kann ich ln(e) bei ableitung von e^x weglassen?

27.02.2006, 17:52

Anti-Mathematiker

kann ich ln(e) bei ableitung von e^x weglassen?

hallo. ich hab hier ne aufgabe, die lautet

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x-ax*e^x \end{eqnarray*}$ .

wenn ich die ableite, dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x*[(ax-1)*LN(e)+a] \end{eqnarray*}$ .

in meinem mathebuch stehen auch beispielaufgaben, bei denen das LN(e) aber immer weggelassen wird, obwohls da ja eigentlich hingehört.
meine frage ist nun: kann ich das LN(e) bei jeder ableitung weglassen, sodass meine ableitung dann so aussieht:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x*[(ax-1)*a] \end{eqnarray*}$ ??

27.02.2006, 17:53

JochenX

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ln(e)=1 nach Definition vom Logarithmus

Gruß, Jochen

27.02.2006, 17:58

Anti-Mathematiker

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also kann's weg, ja?

dann danke für die wirklich schnelle hilfe!!!

bis bald dann mal wieder Wink

27.02.2006, 18:01

JochenX

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ich wundere mich ein wenig über deine Form der Ableitung
sie stimmt, aber mit welcher Regel hast du abgeleitet? wie kommst du überhaupt auf das ln(e) da drin!?

das kommt bei mir nie zu stehen, ich leite das über die Produktregel ab...

27.02.2006, 18:29

Calvin

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@LOED

ich gehe davon aus, dass die Ableitung mit der Regel für allgemeine Exponentialfunktionen gemacht wurde.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x\ln(a) \end{eqnarray*}$

27.02.2006, 18:55

Lazarus

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Evtl. sollte man auich erklären woher diese Regel kommt.

Dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{exp}\left(x\right) \end{eqnarray*}$ die einzige Funktion im Reellen ist, die ihre eigenen Steigung angibt sei vorrauszusetzten.
Desweiteren sei die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \operatorname{exp}\left(f(x)\right) \end{eqnarray*}$ bekannt, nämlich $\begin{eqnarray*} \operatorname{exp}\left(f(x)\right) \cdot f'(x) \end{eqnarray*}$

Nun kann man die beliebige Potenzfunktion umschreiben wie folgt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x= e^{\ln{a^x}}=e^{x\cdot\ln{a}} \end{eqnarray*}$
Abgeleitet ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(e^{x\cdot\ln{a}}\right)=e^{x\cdot\ln{a} } \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(x\cdot\ln{a}\right)=e^{x\cdot\ln{a} } \cdot \ln{a} \end{eqnarray*}$

Das kann man dann wieder zurück umschreiben wenn man denn will:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{x\cdot\ln{a} } \cdot \ln{a} = a^x \cdot\ln{a} \end{eqnarray*}$

servus

27.02.2006, 19:12

JochenX

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das wäre dann "y=e^x abgeleitet mithilfe von (a^x)'=ln(a)*a^x, was von der Ableitung von der Ursprungsfunktion herkomt"

ein typischer Zirkelschluss mithilfe von vorgefertigten und unbewiesenen Formeln.....

oO

27.02.2006, 19:16

Lazarus

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@ jochen: meinst du damit meines oder calvins ?
ich hab doch vorrausgesetzt was bewiesen sein sollte.

27.02.2006, 23:48

fnkmstr

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RE: kann ich ln(e) bei ableitung von e^x weglassen?
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x-ax*e^x \end{eqnarray*}$

also ich würde das so ableiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x-[ax*e^x+e^x*a] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x-ax*e^x-e^x*a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x(1-ax-a) \end{eqnarray*}$

wie kommst du bei deiner ableitung vorne auf $\begin{eqnarray*} -e^x \end{eqnarray*}$ ?

28.02.2006, 01:09

JochenX

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Zitat:

Original von Lazarus
@ jochen: meinst du damit meines oder calvins ?
ich hab doch vorrausgesetzt was bewiesen sein sollte.

ich meinte das des Threadstarters Augenzwinkern

@fskmrdings:
klammer doch mal noch -1 aus der klammer aus....

28.02.2006, 02:01

fnkmstr

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RE: kann ich ln(e) bei ableitung von e^x weglassen?

Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x*[(ax-1)*a] \end{eqnarray*}$ ??

ist das '*' ein tippfehler?

...würde beim -1 ausklammern auf $\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x(ax+a-1) \end{eqnarray*}$ kommen.

28.02.2006, 02:41

JochenX

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RE: kann ich ln(e) bei ableitung von e^x weglassen?

Zitat:

Original von Anti-Mathematiker
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x*[(ax-1)*LN(e)+a] \end{eqnarray*}$ .
[...]
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^x*[(ax-1)*a] \end{eqnarray*}$ ??

beim ersten ist das "+" ja noch richtig, beim zweiten ist es mir dann gar nicht mehr falsch aufgefallen
ich vermute doch stark, dass es beim zweiten nur ein Tippfehler ist....

und bevor es hier untergeht:
@Anti-Mathematiker: es ist (e^x)'=e^x, also gar nicht erst irgendwas von ln(e) hinschreiben; (a^x)'=a^x*ln(a) kommt gerade daher....

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