komplexe differenzierbarkeit

07.06.2008, 12:50	tal132	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe differenzierbarkeit Hallo! Ich habe für reelle y,t bewiesen, dass $\begin{eqnarray} h(y,t)=\int_{-\infty}^{\infty}~e^{-tx^2+2xy}~dx=\sqrt{\frac{\pi}{t}}e^{\frac{y^2}{t}} \end{eqnarray}$ gilt. Nun muss ich zeigen, dass h eine ganze Funktion in y und eine analytische in t mit Re(t)>0 ist, damit ich den Identitätssatz anwenden kann. Wer kann mir dabei helfen?
07.06.2008, 17:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu reicht es, die kompakte Konvergenz des Integrals für die entsprechenden Gebiete nachzuweisen. Auch die schwächere und meistens leichter zu zeigende normale Konvergenz täte es. Achte auch darauf, den korrekten Zweig der Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung zu bestimmen.
07.06.2008, 20:11	tal132	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich bin mit den Begriffen leider nicht sehr vertraut. Allerdings habe ich gerade gelesen, dass normale Konvergenz die kompakte impliziert. Das würde ja bedeuten, dass die normale nicht schwächer, sondern stärker ist. Außerdem finde ich das nur für unendliche Reihen von Funktionen und nicht für Integrale.
08.06.2008, 19:03	tal132	Auf diesen Beitrag antworten »
sonst keiner eine idee?
08.06.2008, 22:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe das einmal suggestiver. Zu untersuchen ist das Integral $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-wt^2 + 2zt}~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ für komplexe $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w = u + \operatorname{i} v \end{eqnarray}$ in kanonischen kartesischen Koordinaten mit $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ . Es genügt, die kompakte Konvergenz des Integrals bezüglicher jeder der Variablen bei festgehaltener zweiter Variabler nachzuweisen. Dann liegt Holomorphie vor. 1. Halten wir zunächst $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ fest und betrachten wir das Integral für die abgeschlossene Halbebene $\begin{eqnarray} H_c \end{eqnarray}$ aller $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u \geq c \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ eine vorgegebene Konstante ist. Jedes Kompaktum der rechten Halbebene liegt in einer geeigneten Halbebene $\begin{eqnarray} H_c \end{eqnarray}$ . Wenn es also gelingt, für das Integral über den Betrag eine von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ unabhängige Majorante in $\begin{eqnarray} H_c \end{eqnarray}$ anzugeben, ist das Ausgangsintegral kompakt konvergent bezüglich $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ . Vorbehaltlich Konvergenz schätzt man ab: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\left\| \operatorname{e}^{-wt^2 + 2zt} \right\|~\mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-ut^2 + 2xt}~\mathrm{d}t \leq \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-ct^2 + 2xt}~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Damit ist eine von $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ unabhängige Majorante in $\begin{eqnarray} H_c \end{eqnarray}$ gefunden, denn das letzte Integral konvergiert sicher (es läßt sich z.B. mittels einer Substitution auf das Gaußsche Fehlerintegral zurückführen; beachte $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ ). 2. Halten wir jetzt $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ fest und betrachten wir das Integral für den abgeschlossenen Streifen $\begin{eqnarray} S_c \end{eqnarray}$ aller $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x\| \leq c \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ eine vorgegebene Konstante ist. Jedes Kompaktum in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ liegt in einem geeigneten Streifen $\begin{eqnarray} S_c \end{eqnarray}$ . Wenn es also gelingt, für das Integral über den Betrag eine von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ unabhängige Majorante in $\begin{eqnarray} S_c \end{eqnarray}$ anzugeben, ist das Ausgangsintegral kompakt konvergent bezüglich $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Es geht los wie eben. Vorbehaltlich Konvergenz schätzt man ab: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\left\| \operatorname{e}^{-wt^2 + 2zt} \right\|~\mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-ut^2 + 2xt}~\mathrm{d}t \leq \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-ut^2 + 2 \|xt\|}~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-ut^2 + 2 c \|t\|}~\mathrm{d}t = 2 \int_0^{\infty}~\operatorname{e}^{-ut^2 + 2ct}~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Damit ist eine von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ unabhängige Majorante in $\begin{eqnarray} S_c \end{eqnarray}$ gefunden, denn das letzte Integral konvergiert sicher (wiederum Zurückführung auf das Gaußsche Fehlerintegral; beachte $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ ). 3. Jetzt ist gezeigt, daß $\begin{eqnarray} h(z,w) = \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-wt^2 + 2zt}~\mathrm{d}t \ \ \ \mbox{für} \ \ z \in \mathbb{C} \ \ \mbox{und} \ \ w \in \mathbb{C} \ \ \mbox{mit} \ \ u>0 \end{eqnarray}$ eine in beiden Variablen $\begin{eqnarray} z,w \end{eqnarray}$ holomorphe Funktion ist. Auch $\begin{eqnarray} g(z,w) = \sqrt{\frac{\pi}{w}} \operatorname{e}^{\frac{z^2}{w}} \end{eqnarray}$ ist im selben Bereich holomorph, wenn man für $\begin{eqnarray} \sqrt{w} \end{eqnarray}$ den Zweig nimmt, für den $\begin{eqnarray} \Re(\sqrt{w}) > 0 \end{eqnarray}$ ist. Und da du bereits $\begin{eqnarray} h(x,u) = g(x,u) \end{eqnarray}$ für reelle $\begin{eqnarray} x,u \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u>0 \end{eqnarray}$ gezeigt hast, gilt nach dem Identitätssatz für $\begin{eqnarray} z,w \end{eqnarray}$ wie oben $\begin{eqnarray} h(z,w) = g(z,w) \end{eqnarray}$ . 4. Wenn man eine solche Identität einmal hat, kann man durch Spezialisierung hübsche Formeln bekommen. Beispiel 1: $\begin{eqnarray} z = \operatorname{i} \, , \ w = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2 + 2 \operatorname{i} t}~\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{\operatorname{e}} \end{eqnarray}$ Übergang zum Realteil zeigt: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \cos(2t)~\mathrm{d}t = \frac{\sqrt{\pi}}{\operatorname{e}} \end{eqnarray}$ Beispiel 2: $\begin{eqnarray} z = 0 \, , \ w = 1 + \operatorname{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-(1 + \operatorname{i}) t^2}~\mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \cos(t^2)~\mathrm{d}t - \operatorname{i} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \sin(t^2)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ Andererseits: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{\pi}{1 + \operatorname{i}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left( \sqrt{\sqrt{2} + 1} - \operatorname{i} \sqrt{\sqrt{2} - 1} \right) \end{eqnarray}$ Ein Vergleich zeigt: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \cos(t^2)~\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \sqrt{\pi \left( \sqrt{2} + 1 \right)} \, , \ \ \ \int_{- \infty}^{\infty}~\operatorname{e}^{-t^2} \sin(t^2)~\mathrm{d}t = \frac{1}{2} \sqrt{\pi \left( \sqrt{2} - 1 \right)} \end{eqnarray}$
09.06.2008, 12:29	tal132	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das ist alles relativ einleuchtend. mir ist nur nicht klar, warum daraus dann die holomorphie folgt. habe nach entsrepchenden sätzen gesucht, aber keinen gefunden.
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09.06.2008, 16:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So müßte es gehen: Es sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ein Gebiet in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(z,t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} z \in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine komplexwertige stetige Funktion und bei festem $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ als Funktion von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ holomorph. Ferner sei im Sinne kompakter Konvergenz des uneigentlichen Integrals in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Funktion $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} h(z) = \int_{-\infty}^{\infty}~f(z,t)~\mathrm{d}t \end{eqnarray}$ definiert. Nach bekannten Sätzen der reellen Analysis ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion und damit integrierbar (das überträgt sich sofort aufs Komplexe durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil). Um die Holomorphie von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ zu zeigen, genügt es nachzuweisen, daß das Integral von $\begin{eqnarray} h(z) \end{eqnarray}$ über den Rand $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ eines jeden achsenparallelen Rechtecks, das mitsamt seinem Innerem noch zu $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gehört, verschwindet (Morera). Sie $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ solch ein Rechteckweg und $\begin{eqnarray} L>0 \end{eqnarray}$ seine Länge. Ich schreibe etwas lax $\begin{eqnarray} z \in \gamma \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ auf der Spur von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ liegt. Für jedes $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}~\int_{-R}^R~f(z,t)~\mathrm{d}t~\mathrm{d}z = \int_{-R}^R~\int_{\gamma}~f(z,t)~\mathrm{d}z~\mathrm{d}t = 0 \end{eqnarray}$ Beim ersten Gleichheitszeichen wurde der Satz von Fubini angewandt (denke dir das Integral über $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ parametrisiert und zerlege beide Seiten in Real- und Imaginärteil, dann ist das nichts anderes als zweimal der reelle Fubini), beim zweiten der Cauchysche Integralsatz. Sei nun $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ vorgegeben. Dann existiert ein $\begin{eqnarray} R_0>0 \end{eqnarray}$ , so daß $\begin{eqnarray} \left\| h(z) - \int_{-R}^{R}~f(z,t)~\mathrm{d}t \right\| < \frac{\varepsilon}{L} \ \ \mbox{für alle} \ R \geq R_0 \ \ \mbox{und alle} \ z \in \gamma \end{eqnarray}$ Daß man $\begin{eqnarray} R_0 \end{eqnarray}$ unabhängig von $\begin{eqnarray} z \in \gamma \end{eqnarray}$ wählen kann, liegt gerade an der kompakten Konvergenz. Denn die Spur von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist kompakt, und auf jedem Kompaktum ist die Konvergenz gleichmäßig. Mit einem $\begin{eqnarray} R \geq R_0 \end{eqnarray}$ kann man nun folgendermaßen schließen: $\begin{eqnarray} \left\| \int_{\gamma}~h(z)~\mathrm{d}z \right\| = \left\| \int_{\gamma}~h(z)~\mathrm{d}z - \int_{\gamma}~\int_{-R}^R~f(z,t)~\mathrm{d}t~\mathrm{d}z \right\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left\| \int_{\gamma}~\left( h(z) - \int_{-R}^R~f(z,t)~\mathrm{d}t \right)~\mathrm{d}z \right\| \leq L \cdot \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon \end{eqnarray}$ Und da $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig war, heißt das $\begin{eqnarray} \int_{\gamma}~h(z)~\mathrm{d}z = 0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ holomorph.

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