Zahlentheorie

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Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie
Gibts das überhaupt? Ein Moderator stellt Fragen zu einem Thema? geschockt

tja...solls geben Augenzwinkern

Also, ich weiss nicht, wer schon mal Zahlentheorie gemacht hat, aber ich finde dieses Gebiet recht interessant und würde gerne etwas mehr "Theorie" zu diesem Thema haben. Also ein paar Regeln, die gelten, evt. ein paar Hilfsmittel etc. um Beispielsweise so Aufgaben zu lösen:

Zeige, dass der folgende Bruch für alle natürlichen Zahlen n irreduzibel ist:


Die Lösung dieser Aufgabe kenn ich, ich hab sie auch verstanden, da ich die Aufgabe selbst lösen konnte. Es gibt allerdings noch ne zweite Lösung, die ich noch nicht ganz verstehe, nämlich:



Wieso besagt das, dass man den Bruch nicht mehr weiterkürzen kann?
Ich habs mal im Sonstiges eröffnet, da ich mir nicht sicher bin, ob das Algebra oder höhere Mathematik ist Augenzwinkern

vielleicht kann mir ja jemand helfen Big Laugh

mfg
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Steve,

es gibt da einen Satz von Bézout, der besagt:

Seien x, y aus ZZ und d=gcd(x,y).
Dann gibt es a und b aus ZZ, sodass d=ax+by

Der Beweis erfolgt mit dem Euklidischen Algorithmus.

Ein Corollar davon ist:

Zwei Zahlen sind genau dann teilerfremd, wenn es ganze Zahlen a, b gibt, sodass ax+by=1


Das dürfte wohl die Antwort zu deiner Frage sein.

Viele Grüße
Anirahtak
 
 
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ok Augenzwinkern hätte ich wohl selbst drauf kommen können, mit Hilfe des Skriptes (hab das schon lange nicht mehr gelesen).

Wie würdet ihr diese Aufgabe lösen?

Mir fällt nichts ein, was da helfen könnte:

Sind a, b > 0 und gilt ..., dann ist a = b

Ich habs schon so versucht:




Aber das hilft mir auch nicht weiter...

Naja, ich schreib hier jetzt einfach mal ein paar Aufgaben, aber falls jemand noch ein paar gute Links dazu kennt, oder sonst wichtiges zu sagen hat, wär ich echt froh drum.

mfg
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit brauchst du nicht ausholen denke ich.

Annahme es gäbe solch ein ganzenTeiler a >1 mit
21n+4 = a*y
13n+3 = a*z
y,z ganz

Dann müsste auch 2*a*y -3*a*z =1 gelten und damit

a*(2y-3z) =1
daraus fogt aber |a|<=1


Augenzwinkern
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

so könnts man auch machen...ich habs aber anders gelöst, nämlich mit ggT((21n+4), (14n+3)) = 1

ich lass das ggT jetzt mal weg, so dass nur noch folgendes da steht:

(21n+4 , 14n+3) = (14n+3, 7n+1), = (7n+1, 1) = (1, 0)

mfg
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Zahlentheorie ist wirklich sehr interessant. Augenzwinkern Ich selbst habe gerade meine Diplomarbeit in der algebraischen Zahlentheorie geschrieben.
Und die elementare Zahlentheorie (die sich hauptsächlich mit Z und den Z/(n)'s beschäftigt) hat ganz viele solcher Spielereien, wie du sie gefunden hast. Ich kann dir empfehlen, weiter zu üben, das kann sogar sehr spannend werden. smile

Also die Wortwahl in deiner Aufgabenstellung ist ein wenig unglücklich - was du erfahren wirst, wenn du dich intensiver mit Zahlentheorie beschäftigst. Ein Bruch, der nicht weiter gekürzt werden kann, ist "vollständig gekürzt". "Irreduzibel" (="nicht zerlegbar") hat eigentlich eine andere Bedeutung und ist für rationale Zahlen uninteressant.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mir einmal so überlegt.

Es seien a,b positive ganze Zahlen mit



Es sei p ein Primteiler von a und q ein Primteiler von b. Dann folgen:



Also haben a und b dieselben Primteiler. Man kann daher schreiben:


mit paarweise verschiedenen (endlich vielen) Primzahlen und positiven ganzen Exponenten.

Aus (*) erhält man für alle Indizes i die Ungleichungskette


Für alle ganzen Zahlen gelten daher
und

Mit n gegen Unendlich folgt daher
und , also
und daher
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

wieso p|b^2 => p|b ?
Das versteh ich nicht...ist das allgemein so? (Bei Primzahlen...)

und das mit der Ungleichungskette ist mir auch noch nicht ganz klar...

@Irrlicht:
es stand halt irreduzibel in der Aufgabe, sowohl in der englischen als auch in der deutschen Aufgabenstellung verwirrt

kennst du noch ein paar wichtige Regeln für den Anfang?

mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl >1 kann (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie)

Wenn man nun eine Zahl quadriert, so wird die Häufigkeit, mit der jede Primzahl als Faktor vorkommt, verdoppelt. Neue Primzahlen kommen daher nicht dazu. Wenn also eine Primzahl in b² steckt, so muß sie zuvor auch in b gewesen sein.

b = 2·2·7·7·7·11·97
b² = 2·2·2·2·7·7·7·7·7·7·11·11·97·97

Für andere Teiler außer Primteilern kann man eine solche Aussage natürlich nicht treffen.
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ok Augenzwinkern
Jetzt hab ichs verstanden...dass bei b^2 keine neuen Primteiler dazukommen, wusste ich nicht...ist aber logisch :P

dann muss ich mir diese Lösung mal näher zu Gemüte führen Augenzwinkern

Edit: *zugemütegeführt*
@Leopold:
wie kommst du auf die zweitletzte Zeile?
Das versteh ich noch nicht...

mfg
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Mit n gegen Unendlich folgt daher
und , also
und daher


Da steht´s Augenzwinkern

Gruß vom Ben
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für alle ganzen Zahlen gelten daher
und


Ich meinte eigentlich diese Zeile...

mfg
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

wie kommt er denn nun auf die Zeile, die ich in meinen Beitrag geschrieben habe?

Andere Frage:
Ich habe folgende Aufgabe gelöst, bin mir aber nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe.
Bestimme alle natürlichen Zahlen d, die n^2 + 1 und (n+1)^2 + 1 teilen für eine ganze Zahl n.

Wir haben dazu noch ein paar Tipps bekommen, wo man darauf hinweist, dass d auch ein Teiler vom ggT der beiden Zahlen sein muss.

Ich hab das mal mit dem ggT versucht:
d | ggT(n^2 + 1, (n+1)^2 + 1)

nach vielem umformen hatte ich dann folgendes:
d | ggT(15, n + 3)

und daraus folgerte ich, dass d | 15 => d = {1; 3; 5; 15}

Kann das stimmen? Stimmt wenigstens der Ansatz? Falls ja, werde ich die einzelnen Schritte bei der ggT-Umformung mal reinstellen...

mfg
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke das geht nur für d=1 ...


smile
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

und wie kommst du darauf?

was ist an meinem Lösungsweg falsch?

mfg
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachten wir erstmal die Primteiler von d. Wir nehmen also an, d selbst ist prim:

I:
d | n^2+1
II:
d | (n+1)^2+1 = n^2+2n+2
=>
III = II-I:
d | 2n+1
IV = I-III:
d | n^2-2n = n(n-2)

Da d prim, folgt
1. d | n oder
2. d | n-2

Im 1. Fall folgt d | 2n+1 - n - n = 1, Widerspruch, da d prim ist.
Im 2. Fall folgt d | 2n+1 - (n-2) = n + 3, und damit d | (n+3)-(n-2) = 5, also d = 5.

Der einzige Kandidat ist also die Primzahl 5.

Wenn man die noch ausschließen kann, ist man fertig: d = 1 ist die einzige Lösung; wenn man die nicht ausschließen kann, muss man noch nach den Potenzen der 5 schauen, denn dies sind dann alle Kandidaten.
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man denn d=5 ausschliessen?

bis hierhin hab ich es verstanden, aber wie schliesst man das aus?

mfg
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht gesagt dass man das ausschließen kann oder muss,
(keine Idee im Moment)

hatte in meinen Überlegungen einen 'Zahlendreher' drin,
weshalb sich die 1 als einzige Möglichkeit ergab ...


smile
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Die 5 ist eine Lösung für n=2, denn 2^2+1=5 und 3^2+1=10.

Jetzt müssen wir nur noch die Potenzen der 5 überprüfen. *gleichmalgrübelngeh*

Ok, für jedes d gilt
d | n(n-2)
Ist d eine Potenz der 5, dann folgt wieder
d | n
oder
d | n-2,
denn höchstens eine der beiden Zahlen n und n-2 ist durch 5 teilbar. Wie oben folgt d | 5.

Damit sind 5 und 1 die einzigen Lösungen.
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold:
hab deine Lösung immer noch nicht ganz verstanden. Ich wäre froh, wenn du die Zeile, die ich zitiert habe, noch erklären könntest Augenzwinkern

mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind nur die Teilungleichungen aus der Ungleichungskette herausgezogen und aufgelöst nach alpha_i bzw. beta_i. Dann allgemeine Formel für die Brüche; z.B. 4/3, 6/5, 8/7, ... -> allgemeine Form ist 2n/(2n-1)
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

Das versteh ich ja:
Zitat:

Aus (*) erhält man für alle Indizes i die Ungleichungskette



aber wie kommst du darauf? Wieso plötzlich 2n/2n-1 anstatt die nachfolgende Zahl?
1a < 2b < 3a < 4b...wieso jetzt plötlich a < 2n/2n-1 b ?
Zitat:

Für alle ganzen Zahlen gelten daher
und


Diesen Schritt hab ich immer noch nicht verstanden...
kannst du mir das nochmal genau erklären und begründen, wieso das so ist? (Ich hab echt sehr wenig Theorie zur Zahlentheorie gehabt...wir haben eigentlich gleich begonnen Aufgaben zu lösen...wir hatten auch nur 2 Stunden Zeit)

mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich es dir erkläre, wirst du dir mit der Hand an den Kopf langen!

Löse doch einfach die Ungleichung

7x < 8y

nach x auf!
Steve_FL Auf diesen Beitrag antworten »

ach so...jetzt hab ich es verstanden Augenzwinkern

Gibts für diese Aufgabe auch eine einfachere Lösung?
Diese Lösung ist ja recht kompliziert verwirrt

mfg
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