Rotationsvolumen um y-Achse

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25.02.2006, 22:02	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationsvolumen um y-Achse Hallo, ich habe hier ein kleines Problem: Gegeben sind 2 Graphen mit $\begin{eqnarray} f1(x)=3x² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f2(x)=1/2x²+1 \end{eqnarray}$ . Diese rotieren um die y-Achse und schließen eine Fläche ein. Diese sollen wir berechnen, und zwar in den Grenzen x=0 und x=5. Doch da genau liegt mein Problem. Wo und wann und warum setzte ich welche Grenzen ein? Einmal bekomme ich als Ergebnis -102,5pi, was ja nicht sein kann, und ein anderes mal 875pi, was ebenfalls nicht richtig ist. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, und erklären, warum ich was zu machen habe.
25.02.2006, 22:10	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schauen wir´s mal an: Okay, wie sieht denn dein Integral aus ? Ohne das kann man nicht sagen wo´s hakt. mfg, phi
25.02.2006, 22:15	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube heute ist nicht meint Tag! Hier die richtigen Formeln: $\begin{eqnarray} f1(x)=1/5x²+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f2(x)=3x+7 \end{eqnarray}$ Meine Integrale nach der Formel für Rotationsvolumina umgestellt: $\begin{eqnarray} f1(x)=\pi\int_{b}^{a}~(5y-10)~dy \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f2(x)=\pi\int_{b}^{a}~(1/3y-7/3)²~dy \end{eqnarray}$
25.02.2006, 22:28	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, hast auch gleich den Formeleditor benutzt. Hmm, ich kenn jetzt nur die Formel für Rotation um y-Achse: $\begin{eqnarray} V = \pi \cdot \int_{f(a)}^{f(b)} x^2 \cdot dy \end{eqnarray}$ y im Integral dürfte nur bei Rotation um die x-Achse vorkommen, und die Grenzen sind Funktionswerte. vlt. war das das Problem? mfg, phi
25.02.2006, 22:35	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} y=1/5x²+2 \end{eqnarray}$ ist, ist ja $\begin{eqnarray} x²=5y-10 \end{eqnarray}$ . Das eingesetzt in $\begin{eqnarray} V(y)=\pi\int_{b}^{a}~x²~dy \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \pi\int_{b}^{a}~(5y-10)~dy \end{eqnarray}$ . Von daher muss ja ein y vorkommen, sonst macht das dy ja keinen Sinn, oder habe ich das was grundlegend falsch verstanden? Jedenfalls welche Funktionswerte sollen denn für a und b eingesetzt werden?
25.02.2006, 22:37	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt versteh ich. Ja, dann ist das soweit richtig. Nur für die Integrationsgrenzen nimmst du f(5) und f(0), das mach ja auch Sinn, da wir über y integrieren. Damit müsste es klappen. mfg, phi
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25.02.2006, 23:32	Diana2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Machs lieber so: umkehrfunktionen bilden und diese um die x achse rotieren lassen, einfach von 0-5 greezt
26.02.2006, 10:13	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
das geht zwar auch, aber es gibt Funktionen die kann man nicht ohne großen Aufwand umkehren. deshalb wäre die Übung es mit dy zu machen nützlich. mfg
26.02.2006, 17:46	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann kommt ja für f(a)=0 und f(b)=5 folgendes raus: $\begin{eqnarray} \pi\int_{2}^{7}~(5·y - 10)~dy = 125/2 \pi \end{eqnarray}$ bei der zweiten Gleichung kommt dann $\begin{eqnarray} \pi \int_{7}^{22}~(1/3y-7/3)^2~dy = 125\pi \end{eqnarray}$ raus. Für die neuen Grenzen habe ich die Funktionswerte der jeweiligen Funktion bei x=0 und x=5 gesetzt, richtig? Da ich den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche haben möchte, muss ich die f1 - f2 rechnen, oder? Denn dann kommt ein negatives Ergebnis raus, was bei einer Fläche ja nicht sein kann. Oder welchen Ansatz muss ich sonst wählen?
26.02.2006, 17:54	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Moment, worum geht´s : die Fläche zwischen den zwei Kurven, oder das Volumen das durch Rotation entsteht. Die Formel die wir hier anwenden ist für das Rotations-Volumen. und da ist f1(0)=0, f1(5)=75 und f2(0)=1 , f2(5)=13.5. Aber erstmal muss die Aufgabenstellung klar sein. mfg, phi
26.02.2006, 18:00	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Also beide Graphen rotieren um die y-Achse und wir sollten die Fläche berechnen, die von den Graphen eingeschlossen ist und ebenfalls rotiert . Also das Rotationsvolumen. Sorry, dass es so umständlich ausgedrückt ist, hoffe ihr versteht was ich meine.
26.02.2006, 18:06	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt als ob ihr beides berechnen sollt die Fläche, das geht mit normaler Integralrechnung I2-I1, und das Rotationsvolumen, welches mit den oben angegebenen Grenzen berechnet wird. Wie bist du denn auf 7 und 2 bzw. 22 und 7 gekommen ? Es heißt x zwischen 0 und 5, und nicht y zwischen 0 und 5. also f(0)=.. und f(5)=..., so ist es definiert. Siehe oben. mfg
26.02.2006, 18:33	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir halt übelegt, dass ich die y-Werte für x=0 und x=5 brauche, habe sie also in die Ausgangsgleichung eingesetzt.
26.02.2006, 18:34	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt ja, aber 3 mal 5^2 ist doch gleich 3 mal 25 =75 usw. Mit Ausgangsgleichungen meine ich: $\begin{eqnarray} f1(x)=3x² \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f2(x)=1/2x²+1 \end{eqnarray}$ mfg
26.02.2006, 18:38	Roman S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, nein, sorry, du gehst von den falschen Ausgangsgleichungen aus. Hatte mich ja korrigiert, weiter unten. Sorry, das war mein Fehler. das sind die richtigen: $\begin{eqnarray} f1(x)=1/5x²+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f2(x)=3x+7 \end{eqnarray}$
26.02.2006, 18:52	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, okay. Dann müsste es ja oben stimmen .
17.03.2011, 15:19	R.J.	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rotationsvolumen um y-Achse um sich den ganzen Umstand mit Umkehrfunktionen zu sparen kann man auch her gehn und: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = f'(x) \end{eqnarray}$ nach dy umstellen, einfügen und man hat wieder ein gewöhnliches Integral mit dx (natürlich müssen die Grenzen jetzt tatsächlich x werte sein) MFG R.J.

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