Funktion 4.Grades

27.02.2006, 18:33

oscarspatz

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Funktion 4.Grades

Hallo!
Ich verrechne mich die ganze Zeit und werde noch wahnsinnig...
Vielleicht kann mir ja einer von helfen...
ich habe eine allgemeine Form:
$\begin{eqnarray*} y = ax^{4} + bx^{3}+ cx^{2} + dx + e \end{eqnarray*}$
und ich habe 5 Randwerte
Punkt 1:
$\begin{eqnarray*} (x1/y1) \end{eqnarray*}$
Punkt 2:
$\begin{eqnarray*} (x2/y2) \end{eqnarray*}$
Punkt 3:
$\begin{eqnarray*} (x3/y3) \end{eqnarray*}$

Steigung im Punkt 1:
$\begin{eqnarray*} m1 \end{eqnarray*}$

Steigung im Punkt 3:
$\begin{eqnarray*} m2 \end{eqnarray*}$

nun - ein Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten kann ich eigentlich im Schlaf lösen - nur irgendwie heute nicht - ich verrechne mich ständig wenn ich a,b,c,d,e allgemein berechnen will...

Kann mir einer helfen?

Anmerkung: die Punkte x1-x3 sind nicht "0" und immer von sich verschieden - sonst bekäme ich ein paar Probleme...

Vielen Dank
Marcus

27.02.2006, 19:08

JochenX

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du willst ein LGS mit 5 Unbekannten und 8 (!) Parametern lösen? wozu?

mein Vorschlag wäre: lass es lieber......

27.02.2006, 19:17

oscarspatz

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dann erklär mir mal die 8

27.02.2006, 19:19

JochenX

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x1,y1,x2,y2,x3,y3,m1,m2
8 parameter

a,b,c,d,e
8 variablen im LGS mit den 8 parametern von oben

27.02.2006, 19:53

oscarspatz

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hmmm - irgendwie reden wir aneinander vorbei....

ich setz die Punkte 1-3 einfach ein - und habe 3 Gleichungen...
quasi: $\begin{eqnarray*} ax_1^4+bx_1^3+cx_1^2+dx_1+e=y_1 \end{eqnarray*}$

usw.

dann hab ich noch die 1. Ableitung und setz die letzten beiden Bedingungen ein:
z.B. $\begin{eqnarray*} 4ax_1^3+3bx_1^2+2cx_1+d=m_1 \end{eqnarray*}$

macht 5 Gleichungen und ich suche die 5 Unbekannten a-e - müsste also gehen...
Ich verrechne mich nur immer noch wie bekloppt....

28.02.2006, 01:08

JochenX

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nach deiner Aussage willst du das irgendwie allgemein berechnen, also ohne für x1,x2 usf. konkrete Werte einzusetzen.

oder sind die doch gegeben?

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28.02.2006, 12:38

oscarspatz

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die snd beliebig - ich programmier gerade etwas und die Punkte variieren - genauso die Steigung....

28.02.2006, 13:55

AD

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Es handelt sich um eine Lineares GlS vom Typ 5x5. Und dafür gibt es die einschlägigen Vefahren, als einfachstes etwa den Gaußalgorithmus.

28.02.2006, 14:10

JochenX

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Zitat:

Original von oscarspatz
die snd beliebig - ich programmier gerade etwas und die Punkte variieren - genauso die Steigung....

ja, sie sind natürlich "fast" beliebig (so wird x1=x2 natürlich ausgeschlossen), aber werden die angegeben (also x1=5, x2=4, x3=...) oder bleiben in deinem LGS "x1" "x2" usf. in Allgemeiner Form stehen?

Ich meine, ADs Vorschlag, Gauß anzwenden ist klar, aber ich versteh dich immer noch nicht....
Geht es dir jetzt darum, den Gaußalgo zu implementieren, mit vorher einzulesenden Werten, oder willst du das von Hand berechnen, mit gegebenen Werten, oder das alles mit Parametern!?

28.02.2006, 14:59

oscarspatz

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smile

ich rechne es per Hand mit Gaus und will den Gausalgo nicht implementieren. Ich find nur grad meinen Fehler nicht - entweder hab ich mich bei Gaus verrechnet oder ich hab die Ergebnisse in meiner Sprache falsch umgesetzt... Ich bräuchte quasi nur nen Vergleich von den Ergebnissen - das ist alles... (ich fürchte, ich hab mich verrechnet - ich bekomm auch bei der Kontrolle z.B. durch Excel kein vernünftiges Ergebnis unglücklich

unglücklich

)

ich weiss, dass $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 ... \end{eqnarray*}$ nicht "0" sind. Ich weiss aber auch, dass $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 < x_3 \end{eqnarray*}$ usw. sind - von daher sind sie auch verschieden....

das ist eigentlich alles....

28.02.2006, 15:01

JochenX

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du umgehst meine Frage

hast du z.B. x1=5, y1=7 gegeben oder stehen in deinem LGS wirklich noch als PARAMETER x1,x2 usf. ohne Zahlenwerte drin?

Zitat:

entweder hab ich mich bei Gaus verrechnet oder in meiner Sprache falsch umgesetzt...

poste einfach mal deinen Ansatz, dann sollte sich auch meine Frage beantworten....

28.02.2006, 15:03

oscarspatz

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du warst zu schnell smile

smile

meinen Ansatz?
ich hab 5 Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 ... \end{eqnarray*}$ ohne Werte...

ich muss an mehreren Stellen dies nachher in meinem Prog einsetzen - daher rechne ich "nur" mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 ... \end{eqnarray*}$ als Variablen

28.02.2006, 15:07

oscarspatz

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so - hat zwar etwas gedauert - aber mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} ax_1^4 + bx_1^3 + cx_1^2 + dx_1 + e = y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_2^4 + bx_2^3 + cx_2^2 + dx_2 + e = y_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_3^4 + bx_3^3 + cx_3^2 + dx_3 + e = y_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4ax_1^3 + 3bx_1^2 + 2cx_1 + d = m_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4ax_3^3 + 3bx_3^2 + 2cx_3 + d = m_3 \end{eqnarray*}$

28.02.2006, 15:12

JochenX

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und damit hast du dann doch zu den 5 zu berechnenden Variablen a,b,c,d,e die 8 (später einzusetzenden) Parameter x1, x2, x3, y1, y2, y3, m1,m2
und du willst a,b,c,d,e in abhängigkeit dieser 8 parameter angeben

ich fürchte, das wird allgemein ruppig und mit tausenden von Fallunterscheidungen ablaufen......

nur als BSP:
$\begin{eqnarray*} ax_1^4+bx_1^3+....=y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_2^4+bx_2^3+....=y_2 \end{eqnarray*}$ sind deine ersten beiden Gleichungen

dann müsstest du nach Gauß das $\begin{eqnarray*} (-\frac{x_2^4}{x_1^4}) \end{eqnarray*}$ fache der ersten Gleichung auf die zweite addieren

dabei bekommst du dann $\begin{eqnarray*} bx_2^3-\frac{x_2^4}{x_1^4}bx_1^3=b(x_2^3-\frac{x_2^4}{x_1^4}x_1^3) \end{eqnarray*}$ und könnte das erste, davon abgesehen, dass es grauenvoll aussieht, nicht 0 sein?

verzeihe mir irgendwelche Rechenfehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2006, 15:16

oscarspatz

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also - es kann in meinem Fall nicht 0 werden und JA, es sieht grauenvoll aus.... smile

smile

und je weiter du den Gaus nutzt - wirds immer schlimmer smile

smile

28.02.2006, 15:19

JochenX

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das war ja erst der erste Schritt...... und wieso es nicht 0 werden kann, sehe ich noch nicht.... verwirrt

verwirrt

und das es immer schlimmer wird, ist ja klar...... ohje......

magst du nicht lieber einen Gaußalgo proggen, bzw. einen bereits programmierten Gaußalgo hernehmen, und die Werte VORHER einlesen?

Meine Meinung steht oben, Finger weg davon!

mehr kann ich dir leider nicht helfen, vielleicht sagt Arthur nochmal was dazu, oder sonst jemand......

Liebgruß,
der überfragte Jochen

28.02.2006, 15:29

oscarspatz

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hmmm - wo find ich hier nen gausalgo - das problem ist, ich muss es anpassen - weil ich programmier in "apdl" - das kennt keiner, ist ne Sprache für nen FEM Programm und basiert auf fortran77....

28.02.2006, 15:44

JochenX

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Zitat:

Original von oscarspatz
hmmm - wo find ich hier nen gausalgo - das problem ist, ich muss es anpassen - weil ich programmier in "apdl" - das kennt keiner, ist ne Sprache für nen FEM Programm und basiert auf fortran77....

huch, das kenne ich wirklich nicht, "fortran" habe ich schon mal gehört, das wars aber auch....

dazu fragst du am besten im Informatikerboard nach.....

Viel Glück auf jeden Fall Wink

Wink

28.02.2006, 16:39

AD

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Durch Elimination von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ in

Zitat:

Original von oscarspatz
so - hat zwar etwas gedauert - aber mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} ax_1^4 + bx_1^3 + cx_1^2 + dx_1 + e = y_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_2^4 + bx_2^3 + cx_2^2 + dx_2 + e = y_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax_3^4 + bx_3^3 + cx_3^2 + dx_3 + e = y_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4ax_1^3 + 3bx_1^2 + 2cx_1 + d = m_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4ax_3^3 + 3bx_3^2 + 2cx_3 + d = m_3 \end{eqnarray*}$

kommst du schon mal auf 3x3:

$\begin{eqnarray*} a(x_2^2+2x_1x_2+3x_1^2) + b(x_2+2x_1) + c &=& \frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)^2}-\frac{m_1}{x_2-x_1}\\ a(x_3^2+2x_1x_3+3x_1^2) + b(x_3+2x_1) + c &=& \frac{y_3-y_1}{(x_3-x_1)^2}-\frac{m_1}{x_3-x_1}\\ 4a(x_3^2+x_1x_3+x_1^2) + 3b(x_3+x_1)+ 2c &=& \frac{m_3-m_1}{x_3-x_1} \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt auch noch weiter treiben, aber die Formeln werden nicht gerade kürzer... Wink

Wink

P.S.: Für Rechenfehler übernehme ich keine Gewähr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2006, 18:14

Leopold

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Ich habe das einmal mit einem CAS gerechnet. Mit der Cramerschen Regel findet man etwa

$\begin{eqnarray*} a = \frac{-(x_2 - x_3)^2 (-3 x_1 + 2 x_2 + x_3) y_1+(x_3 - x_1)^3 y_2 + (x_1 - x_2)^2 (x_1 + 2 x_2 - 3x_3) y_3 + (x_1 - x_2)(x_2 - x_3)(x_3 - x_1)(m_1 (x_2 - x_3) - m_3 (x_1 - x_2))}{(x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^3} \end{eqnarray*}$

Und die andern sind noch länger …

EDIT

Ein bißchen schöner schreibt es sich, wenn man für die Differenzen Bezeichner einführt:

$\begin{eqnarray*} \alpha = x_1 - x_2 \, , \ \ \ \beta = x_2 - x_3 \, , \ \ \ \gamma = x_3 - x_1 \end{eqnarray*}$

Dann sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} a = \frac{\beta^2 (2 \alpha - \gamma) y_1 + \gamma^3 y_2 + \alpha^2 (2 \beta - \gamma) y_3 + \alpha \beta \gamma (-\alpha m_3 + \beta m_1)}{\alpha^2 \beta^2 \gamma^3} \end{eqnarray*}$

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