Abstand Punkt Gerade mit Punkt-Noramlenform

28.02.2006, 14:13

tom22

Abstand Punkt Gerade mit Punkt-Noramlenform

Hi, ich möchte gerade den Abstand zwischen Punkt Gerade ausrechnen.
Mit dem "Lotfußpunktverfahren" ist mir das klar und ich bekomme auch immer die richtigen Ergebnisse raus. Jetzt habe ich in meinem Matheübungsbuch in dem Lösungsteil zu den Übungsaufgaben gelesen, das man den Abstand auch mit der Punkt-Normalenform berechnen kann. Diesen Begriff kenne ich eigentlich nur im ZUsammenhang mit Ebenen. Also meine Frage:

1) Kann mir einer noch einmal allgemein die Punkt-Normalenform sagen.
2) Wie benutze ich diese Formel, um Abstände zu berechnen?

In dem Matheübungsbuch wird folgende Beispiel genommen:

P(6/-6/9)

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit dem "Lotfußpunktverfahren" berechnen ich den Abstand d(P,g)= Wurzel aus 110

Also wie mache ich das mit der Punkt-Normalenform?

Danke

28.02.2006, 14:25

phi

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Ist wahrscheinlich ungefähr das Gleiche, da du beim Lotfuß-Verfahren sicherlich auch die Normale zu g bilden.

Es ist in Parameterform einfach das Skalarprodukt zwischen Einheitsnormale und der Differenz zwischen Punkt P und beliebigem Stützpunkt a der Geraden g:

$\begin{eqnarray*} d(P;g)= n°_g \circ (P-a) \end{eqnarray*}$ .

Oder suchst du eher die Koordinatenform dafür?

mfg, phi

28.02.2006, 14:31

tom22

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Frage

Zitat:

Original von phi

$\begin{eqnarray*} d(P;g)= n°_g \circ (P-a) \end{eqnarray*}$ .

Wie bestime ich denn diese n?

28.02.2006, 15:26

phi

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RE: Abstand Punkt Gerade mit Punkt-Noramlenform
Hoppla, ich vergaß das man diese Formel nur im IR^2 anwenden kann. Im IR^3 gibt es ja unendlich viele Normalen.

Die Punkt-Richtungsform ist auch etwas anderes. Ist eher sowas wie die Hessesche Normalform einer Ebene (wie du schon sagtest, nur bei Ebenen).

allgemeine Form: $\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{a}) \circ \vec{n}=0 \end{eqnarray*}$

a: Ankerpunkt der Ebene
n: Normale der Ebene

Ich denke mal es geht darum entweder eine Hilfsebene H zu konstruieren die den Punkt P enthält, und parallel zur Geraden g verläuft,

oder eine Lotebene die Orthogonal zu g ist und P enthält.

mfg, phi

28.02.2006, 15:46

tom22

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RE: Abstand Punkt Gerade mit Punkt-Noramlenform

Zitat:

Original von phi

Ich denke mal es geht darum entweder eine Hilfsebene H zu konstruieren die den Punkt P enthält, und parallel zur Geraden g verläuft,

Genau, wie stelle ich diese Hilfseben auf. Bitte an dem Beispiel oben deutlich machen.

Wenn ich diese Hilfseben dann habe, muss ich ja den Schnittpunkt mit der Geraden bestimmen:

Für den Abstand muss ich die Länge vom Schnittpunkt bestimmen oder die Länge vom Schnittpunkt minus dem Punkt(der,der in der Aufg. angegeben ist.) ?

28.02.2006, 16:36

phi

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RE: Abstand Punkt Gerade mit Punkt-Noramlenform
Ist "Lotfußpunktverfahren" das Verfahren bei dem man die Wurzel minimiert ?

Die Konstruktion mit paralleler Ebene kenn ich selbst auch nicht, aber ich kann umreißen wie´s es mit Lotebene geht:

Sei $\begin{eqnarray*} g = a + s u_g \end{eqnarray*}$

1) erkläre $\begin{eqnarray*} u_g := n_L \end{eqnarray*}$ zur Normalen der Lotebene L

$\begin{eqnarray*} -2x + y + z + l_0=0 \end{eqnarray*}$

2) durch einsetzen von P in die Koordinatenform von L erhält man l_0:

$\begin{eqnarray*} -2x + y + z + 9 = 0 \end{eqnarray*}$

3) g in L einsetzen um s zu bestimmen :

-2(4-2s)+(5+s)+(6+s)+9=0 --> s=..

4) s in g einsetzen um Schnittpunkt F von L und g zu bestimmen (F=Lotfußpunkt)

5) P-F ist Richtungsvektor u_l der Lotgeraden l und

6) der euklidische Abstand von P-F ist d(P;g)

ich hoffe, das war jetzt nicht die gleiche Methode, die du eh schon kanntest.

mfg, phi

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