:

Original von schlimu
$\begin{eqnarray*} K(a, b) / K \end{eqnarray*}$ separabel
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ Das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} m_y \end{eqnarray*}$ eines Elementes $\begin{eqnarray*} y \in K(a, b) \end{eqnarray*}$ hat nur einfache Nullstellen in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

das ist falsch, das Minimalpolynom hat in K gar keine Nullstellen (wenn es nicht MP eines Elementes aus K ist); es hat nur einfache Nullstellen überhaupt, dabei können diese NST natürlich aus dem algebraischen Abschluss von K sein

L|K separabel <=> jedes MP von Elementen aus L über K ist separabel <=> jedes MP von Elementen aus L hat im alg. Abschluss von K nur einfache NST

aber deine Beweisidee ist schon die Richtige

26.02.2006, 03:19

schlimu

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@loed: meinst du das mit dem Teiler oder die Mengeninklusion? (richtige idee...)

Kann mir vielleicht einer noch 'nen kleinen Tipp geben?

Ich seh's einfach nicht...

26.02.2006, 03:56

JochenX

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Zitat:

Original von schlimu
@loed: meinst du das mit dem Teiler oder die Mengeninklusion?

von einer Mengeninklusion habe ich hier noch gar nix gelesen.... verwirrt

nimm ein Element x aus K(a,b) und betrachte sein MP über K(a)
nimm an es sei inseparabel
was gilt dann für das MP von x über K?

26.02.2006, 19:54

schlimu

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(nächster Versuch: )

Sei $\begin{eqnarray*} \xi \in K(a,b), \; m_\xi^* \in K(a)[x] \end{eqnarray*}$ inseparabel.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists \end{eqnarray*}$ ein Linearfaktor des Minimalpolynoms $\begin{eqnarray*} m_\xi^* \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ mindestens zwei Mal.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Dieser Linearfaktor kommt dann in dem Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ natürlich auch mindestens zwei Mal vor. Somit ist dieses auch inseparabel.

qed

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anderer Weg:

K(a,b) / K ist separabel, d.h. für ein $\begin{eqnarray*} \xi \in K(a,b) \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} m_\xi \in K[x] \end{eqnarray*}$ nur einfache Nullstellen hat

<=> $\begin{eqnarray*} m_\xi (x) = \prod_i (\sigma_i - x) \end{eqnarray*}$ , alle $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ sind paarweise verschieden.

=> man kann $\begin{eqnarray*} m_\xi (x) \end{eqnarray*}$ zerlegen in Linearfaktoren mit $\begin{eqnarray*} \sigma_i \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sigma_i \in K(a), \; da \; K \subseteq K(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m_\xi^* \in K(a)[x] \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls separabel.

qed

======================================
Ich habe so ein Gefühl, dass ich den zweiten Beweis so nicht machen kann, ich weiß aber nicht, warum... also, wer nen Hinweis hat: wär echt super... Wink

26.02.2006, 21:49

JochenX

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Zitat:

Original von schlimu
=> man kann $\begin{eqnarray*} m_\xi (x) \end{eqnarray*}$ zerlegen in Linearfaktoren mit $\begin{eqnarray*} \sigma_i \in K \end{eqnarray*}$

wieso in K!?

26.02.2006, 21:51

schlimu

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na sind die nicht in K?
oder in K[x]...?

ich weiß es nicht so genau.

26.02.2006, 22:13

JochenX

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die $\begin{eqnarray*} \sigma_i \end{eqnarray*}$ sind doch die NullStellen deines Minimalpolynoms
und jetzt denkst du nochmal nach, ob diese NST wohl in K sind, oder in K[X] oder vielleicht doch ganz woanders.......

mfg Jochen

26.02.2006, 22:19

schlimu

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die sind im algebraischen Abschluss...also jedenfalls will ich bei dem Beweis eigtl. nur darauf hinaus, dass ich $\begin{eqnarray*} K \subseteq K(a) \end{eqnarray*}$ benutzen kann. (bzw. ob mir das was nützt...)

Geht das oder geht das nicht?

26.02.2006, 22:21

JochenX

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Zitat:

Original von schlimu
die sind im algebraischen Abschluss...

genau.... nennen wir ihn K'

Zitat:

also jedenfalls will ich bei dem Beweis eigtl. nur darauf hinaus, dass ich $\begin{eqnarray*} K \subseteq K(a) \end{eqnarray*}$ benutzen kann.

K ist natürlich definitionsgemäß ein teilkörper von K(a), aber wenn du änderst, dass deine sigma_i aus K sind, sondern stattdessen in K', dann ist das oben trotzdem pustekuchen

was aus K ist sind die KOEFFIZIENTEN aus deinem Polynom und die Richtung ist schon nicht schlecht.....

26.02.2006, 22:59

schlimu

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stimmt denn wenigstens der erste Beweis?

26.02.2006, 23:01

JochenX

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was vielleicht noch fehlt:
der Teilbeweis, dass das eine Minimalpolynom Teiler des anderen ist

sonst gehts klar

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