Abstandsberechnung allgemein

27.02.2006, 17:15	verwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstandsberechnung allgemein Hallo, das ist jetzt keine konkrete Frage, vielleicht etwas zu umfassend zum schnell beantworten, aber ich versuchs trotzdem mal in der hoffnung, dass jemand da den Überblick hat (den ich vor einigen Wochen verloren habe). Man muss wissen wie man den Abstand zwischen 2 Ebenen, 2 Geraden, 2 Punkten, einer Ebene, einer Geraden, einer Ebene eines Punktes etc. berechnet. Ich kann das größtenteils auch, aber komme immer mit den Verfahren durcheinander. Manchmal brauche ich 4 Seiten um so etwas zu berechnen, wenn andere knapp eine brauchen und im ABI dauert das zu lange. Wir haben das Lotfußpunkt Verfahren und das wo man eine Gleichung in die HNF umwandelt und dann einsetzt (ich weiß aber nicht was). Ich weiß einfach nicht wann ich welches am besten anwende, ob es Sinn macht die Parameterdarst. immer in die HNF umzuwandeln, ob man das nur mit einer Gleichung macht oder mti beiden und vor allem ob das mit der HNF nru geht wenn ich eine Ebene habe. Vielen vielen Dank... ):
27.02.2006, 17:38	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Das einzige Problem von deinen aufgeführten, das ohne vorgefertigte Formel wirklich etwas umständlich ist, ist die Berechnung des Abstands zweier Geraden. Hier sucht man sich einen Vektor, der zu den Richtungsvektoren beider Geraden senkrecht steht (er heiße $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ ) und löst das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \vec{x}+\lambda\vec{n}=\vec{y} \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ die Geradengleichungen der Geraden sind. (Sind die Geraden parallel, dann funktioniert das Verfahren nicht. Bestimme dann den Abstand der Geradenschnittpunkte mit einer beliebigen zu beiden Geraden senkrecht stehenden Ebene.) Für den Abstand zweier Punkte verwendest du einfach den Pythagoras im Raum und den Abstand zweier paralleler Ebenen kannst du direkt aus der HNF ablesen.
27.02.2006, 18:04	verwirrt	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal, aber das Problem stellen ja für mich auch gerade die anderen Fälle (Ebene-Ebene, Gerade-Ebene) dar. Soll man immer erst in die Hessesche Normal umwandeln und falls ja, was mache ich dann? Also wenn ich eine Ebene in Parameterdarstl. und eine in HNF habe?
27.02.2006, 18:29	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene-Ebene: Beide Ebenen in HNF umformen, die Differenz der beiden $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ist der Abstand. Ebene-Punkt: den Punkt in die linke Seite der HNF einsetzen, dabei erhältst du den Abstand Ebene-Gerade: mit einem beliebigen Punkt der Geraden so verfahren wie Ebene-Punkt (vorausgesetzt, Gerade und Ebene sind parallel, sonst ist der Abstand natürlich 0).

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