Funktion ermitteln

08.06.2008, 10:56

Rudi

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Funktion ermitteln

Servus ,

folgender Text zum Bild: Die geboenen Teile sollen ohne einen Knick in die geraden Teile einmünden. Ermitteln Sie die Gleichung einer Polynomfunktion.

Also anhand des Graphen kann ich ja folgende Bedingungen aufstellen :

(1) P(-2|1,5)
(2) P(2|-1,5)
(3) P(0|0)
(4) f"(0)=0

Wenn das alle Infos sind und ich keine vergessen habe , dann müsste man nen man ja mit ner Funktion dritter Ordnung beginnen also $\begin{eqnarray*} f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$

stimmt alles soweit ?

gruß

08.06.2008, 11:15

system-agent

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Ein Tipp:
Nutze statt $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ einen Ansatz mit $\begin{eqnarray*} x=f(y) \end{eqnarray*}$ [sozusagen "drehe" das Koordinatensystem], das gibt dir angenehmere Bedingungen.

Edit:
Ich habe die Bedingung "ohne Knick einmünden" übersehen, in dem Fall vergiss mein Vorschlag. Sonst ist alles OK smile

smile

Denke noch daran was für die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an den Stellen $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

08.06.2008, 11:33

Rudi

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ja an diesen Stellen müsste noch gelten $\begin{eqnarray*} f'(-2) = 0 bzw. f'(2) = 0 \end{eqnarray*}$
somit habe ich 6 Bedingungen , also muss ich eine Funktion 5ten Grades heranziehen ja ?

08.06.2008, 11:38

system-agent

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Nein, dritten Grades ist schon OK.

Nutze die Bedingungen $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(2)=1.5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(2)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$ [Wendepunkt].

08.06.2008, 11:39

Rudi

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Bedingungen :

$\begin{eqnarray*} (1) P(-2|1,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) P(2|-1,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3) P(0|0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4) f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5) f'(2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (6) f'(-2)=0 \end{eqnarray*}$

Funktion & Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20ax^3+12bc^2+6cx+2d \end{eqnarray*}$

//edit: Aber wieso nur diese Bedingungen nutzen ? In der Schule wurde uns gesagt alle Bedingungen aufstellen und dann eine Funktion heranziehen die im Grad eins weniger als die Bedingungen hat heranziehen.

08.06.2008, 11:42

system-agent

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Na dann versuchs mal mit einer Funktion 5. Grades smile

smile

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08.06.2008, 11:48

Rudi

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ich meine ich hab das richtige Ergebnis raus , mit deinem Lösungsweg: $\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{3}{16}x^3 \end{eqnarray*}$

Aber ich versuchs mal mit der Funktion 5ten Grades , müsste doch eig. auch gehen hmm.. du könntest mir natürlich auch sagen was los ist smile

smile

08.06.2008, 11:51

system-agent

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Nein, das stimmt nicht.

08.06.2008, 11:51

AD

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Zitat:

Original von Rudi
ich meine ich hab das richtige Ergebnis raus , mit deinem Lösungsweg: $\begin{eqnarray*} f(x)= -\frac{3}{16}x^3 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion erfüllt aber nicht die "Tangential"-Bedigungen (5) und (6), wie dir wohl klar ist.

------------------

Zu dem Polynomansatz 5.Grades:

Man kann sich die Sache aber auch etwas einfacher machen, wenn man die sich aus den Bedingungen ergebende offensichtliche Punktsymmetrie der Funktion (mit Symmetriezentrum Ursprung) gleich im Ansatz berücksichtigt:

In der dann ungeraden Polynomfunktion gibt es nur die Anteile mit ungeraden Potenzen, d.h.

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^5 + cx^3 + ex\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Von deinen sechs Bedingungen kann man 3 geeignete (!) dann weglassen, da sie durch die Symmetrie plus die restlichen Bedingungen abgedeckt sind. So kann man für den reduzierten Ansatz (*) z.B: (1),(3) und (6) weglassen.

08.06.2008, 11:56

Rudi

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ok alles klar ! Dann werde ich es gleich nochmal rechnen ...

Aber wenn ich 1,3 und 6 weglasse , habe ich am Ende 2 Gleichungen mit jeweils 3 Variablen , dass kann ja nicht sein ..

08.06.2008, 12:21

Rudi

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$\begin{eqnarray*} f(x) = ax^5 + cx^3 + ex \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=5ax^4+3cx^2+e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=20ax^3+6cx \end{eqnarray*}$

Bedingungen:

1. $\begin{eqnarray*} P(2|-1,5) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} f''(0)=0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} f'(2)=0 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 32a+8b+2e=-1,5 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 20a0^3+6b0=0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 80a+12b+e=0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich 2 Gleichungen (Nummer 2 Bringt mir ja nichts) mit jeweils 3 Variablen .. wo ist mein Fehler ?

08.06.2008, 12:39

AD

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Du hast keinen Fehler gemacht: (4) ist auch automatisch erfüllt, hatte ich vorhin übersehen.

Nun, wenn du nur zwei Bedingungen an die ungerade Funktion hast, dann heißt das nichts weiter, dass sogar ein kubischer Ansatz genügt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = cx^3+ex \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn natürlich nur irgendein Polynom gesucht ist, und nicht das "niedrigsten Grades", kannst du auch gern ein beliebiges $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wählen und mit diesem als gegeben betrachteten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die anderen beiden Werte $\begin{eqnarray*} c,e \end{eqnarray*}$ aus deinem Gleichungssystem berechnen.

P.S.: Deine dritte Bestimmungsgleichung ist übrigens

$\begin{eqnarray*} 160a+12c+e=0 \end{eqnarray*}$

und bei den anderen beiden auch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ...

08.06.2008, 12:51

Rudi

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also ich hab nun die beiden Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} 12c+e=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8c+2e=-1,5 \end{eqnarray*}$

ok?

dann habe ich für $\begin{eqnarray*} e= -\frac{9}{8} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\frac{3}{32} \end{eqnarray*}$ raus , stimmt aber glaube ich nicht.

08.06.2008, 12:58

AD

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Was glaubst du nicht?

08.06.2008, 13:11

Rudi

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und wie sieht die Funktion f(x) dazu nun aus ? verwirrt

verwirrt

08.06.2008, 13:16

AD

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Zitat:

Original von Rudi
und wie sieht die Funktion f(x) dazu nun aus ? verwirrt

verwirrt

Das hast du doch gerade ausgerechnet! Meinst du nicht, dass ich dir das gesagt hätte, wenn ich was anderes geplottet hätte? Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.06.2008, 13:36

Rudi

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ja ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3}{32} x^3-\frac{9}{8}x \end{eqnarray*}$

Wenn ich sie plotte siehts so aus :

verwirrend verwirrt

verwirrt

08.06.2008, 14:04

system-agent

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Du musst statt "3/32" Kommata mitschreiben, soll heissen "3.0/32.0"

08.06.2008, 14:06

Rudi

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ok !! danke dir =)

08.06.2008, 19:46

AD

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Zitat:

Original von Rudi
verwirrend verwirrt

verwirrt

In der Tat verwirrend. Das ist ein längst bekannter Bug (oder doch Feature?) dieses Plotters:

Frage zum boardeigenen Gnu-Plotter betreffs Ganzzahl-Division

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