Sammelkarten (brauche Hilfe)

28.02.2006, 12:58

Christine

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Sammelkarten (brauche Hilfe)

Zusammen haben Peterle, Klaus, Paule und Kalle genau 2000 davon. Wenn man jetzt
die Anzahl der Karten von Finn zu der Anzahl der Karten von Peter addiert,
die Anzahl der Karten von Finn von der Anzahl der Karten von Klaus subtrahiert,
die Anzahl der Karten von Finn mit der Anzahl der Karten von Paule multipliziert,
die Anzahl der Karten von Kalle durch die Anzahl der Karten von Finn dividiert,
erhält man jeweils die gleiche Zahl.
Peterle freut sich, daß er schon bald 100 Karten besitzt. Wie viele fehlen ihm noch?

Kann mir da jemand helfen?
lösungansatz, bei dem ich aber nicht weiterkomme... :-(
a+b+c+d = 2000
a + e = b - e = e * c = d/e

28.02.2006, 13:50

MrPSI

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deine Gleichungen sind richtig, doch ist es geeigneter sie einzeln hinzuschreiben:
a+b+c+d = 2000
a+e=2000
b-e=2000
e*c=2000
d/e=2000

Tipp: Drücke a, b, c und d mithilfe von e aus. Dann einsetzen und e berechnen.

28.02.2006, 14:24

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Zitat:

Original von MrPSI
a+e=2000
b-e=2000
e*c=2000
d/e=2000

2000 für diese gemeinsame Anzahl stehen in der Aufgabenformulierung nicht da. Korrigiert lauten diese Gleichungen also

a+e=f
b-e=f
e*c=f
d/e=f

mit einer zunächst unbekannten Anzahl f.

28.02.2006, 14:30

20_Cent

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so hat man 5 gleichungen, 6 unbekannte, muss man noch berücksichtigen, dass peterle unter 100 karten hat?
mfG 20

28.02.2006, 14:41

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Richtig. Und vor allem, dass alle diese Zahlen Anzahlen sind, d.h., natürliche Zahlen!

28.02.2006, 17:08

Christine

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hat jemand schon ne lösung? Wink

Wink

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28.02.2006, 17:10

20_Cent

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bestimmt hat arthur schon die lösung, wenn du ihm deine sagst, kann er sie bestätigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.02.2006, 17:33

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Na aber klar doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Als Hinweis: Wie von MrPSI vorgeschlagen vorgehen, nur dass dann $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in der Summe vorkommen:

$\begin{eqnarray*} 2000 = a+b+c+d = (f-e)+(f+e)+\frac{f}{e}+fe = f\left(2+\frac{1}{e}+e\right) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} f=ce \end{eqnarray*}$ kann man das ganze dann aber auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 2^4\cdot 5^3 = ce\left(2+\frac{1}{e}+e\right) = c(2e+1+e^2) = c(e+1)^2 \end{eqnarray*}$

Und jetzt dran denken, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen sein müssen...

01.03.2006, 11:01

Christine

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hab ich das dann richtig verstanden, dass f = 320 ist???
oder liege ich falsch, arthur?

01.03.2006, 11:37

AD

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Wie kommst du darauf? Nein, das ist falsch.

Folgendermaßen geht es weiter: Aus $\begin{eqnarray*} c(e+1)^2 = 2000 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (e+1)^2|2000=2^4\cdot 5^3 \end{eqnarray*}$ und damit zwangsläufig $\begin{eqnarray*} (e+1)^2|20=2^2\cdot 5 \end{eqnarray*}$ . Damit bleiben nur noch die 6 Varianten $\begin{eqnarray*} e+1=1,2,4,5,10,20 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, von denen nur eine die Zusatzbedingung $\begin{eqnarray*} a<100 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Korrektur: Es muss heißen "... und damit zwangsläufig $\begin{eqnarray*} (e+1)|20=2^2\cdot 5 \end{eqnarray*}$ ." Danke an MrPSI für den Hinweis auf diesen Fehler.

01.03.2006, 12:26

Christine

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also dann:

Finn hat 19
Peter hat 76
Klaus hat 114
Paul hat 5
und Kalle 1805

stimmts dann?

01.03.2006, 13:22

AD

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Ja.

Freude

01.03.2006, 16:21

MrPSI

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@AD:
was bedeutet eigentlich deine Schreibweise $\begin{eqnarray*} a \mid b=... \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2006, 13:58

AD

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Das ist nur eine Abkürzung für $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=\cdots \end{eqnarray*}$

02.03.2006, 15:40

Lazarus

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ausgesprochen heisst es "a teilt b"
auf Mathe: b=x*a

02.03.2006, 18:26

MrPSI

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aber dann verstehe ich folgendes nicht:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Aus $\begin{eqnarray*} c(e+1)^2 = 2000 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (e+1)^2|2000=2^4\cdot 5^3 \end{eqnarray*}$ und damit zwangsläufig $\begin{eqnarray*} (e+1)^2|20=2^2\cdot 5 \end{eqnarray*}$ .

Die Folgerung $\begin{eqnarray*} (e+1)^2|2000=2^4\cdot 5^3 \Rightarrow (e+1)^2|20=2^2\cdot 5 \end{eqnarray*}$ kann ich nicht nachvollziehen. Mit "teilen" meint ihr doch, dass da dann natürliche Zahlen rauskommen müssen? Kann mir das bitte jemand erklären? Würde das auch gerne verstehen.

02.03.2006, 18:34

AD

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$\begin{eqnarray*} (e+1)^2 \end{eqnarray*}$ ist ein Teiler von 2000, das ist der Ausgangspunkt. Da 2000 nur die Primteiler 2 und 5 hat, trifft dies ebenso auf $\begin{eqnarray*} (e+1)^2 \end{eqnarray*}$ , und in der Folge auch für $\begin{eqnarray*} (e+1) \end{eqnarray*}$ zu - das ist elementarste Zahlentheorie und fußt auf der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen.

Wenn man weiter darüber nachdenkt, kann $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ nur dann ein Teiler von $\begin{eqnarray*} (e+1) \end{eqnarray*}$ sein, falls $\begin{eqnarray*} (2^k)^2=2^{2k} \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 2000 ist, analog $\begin{eqnarray*} 5^k \end{eqnarray*}$ . Jetzt klar?

02.03.2006, 18:53

MrPSI

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ja, jetzt ist es schon klarer. Aber auch deshalb weil du jetzt auf einmal (e+1)|20 anstatt (e+1)²|20 verwendest.

Und die 20 ist also nur eine zufällig gewählte Zahl. Man hätte auch die Zahl 100 nehmen können, aber man hat die 20 genommen, weil man dadurchd die Zahlen für (e+1) besser einschränken kann, oder?

02.03.2006, 19:02

AD

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Stimmt, das Quadrat oben ist zuviel mit reingerutscht (sch... Copy+Paste) - das merke ich erst jetzt. Ich werde es oben korrigieren - natürlich nur in einer Ergänzung. Danke, MrPSI.

02.03.2006, 20:56

MrPSI

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Bitte.

smile

Und das mit der 20 hab ich mir nochmal überlegt. Ist doch wohl nicht zufällig gewählt. Also man weiss, dass (e+1) die Primfaktoren 2 und 5 enthalten muss. Man kann jetzt die $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{2000} \rfloor \end{eqnarray*}$ suchen, die die höchste mögliche Anzahl an den Primfakoren 2 und 5 enthält. Das wäre dann die $\begin{eqnarray*} 20=2^2 \cdot 5 \end{eqnarray*}$ . Und da (e+1) ein Teiler von 20 sein muss, falls $\begin{eqnarray*} (e+1)^2 \end{eqnarray*}$ ein Teiler von 2000 sein will, kann man jetzt alle möglichen Lösungen finden. Das wäre dann der Lösungsweg, den du der Threadstellerin gezeigt hast.

die zweite Möglichkeit wäre deine 2. für mich gedachte Erklärung: bei den Primfaktoren in (e+1) muss für den Exponenten m in $\begin{eqnarray*} 2^m \end{eqnarray*}$ gelten $\begin{eqnarray*} m \leq 2 \end{eqnarray*}$ , und für den Exponenten n in $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} n \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Damit kann man dann auch alle möglichen Lösungen finden.

Komischerweise dachte ich, die 2. Erklärung wäre als Erklärung für die 1. Variante gedacht.
Die beiden Varianten unterscheiden sich darin, dass man die Grenze für die Exponenten durch (e+1)|20 "ganz deutlich" gemacht hat.

02.03.2006, 22:22

AD

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Ich habe beidesmal von ein und derselben Variante gesprochen. Und das mit dem $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{2000} \rfloor = 44 \end{eqnarray*}$ habe ich an keiner Stelle vorgeschlagen, obwohl es natürlich auch geht: Alle Zahlen $\begin{eqnarray*} e+1\leq 44 \end{eqnarray*}$ ausprobieren, ist aber unnötig umständlich.

02.03.2006, 22:42

MrPSI

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für mich waren die Varianten ein ganz klein wenig unterschiedlich.

und ein bisschen genauer lesen:

Zitat:

Original von MrPSI
Man kann jetzt die $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{2000} \rfloor \end{eqnarray*}$ suchen, die die höchste mögliche Anzahl an den Primfakoren 2 und 5 enthält.

die gesuchte Zahl muss mehrere Bedingungen erfüllen, nicht nur $\begin{eqnarray*} \lfloor \sqrt{2000} \rfloor \end{eqnarray*}$ . Obwohl, eigentlich wär ja die Darstellung $\begin{eqnarray*} x \leq \sqrt{2000} \end{eqnarray*}$ besser gewesen. Big Laugh

Big Laugh

Auf jeden Fall, Danke Arthur. Hab die Schlussfolgerung nun vollends verstehen können. smile

smile

02.03.2006, 22:53

AD

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Ich habe in der Tat Probleme, deine Kurzsprache zu verstehen. Ausgerechnet bedeutet dein Satz nämlich

Zitat:

Original von MrPSI
Man kann jetzt die $\begin{eqnarray*} 44 \end{eqnarray*}$ suchen, die die höchste mögliche Anzahl an den Primfakoren 2 und 5 enthält.

Und das ist m.E. ziemlich wirr.

03.03.2006, 12:48

MrPSI

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ja, ok, bin halt mit den mathematischen Schreibweisen noch nicht so vertraut. Ich hab eigentlich gemeint, dass man die nächstkleinere ganze Zahl sucht, die die höchstmögliche Anzahl an den Primfaktoren 2 und 5 enthält. Ich war halt mit der Definition der Gaussklammer nicht so streng und hab da einfach die Sprechweise übernommen und etwas erweitert.

http://www.funtime-smilie.de/smilie/Beleidigt - Schaemen/blush2.gif

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