Wurzel mit negativer Zahl

01.03.2006, 18:39

Kira 007

Wurzel mit negativer Zahl

Hallo zusammen,

wir haben heute in meinem Mathevorkurs Wurzeln besprochen!!

Dort hatte ich folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} 3 Wurzel aus -8 \end{eqnarray*}$

Mein Mathelehrer sagte uns das man aus negativen Zahlen keine geraden Wureln ziehen kann.

Dies ist bei dieser Aufgabe ja nicht gegeben, deshalb ist die Lösung -2

In meinem Buch steht nun aber wieder das das ergbnis nicht diffiniert sei!!

Was ist nun richtig -2 oder nicht diffiniert ?

Sorry wegen meiner Frage wie schreibe ich noch einmal Wurzeln mit Latex ?

Gruß Kira

01.03.2006, 18:43

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

wurzeln schreibst du: \sqrt {inhalt}

Das Ergebnis ist -2...

aRo

01.03.2006, 18:44

DGU

Auf diesen Beitrag antworten »

es heißt erstmal "definiert"

es ist eben Definitionssache, da gibt es verschiedene Ansichten:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28M...egativen_Zahlen

generell stellt sich die Frage sowieso nur, wenn man sich im Bereich der reellen Zahlen bewegt...

01.03.2006, 18:47

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

das Ergebnis ist so wie ich es kenne tatsächlich nicht definiert
wenn du dich auf die reellen Zahlen beschränkst, dann kannst du aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen, seien es "gerade" noch "ungerade"

es bietet sich zwar irgendwie an, da (-2)^3=-8, deswegen gibt es da auch die andere Definition, nämlich $\begin{eqnarray*} \sqrt[2n+1]{-x}=-\sqrt[2n+1]{x}, \text{ für } x>0 \end{eqnarray*}$ (2n+1 soll dabei für beliebige ungerade Zahl stehen, n aus IN).

schau mal bei wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29

edit: zu spät

01.03.2006, 19:19

Kira 007

Auf diesen Beitrag antworten »

super vielen Dank ihr habt mir sehr weitergeholfen !!

Gruß Kira

01.03.2006, 19:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Festlegung wie $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} =-2 \end{eqnarray*}$ bringt mehr Ärger als Nutzen, gerade auch in Hinblick Hauptwert der Wurzel komplexer Zahlen - der ist nämlich ein anderer: $\begin{eqnarray*} {}_H \sqrt[3]{-8} = 1+\sqrt{3} i \end{eqnarray*}$ .

Deswegen ist die offizielle Festlegung "nicht definiert" schon ganz sinnvoll. Wenn man denn unbedingt die reelle Lösung von $\begin{eqnarray*} x^3=a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ braucht, dann gibt man das eben als $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt[3]{-a} \end{eqnarray*}$ an.

01.03.2006, 22:58

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, daß sich über dieses Thema trefflich streiten läßt. Aber ich bin hier dezidiert anderer Ansicht als Arthur. Ich sehe überhaupt keinen Grund, so etwas wie $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} \end{eqnarray*}$ zu verbieten. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} y^3 = x \end{eqnarray*}$ besitzt für jedes reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine eindeutige reelle Lösung $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Und die wird eben mit $\begin{eqnarray*} y = \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ bezeichnet. Wo ist das Problem? Der Verweis auf das Komplexe scheint mir hier nicht zielführend. Daß die Sache mit den Wurzeln im Komplexen kompliziert ist, spricht ja nicht dagegen, in der reellen Analysis, wo diese Probleme überhaupt nicht auftreten, eine klare und saubere Definition vorzunehmen. Im übrigen überträgt sich die Verträglichkeit der dritten Potenz mit den Punktrechenarten vortrefflich auf die so definierte dritte Wurzel. Es gibt nirgendwo Schwierigkeiten. Probleme treten erst auf, wenn man versucht, die Wurzelrechnung in die Potenzrechnung einzubetten (Potenzen mit rationalen Exponenten). Das ist aber ein Problem der Potenzrechnung, nicht der dritten oder fünften Wurzel. Und dort sind es ja strenggenommen die geraden Exponenten, die die Probleme (nicht injektiv, nicht surjektiv) verursachen, nicht die ungeraden. Die ungeraden Zahlen werden nur in einer Art Sippenhaft für die Unzulänglichkeiten, die bei geraden Exponenten auftreten, mitverantwortlich gemacht.

01.03.2006, 23:19

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Probleme treten erst auf, wenn man versucht, die Wurzelrechnung in die Potenzrechnung einzubetten (Potenzen mit rationalen Exponenten). Das ist aber ein Problem der Potenzrechnung, nicht der dritten oder fünften Wurzel.

Das ist genau das, was ich mit "mehr Ärger" meine. Jetzt noch großartig zwischen Wurzeln und Potenzen unterscheiden, ist für mich einfach nur Krampf. Aber jedem seine Meinung. smile

02.03.2006, 00:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Krampf führt immerhin dazu, daß ich beim Lösen der reellen Gleichung

$\begin{eqnarray*} t^3 = 1 - a^2 \end{eqnarray*}$

guten Gewissens schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} t = \sqrt[3]{1 - a^2} \end{eqnarray*}$

während du schreiben mußt:

$\begin{eqnarray*} t = \begin{cases} \sqrt[3]{1 - a^2} & \mbox{für} \ -1 \leq a \leq 1 \\ - \sqrt[3]{a^2 - 1} & \mbox{für} \ a < -1 \ \mbox{oder} \ a > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Aber wahrscheinlich würden die meisten - dir will ich das jetzt gar nicht unterstellen - sowieso die von mir gewählte Variante verwenden, auch wenn sie vorher groß getönt haben sollten, daß dritte Wurzeln mit negativen Radikanden nicht existierten.

02.03.2006, 18:43

Auf diesen Beitrag antworten »

hier wird das thema wurzelziehn auch besprochen!

Neue Frage »

Antworten »

Wurzel mit negativer Zahl

Verwandte Themen