geometrische Deutung Eigenraum

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Spieky Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Deutung Eigenraum
Hallo zusammen,
ich habe mal eine Frage: Kann mir jemand sagen, was die geometrische Deutung eines Eigenraumes ist? Also ein Eigenvektor wird ja durch die Abbildung auf sich selbst abgebildet, allerdings um einen Faktor a gestreckt oder gestaucht, a ist dann Eigenwert. Soweit ist das wohl klar. Aber was ist dann die geometrische Deutung eines Eigenraumes? Ich würde nun erstmal vermuten, dass ein Eigenraum eine Gerade durch den Nullpunkt in Richtung des EV ist. Allerdings habe ich damit ein Problem: eine Gerade ist eindimensional! Was ist, wenn der Eigenraum 2dim ist?oder noch höherer Dimension, auch wenn dann die Vorstellung nicht mehr möglich ist?
Vielen Dank schon mal im Voraus, ich hoffe mir kann da einer weiterhelfen
Lieben Gruß Spieky
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es geometrisch deuten willst warum malst Du es Dir nicht auf?

Probier mal folgende Matrizen



Die Einheitsmatrix hat einen dreidimensionalen Eigenraum und die erste da hat einen zweidimensionalen (zu Eigenwert 1)

edit:

Man kann zeigen das jeder Unterraum des entweder der Nullraum, eine Gerade durch Null, eine Ebene durch Null oder selber ist. Damit sind die geometrischen Interpretationen der Eigenräume (die Unterräume der R³ bis dimension des Eigenraums = 3 sind) schon gegeben.
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze
> edit...
Verstehe. - Jeder Eigenraum ist ein Untervektorraum und umgekehrt. Überflüssig also dieses "Eigen"..., insbesondere, wo "Vektorraum" sowas wie Endomorphismus nicht braucht, "Eigenraum" irgendwie schon. Es muss einen tieferen Sinn geben, ggfs. auch eine geometrische Interpretation.

Wink -Ace- (o.b.d.A.)
__________

P.S.: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Überflüssig also dieses "Eigen"...


Nicht ganz so überflüssig, wir wissen zwar das es (wenn mans geometrisch sehen will) sich um Ebenen, Geraden etc. handelt (wen die Dimensionen entsprechend sind) aber die haben ja vielleicht ne spezielle Richtung , wer weiß Augenzwinkern .

edit:

Die Umkehrung die Du ansprichst gilt nicht. Die Ebene ist zwar ein Unterraum des R³, aber sicher kein Eigenraum einer Matrix mit n versch. Eigenwerten.
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze
> aber die haben ja vielleicht ne spezielle Richtung ,...

Hmm. - Ich hätte ja jetzt mit speziellen Isometrien argumentiert, *ähm* eben halt nicht Drehungen oder Spiegelungen, Du weisst schon. - Meine naive geometrische Interpretation: Man vereinfacht (per BasisTransform.) das endomorphe Bild in eine direkte Summe (überschaubar machen) von solchen Räumen, die aus reinen Streckungen / Stauchungen des Urraumes entstehen.

Bsp.: Nehmen wir den 1-dim. Fall mit f(x) := 2x.

BTW läßt die Einheitsmatrix (als Abb. die Identität) einen Raum punktweise fest, insbesondere auch JEDE Ebene. - Insofern ist jeder Vektorraum auch Eigenraum... f(x) = x. Fehlt nur ein geeigneter Homomorphismus?!

Wdhg.: P.S.: http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Vektorraum auch Eigenraum


Wie meinst Du das? Nicht jeder VR ist Eigenraum der Einheitsmatrix, oder würdest Du sagen der C[0,1] ist ein Eigenraum von I?

Der Eigenraum der Einheitsmatrix der Dimension 3 ist der R³ davon bin ich ausgegangen. Der Eigenraum der Matrix mit Dimension 2 ist gerade die Ebene.

edit

Na ups, da hab ich die Dimensionen verwürfelt. Eigenraum der 2x2 Einheitsmatrix ist ne Gerade, Eigenraum der 3x3 die Ebene.
 
 
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Nicht jeder VR ist Eigenraum der Einheitsmatrix, ...
Nicht?

(Dein Beispiel: )
Ich nehme an, Du meinst mit C[0;1] die stetigen Funktionen mit Def.Bereich [0;1]. Ersetzen wir I durch die Identität mit id(f) := f, so ist C[0;1] = , kurz: C[0;1] ist Eigenraum von id zum einzigen Eigenwert 1.

BTW: Was ist an C[0;1] als VR bzgl. Eigenwerten/ -räumen so besonders (bis auf die nicht-endliche Basis), dass es für die simple Frage nach geometrischer Interpretation herhalten muss? *grübel*

Wink

P.S.: Mir fehlt immer noch eine Antwort auf die geforderte geometrische Interpretation. - Sie müsste IMHO den Begriff "Streckung" mehrfach (und metrische Invarianz mindestens 1x) beinhalten...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
> Nicht jeder VR ist Eigenraum der Einheitsmatrix, ...


Nein, definitiv nicht. Du müsstest schon sagen das



=>

V ist Eigenraum von I. Die Aussage müsste dann wenn überhaupt so lauten: Jeder VR ist Eigenraum zu seiner Identität.

Und C[0,1] ist sicher nicht Eigenraum von

Zur Interpretation:

Geometrisch Interpretieren können wir nur Eigenräume maximaler Dimension 3 für den Koordinatenraum.

Betrachten wir mal folgende Matrix:



Die Eigenräume sind
Das sind dann die Koordinaten-achsen. Das Bild unter der Abbildung das die Matrix beschreibt wäre dann die direkte Summe beider Eigenräume (sieht man ja an dem Beispiel einfach). Sind nun und die Eigenvektoren, und v ein bel. Vektor des Urbildraumes.

Sei f(v) = w

v lässt sich schreiben als Linearität usw. ausgenutzt ergibt uns dann für w



Der Bildraum ergibt sich also durch Streckung und Stauchung des Urbildraumes wenn wir diesen bzgl. Eigenvektorbasis darstellen. Was passiert wenn wir keine Eigenvektorbasis bekommen?
Spieky Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, also das ist ja ne recht heiße Diskussion hier;-) Wenn ihr mir jetzt noch sagen könnt, wie ich mir geometrisch einen 2-dim ER vorstellen kann, bzw. noch einen 3-dim, dann bin ich fürs erste glücklich, mehr kann man sich nun mal nicht vorstellen, damit habt ihr recht
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