Extremwertaufgabe Lichtstrahl

07.06.2008, 15:16

SVENJA

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Extremwertaufgabe Lichtstrahl

Hallo. Habe eine Datei angehangen mit der Aufgabe. Hoffe es ist eingermaßen gut zu erkennen.

Also vom Punkt A aus soll ein Lichtstrahl über Punkt B zum Punkt C gehen. Und die frage ist, wo der Punkt c liegen muss damit der Weg für den Lichtstahl am Minimalsten ist!

Habe mir überlegt:

Der Weg s soll optimiert werden und setzt sich aus der Strecke AC und CB zusammen.

$\begin{eqnarray*} s(x)= AC + BC \end{eqnarray*}$

Habe dann gedacht:

$\begin{eqnarray*} AC = \sqrt{x^2+30^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} CB = \sqrt{60^2+(120-x)^2} \end{eqnarray*}$

Demnach wäre meine Funktion:

$\begin{eqnarray*} s(x)= \sqrt{x^2+900} + \sqrt{(120-x)^2+3600} \end{eqnarray*}$

Kann das so stimmen, oder habe ich was nicht beachtet?

WIE BLÖD; IRGENWIE KANN ICH DAS BILD NICHT HOCHLADEN; WEIL ICH NE FALSCHE ENDUNG ODER ES ZU GROß IST; HAT DA AUCH JEMAND EINEN RAT?

07.06.2008, 15:39

pingu

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Hallo,

schau doch mal, ob dein Bild folgende Endung trägt:
gif, jpg, jpeg, png, bmp, zip, txt, nb, m

denn, wenn nicht, wird es auch nicht angenommen.

lg

07.06.2008, 15:45

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
Wo kann ich das denn sehen? Hammer

Hammer

07.06.2008, 15:47

Rare676

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RE: Optmierungsaufgabe Lichtstrahl

Zitat:

Original von SVENJA
Wo kann ich das denn sehen? Hammer

Hammer

Das sollte hinter deinem Bild stehen.

Zitat:

am Minimalsten

Diese Steigerung gibt es nicht Big Laugh

Big Laugh

07.06.2008, 15:49

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
Hab es gefunden, da steht Bitmap!!! Ist das dieses bmp? Wenn ja müsste es ja funktionieren? Dann ist es wahrscheinlich zu groß, aber krieg das nicht kleiner. Hab das schon in der Ansicht kleiner gemacht aber die KB Zahl ist gleichgeblieben.

07.06.2008, 16:00

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
So jetzt müsste es klappen. [attach]8249[/attach]

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07.06.2008, 16:45

Zizou66

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In deiner Zeichnung geht der Lichtstrahl von A über C zu B ist das Absicht? In deiner Aufgabenstellung steht es nämlich anders?

07.06.2008, 16:47

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
Ja so wie du es geschrieben hast ist es richtig! Da hab ich mich verschrieben, sorry!

07.06.2008, 16:48

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
Also so wie es in der Zeichnung steht ist es richtig!!

07.06.2008, 16:53

Zizou66

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Alles klar.

So mal wieder zur Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein Ansatz ist absolut richtig. Du kannst damit auch die Extremstelle berechnen, allerdings kannst du auch die Funktion einfach Quadrieren, weil dadurch die Extremstellen sich nicht ändern. Dann fallen die Wurzeln weg...
Schaffst du das? Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2008, 17:01

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
aber ich kann die ja erst quadrieren, wenn ich di Ableitung gemacht habe und gleich null gesetzt habe. In einer Funtkion geht das doch nicht oder?

07.06.2008, 17:13

Zizou66

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Doch in dem Fall darf man das machen, da sich dadurch die Extremstellen nicht ändern.

07.06.2008, 17:16

SVENJA

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Optmierungsaufgabe Lichtstrahl
So:

$\begin{eqnarray*} s(x)=x^2+4500+(120-x)^2 \end{eqnarray*}$ ???????

Und dann ableiten und den Kram!

07.06.2008, 17:22

Zizou66

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Ja so siehts aus. Allerdings würde ich $\begin{eqnarray*} (120-x)^2 \end{eqnarray*}$ noch eben ausrechnen, dann ersparst du dir die Kettenregel Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2008, 17:25

SVENJA

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Extremwertaufgabe Lichtstrahl
Ja, das mache ich. Dann werd ich nach dem Fussballspiel gleich direkt mal weiter rechnen. Danke für die Hilfe!

07.06.2008, 17:41

Zizou66

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Sehr gut, fußballschauen geht natürlich vor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich gehe da jetzt auch hin. Um den Funktionswertes deines Ergebnisses zu bestimmen musst du wohl wieder in die eigentliche Funktion einsetzen und nicht in die quadrierte. Ist von hieran nicht mehr schwer Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2008, 17:50

Nubler

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erst ableiten, dann 0 setzen, dann so umbaun, dass auf jeder seite was von der form $\begin{eqnarray*} (~)\cdot\sqrt{~} \end{eqnarray*}$ dasteht ausquatrieren, lösen, lösung prüfen, fertig
die originalfunktion zu quadrieren geht theoretisch auch, jedoch müsste dies zweimal gemacht werden und polynome von grad >5 sind zuweilen sehr bösartig

07.06.2008, 18:53

riwe

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man kann fußballspeilen oder denken unglücklich

unglücklich

da mußt du nicht viel rechnen und ableiten,
der kürzeste weg zwischen 2 punkten ist eine gerade (im selben medium)

07.06.2008, 20:45

Zizou66

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an Nubler:

Nein, man muss die Funktion nur einmal quadrieren. Dann hat man $\begin{eqnarray*} s^2(x) \end{eqnarray*}$ und diese Fkt hat die gleichen Extremstellen wie $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ .

Man kann es auch machen wie du es beschrieben hast, allerdings ist dann die Ableitung deutlich komplizierter und für viele Leute, die die Kettenregel noch nicht hatten, unlösbar. In meinem Mathekurs ist das genauso...

an Riwe:

Sehr elegante Lösung Freude

Freude

08.06.2008, 15:28

SVENJA

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Extremwertaufgabe Lichtstrahl
Also, ich hab das mal so gerechnet, wie Zizou 66 das gesagt hat und bekomme da den Punkt (60/151,93) raus! Kann das sein?

Das Problem ist nur das unser Lehrer immer Sagt das wir bei ner Funktion solche umformungen nicht machen dürfen. Also habe ich jetzt mal anders ausprobiert:

Also die Ableitung von der Funktion war bei mir:

$\begin{eqnarray*} s`(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+900}} + \frac{x-240}{\sqrt{x^2-240x+18000}} \end{eqnarray*}$

Habe dann gleich null gesetzt und die Brüche auf einen nenner gebracht und den dann eliminiert, quadriert und am Ende steht da so ne Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^6+901x^4-240x^3+59400x^2+51840000=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Weil das sieht igendwie komisch aus!

08.06.2008, 16:55

SVENJA

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Extremwertaufgabe Lichtstrahl
Habe nochmal gerechnet, also wenn meine Ableitung richtig war und nach deren Glechsetzung mit null und dem Nenner eliminieren kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} x\sqrt{x^2-240x+18000} +(x-120)\sqrt{x^2+900} =0 \end{eqnarray*}$

Ist das denn richtig und wenn ja wie mache ich jetzt weiter? Kriege irgendwie die Faktoren vor den Wurzeln nicht weg und wenn ich das jetzt alles quadriere kommt da was riesiges raus!
Gibt es da einen einfacheren Weg?

09.06.2008, 08:35

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Lichtstrahl

Zitat:

Original von SVENJA
Also die Ableitung von der Funktion war bei mir:

$\begin{eqnarray*} s`(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+900}} + \frac{x-240}{\sqrt{x^2-240x+18000}} \end{eqnarray*}$

Der Zähler im 2. Bruch ist falsch.

Zitat:

Original von SVENJA
Kriege irgendwie die Faktoren vor den Wurzeln nicht weg und wenn ich das jetzt alles quadriere kommt da was riesiges raus!
Gibt es da einen einfacheren Weg?

Bring einen der Summanden auf die rechte Seite und quadriere dann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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