mehrfache Nullstellen

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01.03.2006, 15:30	Summerdreamin	Auf diesen Beitrag antworten »
mehrfache Nullstellen Hey!! Ich hab eigentlich nur mal eine kurze Frage und zwar: bei ganzrationalen Funktionen kann es ja mehrfache Nullstellen geben. Bei einer geraden Anzahl von Nullstellen kann kein Vorzeichenwechsel stattfinden. Aber warum? Kann mir das einer mal eben kurz erklären?? ^^ Wüd mich echt über Hilfe freuen =)
01.03.2006, 15:32	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
was für ein Vorzeichenwechsel meisnt du denn? kann mir da keinen reim im moment drauf machen.. aRo
01.03.2006, 15:32	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mehrdache Nullstellen Hilft das?
01.03.2006, 15:51	Summerdreamin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich meine, wenn man jetzt eine ganzrationale Funktion hat und man jetzt beispielsweise lienarfaktoren abspaltet bzw. Polynomdivision macht. kann es ja sein das zum beispiel x=3 eine mehrfache nullstelle ist und wenns davon eine gerade Anzahl gitb. Meinetwegen 4 Kann kein Vorzeichenwechsel stattfinden. Àlso von poitiv nach negativ bzw. andersherum. Aber warum? Hat das was mit (x-3)^4 zu tun? Da man ja den linearfaktor 4 mal abspalten kann wäre das ja (x-3)^4 * g(x) Sorry, ich hoffe ihr versteht was ich meine..gg
01.03.2006, 15:58	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich weiß noch nicht worauf du genau hinaus willst. Suchst du nach einem analytischem Beweis, warum bei einer $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ -fachen Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet? Rein intiutiv ist das nämlich klar ... siehe Plot in meinem letzten Post!
01.03.2006, 16:07	Summerdreamin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Ich glaub wir reden grad aneinander vorbei kann des sein? gg Also ich mein mehrfache Nullstellen!! Also immer dieselbe^^ Also das 3 zum beispiel 4 mal ne Nullstelle ist theoretisch gibt es dann die Nullstellen x=3, x=3, x=3 und x=3 Sorry, das ist irgendwie blöd zu erklären^^
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01.03.2006, 16:17	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Und in meinem Plot oben siehst du eine 2-fache, eine 4-fache und eine 6-fache Nullstelle.
01.03.2006, 18:40	Summerdreamin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhso Daaankeschön =) Jetzt brauch ich nru noch einen Beweis, das da kein vorzeichenwechsel stattfinden kann und bei einer ungraden Anzahl doch^^
01.03.2006, 18:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ eine genau $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -fache Nullstelle der Polynomfunktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ vorliegt, dann kann man wie bereits erwähnt $\begin{eqnarray} f(x) = (x-x_0)^mg(x) \end{eqnarray}$ faktorisieren, mit einem Polynom $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ , für das auf alle Fälle $\begin{eqnarray} g(x_0)\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt (ansonsten wäre Nullstelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ mindestens $\begin{eqnarray} (m+1) \end{eqnarray}$ -fach). Als Polynom ist $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ auf jeden Fall stetig, also gibt es ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \end{eqnarray}$ ebenfalls $\begin{eqnarray} g(x)\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt (nachdenken, warum das so ist!). Und jetzt kann man sich überlegen, was mit dem Vorzeichen von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ in diesem Intervall $\begin{eqnarray} (x_0-\delta,x_0+\delta) \end{eqnarray}$ los ist - natürlich in Abhängigkeit davon, ob $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ gerade oder ungerade ist.

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