Aussagenlogik-Implikation

25.02.2006, 23:05

MrPSI

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Aussagenlogik-Implikation

N'Abend.

Wink

Ich beschäftige mich gerade mit der Logik und der Mengenlehre, den Grundfesten der Mathematik also, und habe eine Frage zum logischen Operator der Implikation.

Wenn für zwei Aussagen p(Vorraussetzung), q(Resultat) gilt p=0 und q=0, und dann die Implikation gemacht wird, wieso ist dann das Theorem $\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q=1 \end{eqnarray*}$ ? Find ich komisch, dass ,wenn die Vorraussetzungen und das Resultat falsche Aussagen sind, dann das gesamte Theorem wahr ist.

Wer sich das PDF anschauen will klicke bitte hier.
Das Logik-Zeugs ist irgendwo ab Seite 49.

25.02.2006, 23:31

papahuhn

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Eine Implikation ist nur dann falsch, wenn es ein "Gegenbeispiel" gibt, d.h. falls die Voraussetzung stimmt, aber das Resultat nicht eintritt. Wenn die Voraussetzung bereits nicht gegeben ist, dann kann man der Implikation nichts vorwerfen.

25.02.2006, 23:47

MrPSI

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Also wenn die Vorrausetzungen falsch sind, dann gibts praktisch kein Gegenbeispiel?

26.02.2006, 00:27

sqrt(2)

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Ja. Du kannst dir soetwas auch immer mit Textbeispielen klar machen: Wenn ich behaupte "Wenn es regnet, dann habe ich einen Schirm bei mir", bin ich dann ein Lügner, wenn ich keinen Schirm bei mir habe und es nicht regnet?

26.02.2006, 00:27

papahuhn

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Gegenbeispiel ist eigentlich das falsche Wort, deshalb hab ich es in Gänsefüßchen gesetzt. Machen wir mal etwas aus dem Alltag.
"Wenn du Kinder hast, bekommst du Kindergeld". Sagen wir mal, das wäre eine unumgängliche Regel. Jetzt gehst du zum Amt und verlangst Kindergeld, obwohl du keine Kinder hast. Die geben dir aber nix. Haben sie dann gegen die Regel verstoßen?

26.02.2006, 00:30

sqrt(2)

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Zitat:

Original von papahuhn
Gegenbeispiel ist eigentlich das falsche Wort, deshalb hab ich es in Gänsefüßchen gesetzt.

Naja, ein Gegenbeispiel wäre eine Situation, in der ich keinen Schirm bei mir habe, obwohl es regnet, oder in der ich kein Kindergeld bekomme, obwohl ich Kinder habe.

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26.02.2006, 00:48

MrPSI

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Gut, Danke euch beiden. Habs jetzt verstanden. smile

smile

26.02.2006, 00:50

papahuhn

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@sqrt(2)

Ja, aber wir beide haben eigentlich Gegenbeispiele für Folgerungen geliefert, und nicht für Implikationen. Auf der linken Seite einer Implikation kann nur "wahr" oder "falsch" stehen, da gibt es keine Gegenbeispiele. Eine Folgerung ist in einem gewissen Sinne eine Schablone, die durch Einsetzen zur Implikation wird und die du auf Wahrheit überprüfen kannst. Wenn du etwas findest, das beim Einsetzen eine falsche Implikation erzeugt, dann hast du darin ein Gegenbeispiel für die Folgerung gefunden.

26.02.2006, 01:03

sqrt(2)

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Zitat:

Original von papahuhn
Wenn du etwas findest, das beim Einsetzen eine falsche Implikation erzeugt, dann hast du darin ein Gegenbeispiel für die Folgerung gefunden.

Naja... Diese Trennung halte ich schon für sehr künstlich. Was hat das für einen Sinn? Man kann doch auch die Implikation direkt in den Kontext einbetten und muss nicht die Komponenten der Folgerung im Kontext auswerten, um sie dann als binäre Belegung für die Implikation zu nutzen...

26.02.2006, 01:10

papahuhn

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Meine Einstellung dazu habe ich schonmal zu erklären versucht: Logische Umformung mit Quantoren

Vielleicht wirds dann klarer, was ich damit meine.

26.02.2006, 01:17

sqrt(2)

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Also kurz $\begin{eqnarray*} p(x)\Ra q(x) \Longleftrightarrow \forall x :~ p(x)\ra q(x) \end{eqnarray*}$ (unglücklicherweise ist das ein Kreisschluss, aber man versteht, was gemeint ist).

Wenn du es so siehst, dann ändere ich mein Beispiel in "Immer wenn es regnet, habe ich einen Schirm dabei", und das Problem sollte erledigt sein.

26.02.2006, 01:24

papahuhn

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Zitat:

Also kurz $\begin{eqnarray*} p(x)\Ra q(x) \Longleftrightarrow \forall x :~ p(x)\ra q(x) \end{eqnarray*}$

Ja, das trifft meine Anschauung von Folgerungen und Implikationen ziemlich genau.

26.02.2006, 21:31

MrPSI

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Eine Frage hab ich doch noch Big Laugh

Big Laugh

:

wenn p=0 und q=0, dann kann $\begin{eqnarray*} p \Rightarrow q = 0/1 \end{eqnarray*}$ sein, oder?
Man nehme z.B. sqrt(2)'s Regenbeispiel her: wenn es nicht regnet, dann kann man nicht wissen, ob er gelogen hat oder nicht, also ob die Implikation richtig ist oder nicht. Also kann man bei der Implikation eine 0 hinschreiben, richtig?

26.02.2006, 21:55

papahuhn

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Ne. Wenn die linke Seite 0 ist, dann ist die Implikation auf jeden Fall wahr.

Ps:

Zitat:

wenn es nicht regnet, dann kann man nicht wissen, ob er gelogen hat oder nicht, also ob die Implikation richtig ist oder nicht.

Diese Frage zeigt doch eigentlich, was passiert wenn man die Begriffe Implikation und Folgerung vermischt. Du fasst Implikation als Synonym für Folgerung auf. Deshalb fragst du dich, ob sqrt(2)'s Folgerung nicht doch falsch sein könnte, nur weil die Basis für ein Gegenbeispiel gefehlt hat.
Deshalb nochmals der Tipp: Fasse $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ als eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} \neg A \vee B \end{eqnarray*}$ auf und nicht als eine Folgerung.

@Frooke: "rightarrow" bitte stehen lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.02.2006, 22:52

MrPSI

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ok...hm.... verwirrt

verwirrt

also die Implikation ist definiert als $\begin{eqnarray*} \neg a \vee b \end{eqnarray*}$ .
Aber was ist der Unterschied zw. Implikation und Folgerung?
Bei einer Implikation gibt es Vorraussetzungen und Resultate und man kommt vom einem zum anderen durch Schlussfolgern. Wo ist da der Unterschied?

Und wieso definiert man die Implikation so? Wieso geht man dabei nicht von der menschlichen Logik aus? Es geht ja um Mathe, also sollte es auch mMn menschlich logisch sein.

menno, und ich dachte Logik wär mal ein gaaanz einfaches Thema. traurig

traurig

26.02.2006, 23:42

papahuhn

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Ich glaube ich verwirre dich, anstatt dir zu helfen. Wie genau habt ihr die Implikation definiert?
Ich sage dir jetzt mal, was ich unter einer Implikation im mathematischen Kontext verstehe.
Innerhalb der Aussagenlogik wird die Syntax von Formeln definiert:
1. $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist eine AL-Formel
2. $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist eine AL-Formel
3. Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine AL-Formel, so ist auch $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ eine AL-Formel.
4. Sind $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ AL-Formeln, so sind auch $\begin{eqnarray*} (A \circ B) \end{eqnarray*}$ AL-Formeln, mit $\begin{eqnarray*} \circ \in \{\vee, \wedge, \rightarrow\} \end{eqnarray*}$ .

Dann kommt man zur Semantik. $\begin{eqnarray*} \vee, \wedge, \neg \end{eqnarray*}$ werden so definiert, wie man es erwartet, und bei der Implikation (diesen Namen gibt man dem Pfeil) heißt es dann, $\begin{eqnarray*} A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \neg A \vee B \end{eqnarray*}$ . Man definiert einfach den Begriff "Implikation" neu. Sie ist in dem Kontext dann eine stinknormale Formel, auch wenn sie viele Ähnlichkeiten mit dem alten Begriff hat, der einem im Kopf herumgeht.
Unser Prof hat kein Wort darüber verloren was Implikationen mit Folgerungen gemeinsam haben, ob sie dasselbe sind oder etwas anderes. Er hatte seine Definition und ist damit fein raus. Jeder Zuhörer macht sich da aber seine eigene Vorstellung von; die meisten setzen die so definierte Implikation wahrscheinlich mit einer Folgerung gleich. Meiner persönlichen Ansicht nach sind es aber zwei verschiedene Dinge, und ich habe auch zu erklären versucht, warum.

26.02.2006, 23:59

MrPSI

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hm...deine Unterscheidung zw. Folgerung und Implikation meine ich jetzt einigermasen gerafft zu haben.

Ich werde die Definition wohl so hinnehmen müssen, werde aber einen Bogen um den Fall p=0 machen, da die Ergebnisse der Überprüfung dieser Implikation mMn nicht der Logik entsprechen, sondern einfach blind defîniert sind, damit es als AL-Formel erscheint.

Aber ich bedanke mich für die Zeit und die Mühen, die ich dich gekostet habe.

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