Dichte bestimmen

06.06.2008, 16:33

Timo85

Dichte bestimmen

Guten Tag.

Ich hab folgende Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} U \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \sim \chi_p^2 \end{eqnarray*}$ verteilt. Weiter sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander.

a) Bestimme die Dichte von $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{V}{p}} \end{eqnarray*}$ .

b) Bestimme die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{V}{p}} \end{eqnarray*}$ .

Dichte der $\begin{eqnarray*} \chi_p^2 \end{eqnarray*}$ Verteilung:

$\begin{eqnarray*} f_p(x) = {\frac{{x^{\frac{p}{2} - 1} e^{ - \frac{x}{2}} }}{{2^{\frac{p}{2}} \Gamma \left( {\frac{p}{2}} \right)}}} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Bei b) hab ich Idee gehabt, dass die Zuvallsvariablen unabhängig voneinander sind, und somit das Produkt der beiden Dichten ist.

Aber dafür muss ich erstmal a) ausrechnen. Kann mir da jemand weiterhelfen?

06.06.2008, 17:11

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Transformationssatz ist eine gängige Methode oder $\begin{eqnarray*} P\left(\sqrt{\frac Vp}\leq x\right)=\dots \end{eqnarray*}$ (nach V auflösen, bekannte Verteilung benutzen).

b) funktioniert dann so, wie du gesagt hast.

06.06.2008, 17:27

Timo85

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es denn

$\begin{eqnarray*} f_{\sqrt{V/p}}(x)\int\limits_{- \infty}^{px^2} \frac{{y^{\frac{p}{2} - 1} e^{ - \frac{y}{2}} }}{{2^{\frac{p}{2}} \Gamma \left( {\frac{p}{2}} \right)}}dx \end{eqnarray*}$

06.06.2008, 17:41

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Timo85
$\begin{eqnarray*} f_{\sqrt{V/p}}(x)\int\limits_{- \infty}^{px^2} \frac{{y^{\frac{p}{2} - 1} e^{ - \frac{y}{2}} }}{{2^{\frac{p}{2}} \Gamma \left( {\frac{p}{2}} \right)}}dx \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \dd y \end{eqnarray*}$ ersetzt, hast du schon mal die richtige Verteilungsfunktion - gesucht ist aber die Dichte. Also nochmal ableiten, aber nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Dichte bestimmen

Verwandte Themen