Satz von Green

08.06.2008, 19:22

tf824

Satz von Green

Hallo,

ich habe mich schon einige Zeit als Leser im Forum aufgehalten, allerdings habe ich heute ein Problem, da komme ich im Moment nicht weiter und frage deshalb einfach mal:

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

D ist das Dreieck mit den Eckpunkte: (-1;-1), (1;-1), (0;1). Es soll folgendes Integral als Kurvenintegral und mit Green berechnet werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{@D}^{}~(x+y)~dx~+y~dy \end{eqnarray*}$

Die Berechnung als Kurvenintegral war kein Problem.

Bei Green bin ich auch schon fast fertig.

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~P~dx~Q~dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{D}^{}~(\frac{@Q}{@x}~-~\frac{@P}{@y})~dx~dy \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\int_{?}^{?}~(0-1)~dx~dy \end{eqnarray*}$

Die Grenzen des ersten Integrals sind denke ich die x-Werte der Eckpunkte der Geraden, die parallel zur x-Achse läuft, also von -1 bis 1.
Wahrscheinlich ist es ganz einfach, aber ich komme nicht darauf, wie ich die Grenzen des zweiten Integrals (ich habe sie mit Fragezeichen gekennzeichnet) bekomme.

Ich danke Euch.

Viele Grüße

tf824

10.06.2008, 18:30

Abakus

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RE: Satz von Green

Zitat:

Original von tf824
Bei Green bin ich auch schon fast fertig.

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~P~dx~Q~dy \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int_{D}^{}~(\frac{@Q}{@x}~-~\frac{@P}{@y})~dx~dy \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}~\int_{?}^{?}~(0-1)~dx~dy \end{eqnarray*}$

Willkommen im Bord, tf824 Wink

Das Zeichen für die partielle Ableitung kriegst du mit \partial = $\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$ .

Zunächst solltest du P, Q, C, D einmal definieren, damit klar ist, was du machen willst. Für den Green'schen Satz brauchst du im ersten Teil der Formel noch ein "+".

Für dein letztes Gleichheitszeichen brauchst du einen Satz, deine Integrationsgrenzen innen sollten hier von der äußeren Integrationsvariablen y abhängig sein.

Grüße Abakus smile

10.06.2008, 20:25

tf824

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Hallo,

ja, das Plus-Zeichen habe ich vergessen.

Nun P und Q habe ich Definiert:

P(x,y)=x+y
Q(x,y)=y

Abgeleitet ist dass ja dann 1 und 0, daraus folgt ja dann diese Zeile

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{?}^{?}~(0-1)~dx~dy \end{eqnarray*}$

D ist ja das Dreieck aus der Aufgabe.

Ich habe jetzt eine Musterlösung für die Aufgabe gefunden. Da wird als untere y-Grenze 0 und als obere -x+1 genommen. Es kommt dann auch -2 wie bei der Berechnung als Kurvenintegral heraus. Ich frage mich halt, wie man auf 0 und -x+1 kommt. Mir ist klar, dass -x+1 aus einer Geradengleichung kommt, diese lautet aus der Lösung:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{0-1}{1-0}x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{0-1}{1-0} \end{eqnarray*}$ ist die Steigung.

die +1 hinten ist der y-Achsenabschnitt.

Ich weiß nur nicht wie man darauf kommt, diese Werte zu nehmen.

Viele Grüße

tf824

10.06.2008, 23:15

Abakus

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Zitat:

Original von tf824
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{?}^{?}~(0-1)~dx~dy \end{eqnarray*}$

D ist ja das Dreieck aus der Aufgabe.

Ich habe jetzt eine Musterlösung für die Aufgabe gefunden. Da wird als untere y-Grenze 0 und als obere -x+1 genommen. Es kommt dann auch -2 wie bei der Berechnung als Kurvenintegral heraus. Ich frage mich halt, wie man auf 0 und -x+1 kommt.

Das frage ich mich auch, möglicherweise mit einem anderen Ansatz als du hier gewählt hast. Es gibt ja verschiedenste Möglichkeiten, das Integral zu lösen (daher sollten solche Lösungswege immer schön erläutert sein).

Aus meiner Sicht müsste da stehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{\frac 1 2 \cdot (y - 1)}^{\frac 1 2 \cdot (y + 1)}~(0-1)~dx~dy \end{eqnarray*}$

Am Ergebnis ändert sich allerdings nichts.

Grüße Abakus smile

10.06.2008, 23:46

tf824

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Hallo,

also der Ansatz in der Musterlösung ist der gleiche, wie ich ihn habe. In der Musterlösung nehmen sie die x-Werte der Gerade des Dreiecks, die parallel zu x-Achse ist und setzen sie als untere und obere Grenze des ersten Integrals ein. Das habe ich auch gemacht.

Jetzt nimmt die Musterlösung die in meinem letzten Beitrag genannte Geradengleichung und setzt sie als obere y-Grenze ein. Die untere y-Grenze wird null eingesetzt. Wenn man aus der Steigung in der Geradengleichung die Punkte extrahiert bekommt man ja den Punkt : (0;1) und Punkt (1;0). Warum man diese Punkte in der Musterlösung nimmt wird mir nicht klar.

Wie kommst Du denn auf deine Grenzen, wenn ich fragen darf smile

11.06.2008, 00:09

Abakus

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Mal eine Skizze:

Ich integriere entlang der y-Achse von -1 nach 1, und zwar jeweils das Maß der Länge von der linken zur rechten Dreiecksseite (bei y=0.5 etwa von -0.25 bis 0.25, dies deutet die letzte eingezeichnete Gerade an).

Dies entspricht dem Prinzip von Cavalieri.

Grüße Abakus smile

11.06.2008, 00:27

tf824

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Hallo,

danke für die Erläuterungen. Das klingt verständlich. Vielleicht finde ich ja jemand, der mir unsere Musterlösung erklären kann.

Viele Grüße

tf824

11.06.2008, 17:31

Abakus

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Letztendlich ergibt das Integral nur die Fläche des Dreiecks mit negativem Vorzeichen (der Integrand ist schließlich konstant) und das lässt sich auch so ausgucken.

Grüße Abakus smile

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