Wahrscheinlichkeitsrechnung

07.06.2008, 13:08

toobee

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Hallo, habe hier diese Aufgabe an der ich nicht so wirklich weiter komme

Ein Hellseher wirbt mit dieser Anzeige:
"Sage werdenden Eltern das Geschlecht voraus, bei Nichteintreffen Geld zurück"
Die Vorhersage kostet 100 Euro, der Hellseher wirft eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit für eine Mädchen geburt liegt bei 0.465. Berechnen Sie das mittlere Jahreseinkommen des Hellsehers, wenn 100 Anfragen je Monat eintreffen. Mit welcher Strategie kann er sein Jahreseinkommen (bei gleichem Tarif) verbessern?

Mein Denkansatz:

Mädchen = 0.465
Jungen = 1 - 0.465 = 0.535

100 Anfragen * 100 Euro * 12 Monate = 120.000€ Jahreseinkommen bei 100% richtigen Antworten
davon entfallen 55.800 Euro auf die Mädchengeburten und 64.200 auf die Jungengeburten.

Kann man das auf ein Laplace-Experiment zurückführen?

günstigen Fällle = 0.465 * 0.535 = 0.248775
0.248775 * 120.000Euro = 29853 Euro Mittleres Jahreseinkommen

Kann das stimmen ?

Auf die Frage wie er sein Jahreseinkommen verbessern kann, fällt mir gar nix ein.

Hoffe mir kann jemand helfen. Danke im Voraus.

07.06.2008, 13:28

tigerbine

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Meine Interpretation
Stellen wir mal das Experiment auf. Mädchen oder Junge, sowie Kopf oder Zahl

$\begin{eqnarray*} P(M)=0.465,~P(\overline{M})=P(J)=0.535 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(M)=0.465,~P(\overline{M})=P(J)=0.535 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(K)=0.50,~P(\overline{K})=P(Z)=0.5 \end{eqnarray*}$

Nun betrachten wir Familie Mustermann, die sich an den Hellseher wendet. Dann gibt es 4 Fälle.

$\begin{eqnarray*} P(K\cap M) = 0.50 \cdot 0.465 \end{eqnarray*}$ Freude

$\begin{eqnarray*} P(K\cap J) = 0.50 \cdot 0.535 \end{eqnarray*}$ unglücklich

$\begin{eqnarray*} P(Z\cap M) = 0.50 \cdot 0.465 \end{eqnarray*}$ unglücklich

$\begin{eqnarray*} P(Z\cap J) = 0.50 \cdot 0.535 \end{eqnarray*}$ Freude

Wann haben wir nun eine wahre Voraussage?

$\begin{eqnarray*} P(W)=0.50\cdot 0.465 + 0.5 \cdot 0.535 = 0.50 (0.465 + 0.535) = 0.50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\overline{W})=0.50\cdot 0.535 + 0.5 \cdot 0.465 = 0.50 (0.535+0.465) = 0.50 \end{eqnarray*}$

Wie sieht das Einkommen aus? Es werden 1200 Anfragen pro Jahr gestellt. Wie sieht nun die Bilanz des Herrn aus? Es gibt 2 Fälle +100€ oder 0€. Damit ergibt sich als Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E=1200 \cdot (0.50 \cdot 100 + 0.50 \cdot 0) = 60000 \end{eqnarray*}$

07.06.2008, 13:52

toobee

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Kann das den wirklich stimmen? Normalerweise haben disese Aufgabe nie logisch nachvollziehbare Lösungen. Ich würde aus dem Bauch heraus auch sagen das man bei 120.000 Euro möglich Gewinne und einer 50/50 Chance zwangsläufig im durschnitt 60.000 Euro haben müsste.

Aber das ganze müsste doch durch die Festlegung der Mädchenquote auf 0.465 ins Wanken geraten. Dann hab ich doch eine 50/50 Chance beim Münz wurf aber ein unausgeglichenes Verhältnis bei dem was tatsächlich rauskommt, weil

0.465/0.535 für die Tatsächliche Geburt gilt und der Hellseher ja dann das Geld zurückzahlen muss wenn er falsch lag.

07.06.2008, 16:53

tigerbine

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Zitat:

Normalerweise haben disese Aufgabe nie logisch nachvollziehbare Lösungen.

Dann findest Du meine Lösung logisch? Big Laugh

Sicher ist die Quote für Mädchen schlechter. Aber das wirkt sich eben in 2 Fällen aus. Wir nehmen ja nun einmal an, dass die Ereignisse Vorhersage und Geschlecht stochastisch unabhängig sind. Daher ist der von mir aufgestellte Baum korrekt. lesen wir einmal die Endwahscheinlichkeiten ab.

Wann liegt er richtig?

$\begin{eqnarray*} P(K\cap M) = 0.2325 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Z\cap M) = 0.2675 \end{eqnarray*}$

Wann liegt er falsch?

$\begin{eqnarray*} P(K\cap J) = 0.2675 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Z\cap J) = 0.2325 \end{eqnarray*}$

Bei der Optimierung ist nun die Frage, ob er wirklich eine Münze werfen sollte. Also stehe K(opf) weiterhin für seine Vorhersage "Mädchen", dann gilt:

$\begin{eqnarray*} p:=P(K),~(1-p)=P(Z) \end{eqnarray*}$

Wie muss man p wählen, damit der erwartete Gewinn maximal wird? Wie lauten die Wahscheinlichkeiten [latex]P(W),~P(\overline{W}) ]/latex] in abhängigkeit von p?

08.06.2008, 11:08

toobee

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Zitat:

Original von tigerbine
Bei der Optimierung ist nun die Frage, ob er wirklich eine Münze werfen sollte. Also stehe K(opf) weiterhin für seine Vorhersage "Mädchen", dann gilt:

$\begin{eqnarray*} p:=P(K),~(1-p)=P(Z) \end{eqnarray*}$

Wie muss man p wählen, damit der erwartete Gewinn maximal wird? Wie lauten die Wahscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(W),~P(\overline{W}) \end{eqnarray*}$ in abhängigkeit von p?

hm wie das jetzt optimieren soll weis ich nicht so recht.

Am einfachsten wäre es die Geldzurückgarantie zu streichen, so komm ich dann auf 100%, aber das war wohl nicht im Sinne des Aufgabenstellers. Solange ich mit der Münze arbeite kann ich doch keinen höheren Gewinn erzielen. ?

08.06.2008, 11:22

tigerbine

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Du musst nicht mit der Münze arbeiten.

Geldzurück streichen ROFL

16.01.2012, 01:58

Jojo Mojo

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Wenn er nur Jungen vorraussagt ist die Chance höher richtig zu liegen (53,5%)

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