Abi-Vorbereitung - Funktionsschar - Wendepkt.

02.03.2006, 18:02

Gast2006

Abi-Vorbereitung - Funktionsschar - Wendepkt.

Hey Ihr!
Ich hoffe ihr könnt mir bei meinem nächsten Problem auch helfen! Beim letzten mal hat es wunderbar geklappt! Danke nochma smile

Also ich habe eine Funktionsschar ft(x)= $\begin{eqnarray*} x^{3} - 2tx^{2} +t^{2} x \end{eqnarray*}$
Davon die Wendepunkte sind W( $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}t \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} \frac{2}{27} t^{3} \end{eqnarray*}$ )
Nun ist die Aufgabe: Ermittle die Gleichung der Kurve, auf der die Wendepunkte aller Kurven Kt liegen!
Ich hab jetzt schon so viel hin und her probiert und komm einfach nit auf die Gleichung...
Bitte bitte helft mir
Danke schon mal im Voraus

Katrin

02.03.2006, 18:13

aRo

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Stichwort: Ortskurve der Wendepunkte!

Ist eigentlich ganz einfach. Schreibe dir den Punkt so auf:
x = ..
y = ..

Forme die erste Gleichung nach dem Parameter um und setze in die zweite ein

02.03.2006, 18:41

zeta

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Ist mit dem Begriff "Kurve" nicht eh etwas zweidimensionales gemeint, etwa:
$\begin{eqnarray*} C_f = \{ (\tfrac{2}{3}t,\tfrac{2}{27}t^3)\in\mathbb{R}^2 \mid t\in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Oder latsche ich da in einen großen Kothaufen verwirrt

02.03.2006, 19:07

Gast2006

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Bingo :)
Hey super smile

Da steht die Lösung so gut wie vor einem...
Dankeschön!

Katrin

02.03.2006, 20:14

Gast2006

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Sorry ich bins nochma!
Stecke schon wieder fest unglücklich

Es ist noch dieselbe Funktionsschar wie oben/ vorhin.
Die Kurve Kt, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x= \frac{1}{3} t \end{eqnarray*}$ schließen eine Fläche ein.
( Also die Fläche hab ich schon, die beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{7}{164} t^{4} \end{eqnarray*}$ ! )
Die Kurve C: y=4x³ teilt diese Fläche in 2 Teilflächen. Jetzt soll bewiesen werden, dass das Verhältnis der beiden Teilflächen unabhängig von t ist?!
Bitte helft mir, ich komm nit weiter...
Wie kann ich das beweisen?

Danke

Katrin

02.03.2006, 22:42

marci_

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berechne den inhalt dieser zwei teilflächen und bilde dann den quotienten, das t muss dann irgendwie wegfallen...

02.03.2006, 23:09

mYthos

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Zitat:

Original von zeta
Ist mit dem Begriff "Kurve" nicht eh etwas zweidimensionales gemeint, etwa:
$\begin{eqnarray*} C_f = \{ (\tfrac{2}{3}t,\tfrac{2}{27}t^3)\in\mathbb{R}^2 \mid t\in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Oder latsche ich da in einen großen Kothaufen verwirrt

Kothaufen ist es nicht, aber was da steht, ist eine Parameterform der gesuchten Ortskurve. Nett wäre die Kurvengleichung eventuell in Koordinatenform.

Gr
mYthos

03.03.2006, 22:22

aerus

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Kothaufen ist es nicht, aber was da steht, ist eine Parameterform der gesuchten Ortskurve. Nett wäre die Kurvengleichung eventuell in Koordinatenform.

Gr
mYthos

Der Interesse halber, was ist das für eine Schreibweise? Kann man so die Ortskurve angeben?

LG

03.03.2006, 23:35

mYthos

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Zitat:

Original von aerus

Der Interesse halber, was ist das für eine Schreibweise? Kann man so die Ortskurve angeben?

LG

Die im Zitat gegebene Schreibweise ist die Ortskurve in Parameterform, d.h. als zwei Gleichungen, in denen die Abhängigkeit der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von einem Parameter (einer dritten Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ) verankert ist.

Dies ist durchaus eine Möglichkeit, die Ortskurve auf diese Art anzugeben. Meist ist jedoch die Berechnung des Zusammenhanges zwischen x und y als Funktionsgleichung $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ erwünscht und auch gängiger, weil man so den (zweidimensionalen) Graphen leichter erstellen kann.

Dazu muss man aus den beiden Gleichungen den Parameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ eliminieren und erhält so eine Gleichung zwischen x und y:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2}{3}t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{27}t^3 \end{eqnarray*}$
-------------------------
$\begin{eqnarray*} t = \frac{3x}{2} \end{eqnarray*}$
-->
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{27} \cdot {(\frac{3x}{2})}^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{x^3}{4} \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

04.03.2006, 10:23

aeruss

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@ mYthos,

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung

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