Geradenschar und Ebene

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SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »
Geradenschar und Ebene
Hallo,

es geht zunächst mal um die Aufgabe bzw. Aufgaben im Anhang.

Bei Aufgabe a) habe ich einfach mal den gegebenen Punkt für x eingesetzt und dann ja drei Gleichungen erhalten. Dort jeweils mal die 1. und 3. und 2. und 3. miteinander addiert, sodass jeweils die Variable r rausgefallen ist und dann habe ich jeweils erhalten:

Das habe ich dann einfach mal eingesetzt für die Probe:



Dann wieder drei Gleichungen erhalten und jeweils immer erhalten. D.h. der Punkt liegt also auf der Geraden


So, bei Aufgabe b):

Ich weiß nicht, ob es irgendwie einfacher/schneller geht...aber ich habe einfach mal als Punkt für x eben 0/0/0 eingesetzt und dann wieder drei Gleichungen erhalten. Da habe ich dann jeweils so addiert, dass r rausgefallen ist und habe dann drei verscheidene Werte für a erhalten. Nämlich 1, -2 und 4.

Dann habe ich wiederum jeweils die Werte für a eingesetzt und geschaut ob die drei Werte für r jeweils identisch sind. Das war jedoch bei keinem von meinen drei Werten die ich für a erhalten habe der Fall, also keine der Geraden geht durch den Ursprung.

Ist das richtig so?


Und bei Aufgabe c) bräuchte ich mal etwas Hilfe...wie kann ich denn zeigen, dass alle Geraden einer Geradenschar parallel verlaufen?

Einfach mal zwei Geraden von der Schar raussuchen und schauen wie der Winkel zwischen beiden ist?


Danke im Voraus.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

a und b scheinen vom prinzip her zu stimmen (hab ich jetzt nicht nachgerechnet)

c) parallel bedeutet linear abhängige richtungsvektoren...
deine richtungsvektoren sind unabhängig von a, was bedeutet das?

eine ebene gemeinsam:

x1=-2a-2r
x2=2a-3 -r
x3=12-a+2r

eliminiere r und a

d) einfach einen punkt der gerade g0 wählen und dann davon den abstand zur gerade ga ausrechnen
 
 
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...also wenn bei parallel die Richtungsvektoren linear abhängig sein müssen (von a), dann ist das bei meinem Richtungsvektor ja nicht wirklich der Fall. Also sind sie parallel. (?)

Hm...hab das zwar schon mal gemacht, aber ich bekomme es gerade nicht wieder hin.

Wie eliminiere ich da genau a und r um dann zu einer Ebenengleichung zu kommen?

Also bei:

x1=-2a-2r
x2=2a-3 -r
x3=12-a+2r


Und bei d) komme ich irgendwie immer auf den Abstand . (?)
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

x1=-2a-2r
x2=2a-3-r
x3=12-a+2r

x1=-2a-2r
x2=2a-3-r
2x3=24-2a+4r

x1+x2=-3r-3
x2+2x3=21+3r

x1+2x2+2x3=18
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun noch zu d)

Bitte teile uns mal deinen Rechenweg mit!
Wie hast du gerechnet, dass du für d immer 0 erhalten hast?

Alle Geraden sollten nämlich den Abstand zu haben.

Gr
mYthos
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht hast du ausversehen einen punkt punkt auf ga genommen

hast du als punkt (0/-3/12) genommen?

und wegen dem paralel, alle richtungsvektoren sind gleich, da sie von a unabhängig sind, also sind die geraden parallel...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@marci

Es geht um den Abstand und den Rechenweg dorthin! d ist definitiv 3a, nur sollte das noch ermittelt werden ...
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hm...ich bin so vorgegangen bei Aufgabe d):





Jo, dann habe ich mir einfach mal nen Punkt auf gesucht und habe den für genommen und zwar .

Hilfsebene erstellt mit dem Punkt:



Dann eben für mein x, y und z bzw. x1, x2 und x3 aus oder eingesetzt (ist egal, die a's würden wegfallen) und dann erhalte ich .

Das eingesetzt ergibt den Punkt als Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden.


Tja, und nun ist mein ursprünglich gewählter Punkt auf mit identisch mit dem, den ich als Schnittpunkt rausgefunden habe und da nun dann die Abstandsgleichung (mit oder ohne a), ergibt 0.

Was mache ich denn da falsch?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig angefangen!

Hättest allerdings (noch einfacher) gleich den Anfangspunkt von nehmen können (r = 0) ... .

Aber dein Fehler liegt wo anders. Es ist zunächst klar, wenn du zuerst eine Hilfsebene (senkrecht zu den Geraden) durch einen Punkt von legst und diese dann mit schneidet, dass wieder dieser Punkt als Schnittpunkt herauskommt!

Du musst vielmehr diese Hilfsebene nunmehr mit schneiden! Es stimmt nicht, dass dabei die wegfallen, denn in diesem Schnittpunkt bleiben die a stehen (wobei allerdings r den gleichen Wert behält).

Der Verbindungsvektor ist somit unabängig von der Wahl des Anfangspunktes (der Hilfsebene) und hat dann die Gestalt



und dessen Betrag ist .

Gr
mYthos
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

stimmt...ich habe es nun mal in die eingesetzt und komme nun auch auf das Ergebnis!







Und dessen Betrag ist dann . Augenzwinkern

- - - - - - - - - - - - -

Dann mal weiter mit Aufgabe e) (s. Anhang):

Wie geht man denn hier am besten vor?

Ich habe zuerst gedacht, einfach erstmal den Punkt Q in die Gleichung für die Geradenschar einsetzen und dann mal r elimieren und dann erhalte ich ja wieder drei Werte für a usw. aber das führt mich ja nicht wirklich zu einer bzw. der Geraden, die den geringsten Abstand zum Punkt Q hat.


Bei f) habe ich übrigens raus:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du weisst ja schon, dass alle Geraden der Schar in liegen.

Der geringste Abstand eines Punktes dieser Ebene von Q ist dessen Normalabstand und muss infolgedessen senkrecht zur Ebene verlaufen.

Lege daher von Q aus eine Normale auf diese Ebene, sie trifft die Ebene in einem Punkt, welcher der Anfangspunkt der gesuchten Geraden ist; deren Richtungsvektor ist ja auch bekannt, da alle Geraden der Schar zueinander parallel sind.

-------------

Dein Ergebnis für f) ist richtig!

Gr
mYthos
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

d.h. also ich kann z.B. eine Geraden durch Q und eben senkrecht auf E2 aufstellen?

Ich habe das mal gemacht mit

Tja, das dann mit geschnitten gibt mit den Punkt auf .

Und das kann nun aber ja nicht so richtig der Anfangspunkt für meine Gerade sein die am nächsten an Punkt Q liegt oder doch? Denn da bekomme ich ja kein a raus, das für diese Werte/Koordinaten von Q passt. *g*
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch anzugeben, WELCHE Gerade der Schar den geringsten Abstand zu Q hat, das kann ja dann nur mehr eine spezielle sein, die den Scharparameter a nicht mehr enthält. Da alle Geraden der Schar parallel sind, ist deren Richtungsvektor mit dem eben berechneten Aufpunkt zu verbinden.

Du kannst nebenbei (aus der Lösung) noch ausrechnen, für welchen Parameter a sich diese Lösungsgerade aus der Schar ergibt.

Gr
mYthos
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja..schon.

Also ist es dann diese Gerade:


Und das stimmt also?

Und wie soll ich da dann auf ein a kommen, das dann passt?

Da hätte ich dann mit dem Aufpunkt der Geradenschar und diesem dann das hier stehen, um etwas für a zu bekommen:

-2a=6
2a-3=5
12-a=1

Und da erhalte ich doch dann drei verschiedene Parameter a.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


liefert a.
werner
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SkYfiGhTeR
Hallo,

ja..schon.

Also ist es dann diese Gerade:


Und das stimmt also?


Ja, das stimmt exakt so!

Zitat:

Und wie soll ich da dann auf ein a kommen, das dann passt?

Da hätte ich dann mit dem Aufpunkt der Geradenschar und diesem dann das hier stehen, um etwas für a zu bekommen:

-2a=6
2a-3=5
12-a=1

Und da erhalte ich doch dann drei verschiedene Parameter a.


Du kannst mit diesem Punkt eindeutig auf ein UND ein kommen (den Parameter r der Geradengleichung hast du beim Einsetzen vergessen!), und zwar so:

-2a - 2r = 6
2a - 3 - r = 5
12 - a + 2r = 1
------------------------

;

mY+
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ups stimmt...das r hab ich ja auch noch. *g*

Habe es damit gerechnet und komme auf die selben Werte für a und für - alles klar, danke! Augenzwinkern

Bei Aufgabe g) soll ja nun geschaut werden welche Gerade die in der y,z-Ebene schneidet.

Also dann:





Und dabei nun da es ja um die y,z-Eben geht =>


Und wie geht es nun am besten weiter?

Wenn ich die Gleichungen von x, y und z der Geradenschar einsetze, dann erhalte ich irgendwie:

Und dann ja x=0 sein muss einfach die x-Zeile null setzen und dann erhalte ich ?

Dann könnte ich ja anschließend noch die Gerade eben mit der Ebene gleichsetzen und den Schnittpunkt berechnen.

Aber stimmt das vorhergehende denn mit a=9 überhaupt oder ist die Vorgehensweise so nicht ganz richtig?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe was anderes.
bestimme die schnittgerade E1 und x = 0, und anschließend den schnittpunkt der beiden geraden.

das liefert a = 3, r = -3 und t = 1 mit dem schnittpunkt S(0/6/3) und der geraden

werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ja ist vom Prinzip her klar, mein Problem oder Fehler liegt noch vor diesen Schritten.

Ich brauche als erstes mal die Schnittgerade von meiner Ebene 1 und der y,z-Ebene und die setze ich dann mit der Geradenschar gleich und dann schau ich eben nach dem Schnittpunkt.

Nur wie komme ich genau auf die Schnittgerade ?


Ich habe doch meine Ebenen:





So..wenn ich da die Schnittgerade errechne und einsetze erhalte ich beispielsweise für .

So..und das wiederum eingesetzt ergibt irgendwie nicht das, was es werden soll oder doch und ich weiß gerade nicht wie ich es umformen muss. Ich hätte ja dann stehen:



Ist das soweit korrekt? Wenn ja, wie komme ich dann auf deine Schnittgerade ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SkYfiGhTeR
...




Und dabei nun da es ja um die y,z-Eben geht =>
.....



Der Anfang ist schon recht gut! Setze dies nun konsequent so fort (du brauchst dazu die o.a. Schnittgerade gar nicht explizit):



---------------------------
in diese beiden Gleichungen kommen nun für die Werte der Geradenschar:

-2a - 2r = 0
3(2a - 3) - 3r + 2(12 - a) + 2r = 24
--------------------------------------------------
r = -a
-->
6a - 9 - 3a + 24 - 2a + 2a = 24
a = 3; --> r = -3

und schon bist du fertig:

a = 3 in g_a:



//Edit: Korrektur, der Anfangspunkt ist

@werner: .. muss bei dir noch wo ein kl. Fehler sein.
//edit: Nein, der Fehler war bei mir

r = -3
-->

//Edit: Korrektur:

mY+
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ahhhja, alles klar...so geht's ja wirklich ratz fatz und da hätte ich da ja nur noch meine Geradenschar einsetzen müssen bzw. eben die Werte für x,y,z.

Ok..alles klar - danke.

Aber der Schnittpunkt wäre dann doch bei oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

a = 3; --> r = -3

und schon bist du fertig:

a = 3 in g_a:



@werner: .. muss bei dir noch wo ein kl. Fehler sein.

r = -3
-->


mY+

@hallo mythos:
wie gehabt: a = 3, r = -3, t = 1

bei mir ist: 2a - 3 = 6 - 3 = 3 und

S(0/6/3), der hat den vorteil in E1 zu liegen, oder liege ich doch falsch?
werner
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

stimmt auch wieder...mit a=3 bekommen wir dann ja



und nicht .

Und dann kommen wir mit dem r=-3 auch auf S(0/6/3).

So dürfte es dann also stimmen...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@werner

Irgendwo scheint da eine Diskrepanz zu bestehen, die ich in der Eile nicht auflösen kann, denn ich muss jetzt leider weg. Ich sehe mir das aber später noch an.

Gr
mYthos
SkYfiGhTeR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos

Der Anfang ist schon recht gut! Setze dies nun konsequent so fort (du brauchst dazu die o.a. Schnittgerade gar nicht explizit):



---------------------------
in diese beiden Gleichungen kommen nun für die Werte der Geradenschar:

-2a - 2r = 0
3(2a - 3) - 3r + 2(12 - a) + 2r = 24
--------------------------------------------------
r = -a
-->
6a - 9 - 3a + 24 - 2a + 2a = 24
a = 3; --> r = -3

und schon bist du fertig:

a = 3 in g_a:



@werner: .. muss bei dir noch wo ein kl. Fehler sein.

r = -3
-->


mY+



Hier müsste einfach nur statt das hier stehen und schon passt es, ansonsten ist doch beides identisch oder nicht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
@werner

Irgendwo scheint da eine Diskrepanz zu bestehen, die ich in der Eile nicht auflösen kann, denn ich muss jetzt leider weg. Ich sehe mir das aber später noch an.

Gr
mYthos

@mythos,
so wie ich es sehe, hast du einfach 2 mal falsch eingesetzt.
ein mal für a und ein mal für r.
werner

rest ist ja tatsächlich identisch.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SkYfiGhTeR
...

Hier müsste einfach nur statt das hier stehen und schon passt es, ansonsten ist doch beides identisch oder nicht?


Verflixt, Teufel auch!

Ja, ihr habt beide Recht, keine Ahnung, warum ich den Fehler beim Anfangspunkt partout nicht gesehen habe, ich werd's mit Hinweis editieren. Auch der Schnittpunkt ist natürlich .
Sorry!
mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

macht dich nur menschlicher verwirrt
werner
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