Herleitung

26.02.2006, 20:49	pit	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Kann mir jemand eine Herleitung für die Permutation mit Wiederholung und die Kombinationen sagen. Verstehe vor allem diese k! Faktoren im Nenner nicht. Wie kommt man darauf ?
28.02.2006, 09:47	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiel für Permutation mit 3 Elementen a, b, c: Für a gibt es 3 mögliche Stellen , b kann sich noch aus zwei Stellen einen Platz suchen, und für c bleibt nur noch ein Platz, also 3 mal 2 mal 1 = 3! =6. a,b,c b,a,c b,c,a a,c,b c,a,b c,b,a siehe auch hier und linkliste und tabelle mfg
28.02.2006, 10:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Schwerpunkt der Frage liegt wohl bei Permutationen mit Wiederholung. Ich gehe mal davon aus, dass du die "einfachen" Permutationen verstanden hast, ansonsten siehe die Erklärung von phi. Betrachten wir mal das Beispiel aller "Wörter" mit $\begin{eqnarray} aabbbcd \end{eqnarray}$ , d.h., aller siebenstelligen Buchstabenfolgen mit genau zweimal a, genau dreimal b und jeweils genau einmal c und d. Dann tun wir in einem ersten Schritt zunächst so, als wären alle diese 7 Buchstaben voneinander unterscheidbar, etwa indem wir die mehrfachen mit einem Index versehen: $\begin{eqnarray} a_1a_2b_1b_2b_3cd \end{eqnarray}$ In dem Fall gibt es dann genau 7! Permutationen, eine davon z.B. $\begin{eqnarray} b_2ca_2db_3b_1a_1 \end{eqnarray}$ . Wenn wir jetzt die Indizes gedanklich aber wieder weglassen, dann stellen wir fest, dass mehrere dieser 7! Permutationen jeweils einander gleich sind - so ergeben z.B. $\begin{eqnarray} b_2ca_2db_3b_1a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_1ca_2db_2b_3a_1 \end{eqnarray}$ , oder auch $\begin{eqnarray} b_2ca_1db_1b_3a_2 \end{eqnarray}$ dieselbe Buchstabenfolge $\begin{eqnarray} bcadbba \end{eqnarray}$ . Und nun kann man bestimmen, wieviele der Permutationen mit Indizes bei Weglassen dieser Indizes jeweils einander gleich sind: Das ergibt sich gerade durch die Permutationen der a's untereinander, sowie der b's untereinander. Für $\begin{eqnarray} a_1,a_2 \end{eqnarray}$ gibt es 2! Permutationen, und für $\begin{eqnarray} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray}$ dann 3! Permuationen. Insgesamt sind also jeweils $\begin{eqnarray} 2!\cdot 3! \end{eqnarray}$ der Index-Varianten bei Weglassen dieser Indizes einander gleich, was in der Anzahl der Permuationen durch eine entsprechende Division durch diese Mehrfachanzahl Berücksichtigung findet: $\begin{eqnarray} \frac{7!}{2!\cdot 3!} = \frac{5040}{2\cdot 6} = 420 \end{eqnarray}$
28.02.2006, 16:32	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön veranschaulicht, Arthur Ich hab mal im Stochastik-Verzeichnis einen Link dazu gesetzt. Gruß vom Ben

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