Lineare Optimierung - Minimierung

27.02.2006, 10:27

Anima

Lineare Optimierung - Minimierung

hallöchen,
wir haben vor einer woche als gruppenarbeit eine textaufgabe bekommen welche wir bearbeiten, ausrechen, auswerten und dann vortragen und den andern Gruppen erklären sollten. Leider bin ich aus einem dummen zufall herraus alleine geblieben und fühl mich wie ein förster im Wald der die Bäume nimmer sieht. unglücklich

Habe ähnliche aufgaben schon gemacht und weiß auch Theoretisch wie es geht aber trotzdem komme ich nicht weiter....

wäre für tipps wie die aufgabe anzugehen ist sehr dankbar, da ich sie bis freitag abgeben muss ( diese oder nächste woche ... ist noch nicht raus, weil letzte woche ausviel und ich nicht weiß ob der tag nun mitgerechnet wird oder nicht.

nun die Aufgabe:

Ein Lieferant für Rennställe benötigt pro Woche mindestens 500 Ballen Heu und 400 Ballen Stroh. Er bezieht Heu und Stroh von zwei Betrieben, die als Kaufanreiz Kombiangebote machen: Die landwirtschaftliche Genossenschaft Westenberg gibt beim Kauf von jeweils 6 Ballen Heu 4 Ballen Stroh gratis, die Genossenschaft Ostenberg gibt 2 Ballen Heu gratis beim Kauf von jeweils 8 Ballen Stroh.

Erfinden Sie eine geeignete Fragestellung und lösen Sie dann die Aufgabe.

Soweit zur Orginal Aufgabe.
Es geht darum, das der Lieferant den mindestbedarf decken muss, aber dabei möglichst geringe Kosten haben möchte. Ungefähr hier fängt dann mein Wald an. Die Lichtung kann ich zwar sehen aber sind noch paar meter bis dahin unglücklich

Hoffe das mir jemand helfen kann den Wald zu lichten.
Liebe Grüße

Anima

27.02.2006, 14:46

Ben Sisko

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Hallo Anima,

sind keinerlei Preise gegeben? verwirrt

Denn dann kann man ja im Prinzip keine Aussage über irgendwelche Kosten machen...

Gruß vom Ben

27.02.2006, 22:54

Abakus

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Hallo,

vielleicht soll einfach ein Parameter eingeführt werden? Etwa $\begin{eqnarray*} p_1 = \alpha * p_2 \end{eqnarray*}$ .

Oder setze zuerst einfach $\begin{eqnarray*} p_1 = p_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und versuche es damit zu lösen? Geht das? Wenn ja, kann man es von dort aus vielleicht verallgemeinern?

( $\begin{eqnarray*} p_1, p_2 \end{eqnarray*}$ sind die Preise für Heu- und Strohballen.)

Grüße Abakus smile

27.02.2006, 23:07

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Abakus
vielleicht soll einfach ein Parameter eingeführt werden? Etwa $\begin{eqnarray*} p_1 = \alpha * p_2 \end{eqnarray*}$ .

Oder setze zuerst einfach $\begin{eqnarray*} p_1 = p_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und versuche es damit zu lösen? Geht das? Wenn ja, kann man es von dort aus vielleicht verallgemeinern?

( $\begin{eqnarray*} p_1, p_2 \end{eqnarray*}$ sind die Preise für Heu- und Strohballen.)

Hallo Abakus,

einen Spezialfall verallgemeinern wird nicht funktionieren, da die Preise die Lage der Zielfunktion und damit das Optimum beeinflussen. D.h. für $\begin{eqnarray*} p_1 = p_2 = 1 \end{eqnarray*}$ kann eine ganz andere Kombination optimal sein als für $\begin{eqnarray*} p_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2=5 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} p_1 = \alpha * p_2 \end{eqnarray*}$ könnte man vielleicht einmal ansetzen, aber müsste dann bei der Optimierung eine Fallunterscheidung machen. Ich bezweifle, dass das hier gewünscht ist.

@Anima: Hast du Gelegenheit wegen der Aufgabe noch einmal Rückfragen zu stellen?

Edit: Auf welchem Niveau behandelt ihr das, Anima? Schule, Uni...?

27.02.2006, 23:26

Abakus

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Zitat:

Original von Ben Sisko
... einen Spezialfall verallgemeinern wird nicht funktionieren, da die Preise die Lage der Zielfunktion und damit das Optimum beeinflussen. D.h. für $\begin{eqnarray*} p_1 = p_2 = 1 \end{eqnarray*}$ kann eine ganz andere Kombination optimal sein als für $\begin{eqnarray*} p_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2=5 \end{eqnarray*}$ .

Hallo Ben,

ja, stimmt natürlich. Letztendlich ist das Verhältnis der beiden Preise für die Steigung des Graphen der Zielfunktion verantwortlich.

Ich denke, dass eine Lösung für einen bestimmten Bereich von Preisverhältnissen stabil sein sollte; also nicht sofort kippt, wenn sich an den Preisen ein bisschen was ändert (-> Sensitivitätsanalyse).

Dann wäre als Aufgabe denkbar: welches Preisverhältnis führt zu welchen Lösungen?

@ Anima: hattet ihr schon Sensitivitätsanalysen?

Grüße Abakus smile

28.02.2006, 14:50

Anima

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hallöchen,

danke erstmal das überhaupt jemand geantwortet hat smile

Im moment besuche ich das 2te Semester des Abendgymnasiums ( entspricht Klasse 10-11 [eher 11]) und die Aufgabe ist irre wichtig da sie ca 50 % meiner Note in Angewandter Mathematik ausmachen wird.

Habe mit dem Lehrer schon gesprochen aber er konnte mir auch nicht wirklich weiter helfen. ( darf er ja auch nicht da es ja ein indirekter leistungsnachweis ist )

Eure Formeln sagen mir leider überhaupt nichts unglücklich

haben Lineare Optimierung in Mathe schon gemacht aber mit Maximierung ( alle andern Gruppen haben auch Maximierung nur ich hatte mal wieder pech ~~ aber Lehrer meinte er traut mir die Aufgabe zu traurig

)

Über preise steht da nichts. Habe es genauso Wort für Wort abgetippt wie es auf dem kleinen Zettel stand wie wir ihn bekommen haben.

Tipps vom Lehrer:

Die Streu/Heu als immer 10 als 1 Block zu sehen
und
Der Lieferant möchte möglichst wenig bezahlen für seine Lieferung ( also müsste man schauen wie es am bessten passt das er sozusagen möglichst wenig pakte kaufen muss damit es dann passt ( er den mindestbedarf des Hofes deckt )

so ... mache mir auch noch ein paar gedanken dazu und schau bald wieder hinein smile

schon mal lieben dank im vorraus

Anima

Edit:
1. nein diese Sensitivanalysen hatten wir noch nicht ( nie gehört unglücklich

)
2. es kommt glaube ich nicht auf die preise an, sondern auf das verhältnis der beiden Höfe zueinander ( zB wenn man sagt das jedes paket von einem hof 1 kostet möchte man möglichst wenig ausgeben. Das erreicht man indem man das optimale minimum sucht.
3. Mein Lehrer sagte noch etwas das man die gleichungen von den höfen mit der 500 und der 400 vom Bedarf in verbindung setzen sollte ( weiß aber leider nicht genau wie )

01.03.2006, 13:12

Anima

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*noch mal ins sichtfeld schiebt und hofft das es gelesen wird*

lg Anima

02.03.2006, 01:43

Abakus

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Mit den Tipps lässt sich ja schon ein bisschen anfangen:

sei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ die Anzahl der bei Westenberg gekauften Pakete (also je 6 Heu und 4 Stroh) und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ die entsprechende Anzahl bei Ostenberg (2 Heu und 8 Stroh).

Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} 6x_1 + 2x_2 \ge 500 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 4x_1 + 8x_2 \ge 400 \end{eqnarray*}$ .

Ferner nehmen wir $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \ge 0 \end{eqnarray*}$ an.

Eine Zeichnung der beiden Restriktionen bringt vielleicht mehr Klarheit. Das könnte dann ein erster Ansatz für eine grafische Lösung bzw. zum Verstehen der Aufgabe sein.

Grüße Abakus smile

02.03.2006, 02:12

Ben Sisko

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Das sind die Funktionen für Gleichheit. Die zulässigen Punkte sind jeweils rechts davon.

Nun sind die drei Eckpunkte (0,250), (100,0) und (80,10) mögliche Lösungen.

Zitat:

Original von Anima
Der Lieferant möchte möglichst wenig bezahlen für seine Lieferung ( also müsste man schauen wie es am bessten passt das er sozusagen möglichst wenig pakte kaufen muss damit es dann passt ( er den mindestbedarf des Hofes deckt )

Hat das der Lehrer gesagt oder hast du das so interpretiert?

Wenn man die Anzahl der Pakete minimieren will, entspräche das gleichen Preisen für die Pakete.

Könntest du dafür die Zielfunktion aufstellen/einzeichnen?

Gruß vom Ben

02.03.2006, 11:45

Anima

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guggsel,
das mit den als block sehen und das er möglichst wenig "blöcke bzw pakete" kaufn will hat der lehrer noch gesagt als ich mit ihm über die aufgabe gesprochen habe smile

Ferner meinte er auch das die berechnung "eigentlich" ganz simpel ist nur der Gedanken sprung wäre das problem.

lg Anima

02.03.2006, 12:54

Ben Sisko

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Das würde bedeuten, die Anzahl der Pakete zu minimieren.

Dann musst du noch die Zielfunktion aufstellen, sie einzeichnen und dann so verschieben, dass du das Minimum ablesen kannst.

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