Integrieren (25-9x^2)^(1/2)

27.02.2006, 23:20

Marleen

Integrieren (25-9x^2)^(1/2)

Hallo!

Ich versuche gerade $\begin{eqnarray*} \sqrt{25-9x^2} \end{eqnarray*}$ zu integrieren. Kann mir jemand helfen? Danke

27.02.2006, 23:23

therisen

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Hallo,

es ist $\begin{eqnarray*} 25-9x^2=(5-3x)(5+3x) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

28.02.2006, 00:39

Marleen

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ok, dann habe ich halt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{5+3x}\sqrt{5-3x} \end{eqnarray*}$ und wenn ich t=5+3x setze und ableite: dt=3 um zu substituieren. Stört mich immer noch das Minus bei 5-3x in der anderen Wurzel um alles zu integrieren.

28.02.2006, 00:49

20_Cent

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ich weiß nicht, wie therisens tipp dir hier helfen soll, ich denke, du brauchst eine gute substitution, aber ich weiß nicht welche, da muss jemand mit schärferem Auge dran Augenzwinkern

mfg 20

28.02.2006, 07:02

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also: Man stelle sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ und den Katheten mit den Längen 3x und a vor.

Dann gilt nach Pythagroas: $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{25-9x^2} \end{eqnarray*}$

Desweiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)= \frac{\sqrt{25-9x^2}}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi) \frac{3x}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} x=\frac{\sqrt{25}}{3}\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{d\varphi} \end{eqnarray*}$ noch bilden und dann alles einsetzen

28.02.2006, 18:52

Marleen

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sorry, aber ich hab' immer noch ein Problem mit der Aufgabe. Ich muss den Schwerpunkt der Fläche $\begin{eqnarray*} 4x^2+36y^2=100 \end{eqnarray*}$ im ersten Quadranten finden.
Ich wollte erstmal die Fläche berechnen dazu habe ich
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{25-9y^2} \end{eqnarray*}$ gebildet.
Also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{5}{3}}~\sqrt{25-9y^2}~dy \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt versuche $\begin{eqnarray*} \sqrt{25-9y^2} \end{eqnarray*}$ zu integrien, bekomme ich durch n!'s Hilfe das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\sqrt{25-9y^2} \end{eqnarray*}$ . Und der Flächeninhalt ist 1.6. Laut meines graphischen Taschrechners muss es aber 6.5 sein.

28.02.2006, 20:38

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hab das jetzt mal durchgerechnet und komme auch auf die 6,5. Es ist ein etwas komplizierter und vor allem aufwendiger Weg. Vielleicht postest du mal deine Rechnung

28.02.2006, 21:11

Marleen

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Ich habe das gemacht was du vorgeschlagen hast:

$\begin{eqnarray*} \cos(\beta) = \frac{\sqrt{25-9y^2}}{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin(\beta) = \frac{3y}{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{5}{3}\sin(\beta)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{d\beta}=\frac{-5}{3}\cos(\beta) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{d\beta}=\frac{-1}{3}\sqrt{25-9y^2} \end{eqnarray*}$

dann habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ und 0 für y in letzte Gleichung eingefüllt und die Werte von einander abgezogen.

28.02.2006, 22:03

Tmc

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hmmm also die stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{25-9x²} -> (25-9x²)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

ist doch:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{27x} (25-9x²)^\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

oder??? verwirrt

28.02.2006, 22:40

Marleen

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@tmc, das kann nicht sein, weil 5/3 und 0 für x eingesetzt und dann die beiden herausgekommenen Werte von einander abgezogen nicht 6,5 ergibt.

28.02.2006, 22:52

Leopold

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$\begin{eqnarray*} x^2 + 9 y^2 = 25 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \frac{x}{5} \right)^2 + \left( \frac{y}{\frac{5}{3}} \right)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit den Halbachsen $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ . Sie hat den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \pi a b \end{eqnarray*}$ , das Stück im I. Quadranten hat also den Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \pi a b = \frac{25}{12} \pi \end{eqnarray*}$

01.03.2006, 07:48

Marleen

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Ich muss aber die Stammfunktion kriegen. Denn um die Schwerpunkte zu bekommen, muss ich dann Moment_x oder My mit der Fläche (y*dx) mal nehmen.

01.03.2006, 09:30

Leopold

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Wir betrachten das Flächenstück zwischen der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse und dem Graphen der positiven Funktion $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ über dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für die Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_S, y_S \end{eqnarray*}$ seines Schwerpunktes nach meiner Formelsammlung

$\begin{eqnarray*} x_S = \frac{1}{A} \int_a^b~xy~\mathrm{d}x \, , \ \ \ y_S = \frac{1}{2A} \int_a^b~y^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Hierin ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ der Flächeninhalt des Flächenstückes.

In unserem Beispiel gilt

$\begin{eqnarray*} A = \frac{25}{12} \, \pi \end{eqnarray*}$

da es sich um eine Viertelellipse mit den Halbachsen $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ handelt. Wenn man die Flächenformel für die Ellipse verwenden darf, ist die Berechnung eines Integrals überflüssig. Falls du jedoch unabhängig davon an dessen Berechnung interessiert bist:

$\begin{eqnarray*} A = \int_0^5~\frac{1}{3} \, \sqrt{25 - x^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

so beachte, daß nach Vorziehen des Faktors $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ein Kreisintegral übrigbleibt (Viertelkreis vom Radius $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ ). Also kannst du die bekannte Flächenformel für den Kreis verwenden. Wenn du auch das nicht willst, so verwende die Boardsuche, denn das Kreisintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{r^2 - x^2}~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

haben wir schon tausendmal hier behandelt.

Die verbleibenden Integrale lassen sich einfach berechnen. Bei $\begin{eqnarray*} y_S \end{eqnarray*}$ fällt die Wurzel durch das Quadrieren weg, so daß ein simples Integral übrigbleibt. Und bei $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ führt die Substitution $\begin{eqnarray*} 25 - x^2 = t \end{eqnarray*}$ zum Ziel. Alternativ kannst du für $\begin{eqnarray*} x_S \end{eqnarray*}$ auch die Formel

$\begin{eqnarray*} x_S = \frac{1}{2A} \int_p^q~x^2~\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

verwenden, wobei du die Funktionsgleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufzulösen hast. Auch hier hat man wegen des Quadrates keinerlei Probleme mehr. Die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Grenzen sind $\begin{eqnarray*} p = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ .

Zur Kontrolle mein Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x_S = \frac{20}{3 \pi} \, , \ \ y_S = \frac{20}{9 \pi} \end{eqnarray*}$

01.03.2006, 11:32

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Also, hier dann auch noch mein Weg, wobei Leopolds Vorgehensweise natürlich eleganter ist.

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{25-9x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos(\varphi)= \frac{\sqrt{25-9x^2}}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi) \frac{3x}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} x=\frac{\sqrt{25}}{3}\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

Der Teil folgt aus Dreiecksbetrachtungen mit den Katheten 3x und a.

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{d\varphi}=\frac{\sqrt{25}}{3}\cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

Wir haben also folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{25-9x^2} ~dx= \int_{}^{}~\sqrt{25}\cos(\varphi)\frac{\sqrt{25}}{3}\cos(\varphi)~d\varphi \end{eqnarray*}$

Jetzt nutzen wir die Linearität von Integralen aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{3} \int_{}^{}~\cos^2(\varphi) ~d\varphi \end{eqnarray*}$

Man erhält als Stammfunktion dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{3} [(\frac{1}{2}*arcsin(\frac{3x}{\sqrt{25}})+(\frac{1}{2}*\frac{3x}{\sqrt{25}}*\frac{\sqrt{25-9x^2}}{\sqrt{25}})] \end{eqnarray*}$

01.03.2006, 12:24

lego

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hallo, ich hab mir nen anderen weg überlegt, aber bei der probe durch die ableitung kommt bei mir was anderes raus. vielleicht kann mir wer sagen, wo der fehler liegt, sollte es doch richtig sein kanns dem threadersteller ja evtl dienlich sein:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25-9x^2}=5*\sqrt{1-\frac{9}{25}x^2}=5*\sqrt{1-(\frac{3}{5}x)^2} \end{eqnarray*}$

nun substitution:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}x=Sin(u) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5}dx=Cos(u)du \end{eqnarray*}$

somit:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{25-9x^2}~dx =\int~\frac{25}{3}Cos^2(u)~du \end{eqnarray*}$

und das ist "einfach" zu integrieren.

resubstitution und fertig.

nur bekomme ich nichtmehr das richtige ausgangsergebnis beim ableiten. der fehler muss wenn dann im obigen stecken, danach hab ichs mitm CAS weitergemacht

03.03.2006, 09:26

20_Cent

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Zitat:

Original von n!
$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi)=\frac{3x}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} x=\frac{\sqrt{25}}{3}\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

in der ersten "gleichung" habe ich mal das = ergänzt.

Hier siehst du, dass n! eigentlich genau das gleiche gemacht hat, er bekommt auch das gleiche Integral wie du, also wird dein Weg wohl richtig sein. Hast dich wohl beim rücksubstituieren vertan.
Oder n!'s Weg ist falsch, das hab ich jetzt nicht überprüft...
mfG 20

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