gleichmäßige und punktweise Konvergenz

01.03.2006, 19:13

trollkotze

gleichmäßige und punktweise Konvergenz

Hallo!
Ich hab gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf. Wenn ich mir so die Definitionen von gleichmäßiger und stetiger Konvergenz durchlese, komme ich immer wieder zu dem Schluss, dass das ja eigentlich beides das gleiche ist. Aber das kann ja wohl irgendwie nicht angehen.

Ich breite hier einfach mal meine Gedankengänge aus und hoffe, dass mir jemand sagt, wo der Fehler ist:

Definition von punktweiser Konvergenz:
Sei $\begin{eqnarray*} U \in K \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f_n: U \to K \end{eqnarray*}$ eine Folge von Funktionen. Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise auf U konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge ist.

Definition von gleichmäßiger Konvergenz:
Sei U, $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ wie oben.
Wir sagen, dass f_n gleichmäßig konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für m, n > N und $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Okay, sei nun $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ punktweise konvergent. Dann ist $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge mit Grenzwert f(x).
Das heißt: $\begin{eqnarray*} \forall x \in U: \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall n>N: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Oder mit dem Cauchy-Kriterium: $\begin{eqnarray*} \forall x \in U: \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall m, n > N: |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt doch:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N}: \forall m, n > N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \forall x \in U: |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ , wenn man als das N für alle x einfach das größte von den N für die einzelnen x nimmt.

Also ich meine, jedes $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ ist konvergent. Deshalb gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(x, \epsilon) \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass das Cauchy-Kriterium für die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.
Dann muss es doch für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \geq N(x, \epsilon) \forall x \in U \end{eqnarray*}$ geben. Und dieses $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ würde ja die Bedingung erfüllen, dass für $\begin{eqnarray*} m, n > N_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Und das hieße ja, jede punktweise konvergente Folge sei gleichmäßig konvergent. Aber das stimmt ja offenbar nicht. Also wo ist mein Fehler?

01.03.2006, 23:30

therisen

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Hallo trollkotze ( verwirrt

),

nein, deine Ausführungen sind wie du schon sagst falsch.

1. Es soll wohl $\begin{eqnarray*} U \subseteq K \end{eqnarray*}$ heißen?

2. Die Wahl von N hängt bei der gleichmäßigen Konvergenz allein von $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ab, also $\begin{eqnarray*} N:=N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , wohingegen bei der punktweisen Konvergenz das N von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, also $\begin{eqnarray*} N:=N(\epsilon, x) \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Habe gerade deinen Beitrag zu Ende gelesen (Der Einsatz von Quantoren erhöht bei dir nicht die Lesbarkeit, um es milde auszudrücken.) Ich bin jetzt aber zu müde und schaue deswegen morgen nochmal vorbei.

EDIT 2: Im Bad habe ich noch kurz nachgedacht. Die falsche Folgerung ist ja

Zitat:

Dann muss es doch für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \geq N(x, \epsilon) \forall x \in U \end{eqnarray*}$ geben.

Du gehst also von einer Menge $\begin{eqnarray*} M := \{ N(\epsilon, x) \; \big| \; |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \text{ für } n > N(\epsilon, x) \} \end{eqnarray*}$ aus und behauptest, dass es ein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ gibt so, dass für $\begin{eqnarray*} n, m > N_0(\epsilon) > \sup{M} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Habe ich dich richtig verstanden?

Gruß, therisen

02.03.2006, 02:05

trollkotze

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Hallo Therisen!
Danke für deine Bemühungen.
Ja, das mit den Quantoren ist so ne Sache. Die mag ich eigentlich gar nicht. Deshalb benutz ich sie so gern.

Zitat:

Ja, irgendwie schon so ähnlich. Aber die Menge, die du angegeben hast, kann ja gar kein Supremum haben, weil sie fast alle natürlichen Zahlen enthält.
Ich würde die Menge so definieren:
$\begin{eqnarray*} M := \{min(K(x, \epsilon)) \; \big| \; x \in U\} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} K(x, \epsilon) := \{N \; \big| \; |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \text{ für } n, m > N \} \end{eqnarray*}$
Warum sollte es dann kein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \end{eqnarray*}$ geben, so dass für $\begin{eqnarray*} n, m > N_0(\epsilon) > \sup{M} \text{ und } x \in U \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Offenbar hab ich da ja was missverstanden. So langsam glaub ich auch zu ahnen, was es ist.
Muss vielleicht die Definition der gleichmäßigen Konvergenz, die ich oben angegeben habe,

Zitat:

Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent ist, wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für $\begin{eqnarray*} m, n > N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

,
noch um eine Bedingung erweitert werden, wie folgendermaßen?
Wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent ist, wenn für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \ \text{ein} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} m, n > N \end{eqnarray*}$ , aber nicht für alle $\begin{eqnarray*} m, n > N-1 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Oder ist das jetzt noch mehr alles Käse? Buschmann

02.03.2006, 18:30

trollkotze

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Hallo!
Ich verstehe immer noch nur Bahnhof, was die gleichmäßige Konvergenz angeht. Ich habe schon etliche Internet-Seiten durchforstet und mir Beispiele angesehen, aber irgendwie nichts ausführliches gefunden, was mir den Unterschied deutlich macht.
Mit meinem bisherigen Geschreibsel hier kann anscheinend keiner was anfangen. Also komm ich doch mal mit etwas neuem. Ich hab hier eine Beispielaufgabe - die war nämlich eigentlich mein Ausgangspunkt - und werde sie hier mal mit meinen falschen Schlüssen falsch lösen. Vielleicht kann mir dann mal jemand sagen, was ich falsch gemacht hab.

$\begin{eqnarray*} f_n(x):=\sum_{k=0}^n~x^k(x-1)=\sum_{k=0}^n~x^{k+1}-x^k=x^{n+1}-x^0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D_{f_n}=[0,1] \end{eqnarray*}$
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.

Die Grenzfunktion lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)=\lim_{n \to \infty} x^{n+1}-x^0= \{ -1 \text{für} 1 \neq x \neq 0; 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Dass die Folge punktweise konvergent ist, erläutere ich jetzt nicht näher.

Um zu zeigen, dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, habe ich mir jetzt einfch mal eine andere Definition rausgesucht, nämlich folgende:
Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in D_f\}=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in D_f\} \end{eqnarray*}$ ermittle, komme ich auf was ganz anderes.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} f_n(x)-f(x)=\{x^{n+1}\text{ falls }1 \neq x \neq 0; 0 \end{eqnarray*}$ sonst.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0,1]\} = sup \{|x^{n+1}| \big| x \in ]0,1[\} = 1 \end{eqnarray*}$ ,
aber
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{ |f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0,1]\} = lim_{n \to \infty} sup\{|x^{n+1}| \big| x \in ]0, 1[\}=0 \end{eqnarray*}$ .
Oder nicht?

Bitte nehmt mir doch mal das Brett vorm Kopf.

02.03.2006, 19:15

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von trollkotze
Dann muss es doch für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N_0(\epsilon) \geq N(x, \epsilon) \forall x \in U \end{eqnarray*}$ geben.

Nein, muss es nicht! Im Prinzip ist das $\begin{eqnarray*} N(x,\varepsilon)=g(x) \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Diese muss aber nicht beschränkt sein. Ist sie nämlich unbeschränkt, dann findest du eben kein solches $\begin{eqnarray*} N_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Und andersrum: Ist sie für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beschränkt, dann findest du ein solches $\begin{eqnarray*} N_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ und dann ist die Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergent.

Zitat:

Original von trollkotze
Die Grenzfunktion lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)=\lim_{n \to \infty} x^{n+1}-x^0= \{ -1 \text{für} 1 \neq x \neq 0; 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

Das kommt darauf an, wie ihr $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ definiert habt! Meistens ist es nützlicher, $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ zu setzen, dann wäre der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f_n(0) \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ . Sonst ist die Grenzfunktion aber richtig.

Zitat:

Original von trollkotze
Um zu zeigen, dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, habe ich mir jetzt einfch mal eine andere Definition rausgesucht, nämlich folgende:
Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in D_f\}=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt aber $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in D_f\} \end{eqnarray*}$ ermittle, komme ich auf was ganz anderes.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} f_n(x)-f(x)=\{x^{n+1}\text{ falls }1 \neq x \neq 0; 0 \end{eqnarray*}$ sonst.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0,1]\} = sup \{|x^{n+1}| \big| x \in ]0,1[\} = 1 \end{eqnarray*}$ ,
aber
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{ |f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0,1]\} = lim_{n \to \infty} sup\{|x^{n+1}| \big| x \in ]0, 1[\}=0 \end{eqnarray*}$ .
Oder nicht?

Dass das Supremum $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist, und zwar für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , ist korrekt. Dann ist doch aber auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ! Du sollst ja

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\Big(\sup\Big\{|f_n(x)-f(x)|\ \Big|\ x\in [0,1]\Big\}\Big) \end{eqnarray*}$

bestimmen. In deiner letzten Zeile hast du aber anscheinend

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\lim_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|\ \Big|\ x\in [0,1]\right\} \end{eqnarray*}$

bestimmt. Siehst du den Unterschied? Das ist nicht dasselbe! Das letzte ist ja einfach nur $\begin{eqnarray*} \sup\{0\} \end{eqnarray*}$ , was natürlich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist es aber für jede beliebige punktweise konvergente Funktionenfolge. Du siehst also, dass diese Definition sinnlos wäre, da wäre die gleichmäßige Konvergenz dasselbe wie die punktweise.

Gruß MSS

02.03.2006, 20:30

trollkotze

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Hallo Mathespezialschüler!
Vielen Dank! Ich glaub, jetzt fang ich endlich an zu begreifen. Ich muss mir das alles noch mal genau durch den Kopf gehen lassen, damit ich's endlich in der Birne hab. Du hast mir sehr geholfen.

03.03.2006, 14:34

trollkotze

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So, jetzt hab ich doch noch mal ein Problem.
Von http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/node78.html:

Zitat:

http://www.math.uni-siegen.de/numerik/notes/ANAOnline/img1887.gif
$\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen f auf D. Für jedes Intervall [0,d], d<1 konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen die Nullfunktion.

Mit dem lim-sup-Kriterium komm ich ja drauf, dass $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ für [0,d], d<1 gleichmäßig konvergiert.
Die Grenzfunktion ist ja $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0, d]\} = sup\{|f_n(x)| \big| x \in [0, d]\} = x^n \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} sup\{|f_n(x)-f(x)| \big| x \in [0, d]\} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf [0, d].

Aber eben das mit dem Epsilon, das hab ich immer noch nicht begriffen.
Sei $\begin{eqnarray*} |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in [0,d], d<1 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} |f_n(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} x^n < \epsilon \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} n > log_x(\epsilon) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist doch n abhängig von x. Und $\begin{eqnarray*} log_x(\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist nicht beschränkt sondern geht für jedes x in ]0,d] und epsilon->0 gegen unendlich.

03.03.2006, 16:41

trollkotze

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Ach so. Es ist ja $\begin{eqnarray*} log_x(\epsilon)<1 \leq n(\epsilon) \text{ für } \epsilon>1 \text{ und } x \in ]0,d], d<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} log_x(\epsilon) \leq log_d(\epsilon) \leq n(\epsilon) \text{ für } \epsilon <1 \text{ und } x \in ]0,d] \end{eqnarray*}$
Und für x=0 gilt ja sowieso $\begin{eqnarray*} x^n < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Also existiert mit für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N(\epsilon) \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \forall n>N \text{ und } x \in [0,d]: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} [0,d], d<1 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hab ich's kapiert.

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