Allgemeine Fragen zur Abschätzung von Reihen |
| 02.03.2006, 21:15 | antykoerpa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Allgemeine Fragen zur Abschätzung von Reihen das ist vielleicht etwas viel verlangt, aber vielleicht kann hier ja jemand helfen. Es geht um Reihen. Insbesondere darum, dass ich heute damit angefangen habe Abschätzungen zu Reihen durchzuführen um sie auf Konvergenz / Divergenz zu prüfen. Vorher habe ich das ausschließlich mit dem Quotientenkriterium, Leibniz, Wurzelkriterium und Co gemacht. In einigen Threads in diesem Forum ist mir beim "Stöbern" allerdings aufgefallen, dass es in vielen Fällen viel einfacher und schneller ist die Reihe abzuschätzen. Und hier stellen sich noch viele Fragen für mich: 1.) Bevor ich abschätze, muss ich doch zumindest eine Vorahnung haben, ob die Reihe konvergent oder divergent ist. Denn davon hängt doch ab, ob ich die Reihe nach oben oder nach unten abschätzen muss, bzw. eine Minorante oder Majorante suchen muss. Ist das richtig? Wenn ja: Da hilft wahrscheinlich nur Erfahrung und ein geschultes Auge, oder? 2.) Bei Reihen, die einen Bruch enthalten, habe ich in diversen Threads schon Stellen ala "Du musst den Nenner nach oben abschätzen", "Du musst den Zähler nach oben abschätzen" und vice versa gelesen. Woher weiß man ob man den Zähler nach oben, den Nenner nach unten, Beide nach oben, beide nach unten usw. abschätzen muss? Mehr Fragen habe ich bis jetzt eigentlich nicht. Ich traue mich zwar gar nicht darum zu fragen, aber es wäre schön, wenn hier jemand Zeit und Lust hätte mir das an ein oder zwei Beispielen zu erklären, warum man welche Abschätzung machen _muss_, bzw vielleicht an einem Bruch erklärt, warum ich entweder Zähler oder Nenner oder beides nach unten / oben abschätzen muss um an eine entsprechende andere Reihe zu kommen. Vielen lieben Dank für Eure Mühe 
Gruß Carsten |
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| 02.03.2006, 23:18 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Allgemeine Fragen zur Abschätzung von Reihen
das vorher zu wissen wäre gut, ja..... und natürlich macht eine Abschätzung mit einer konvergenten Minorante keinen Sinn, das ist schon richtig formuliert. Was auch stimmt ist das geschulte Auge und seine Hilfreichheit... da hilft eben üben, üben, üben.....
kannst du dir selbst mal überlegen: ich gehe i.A. mal von positiven Brüchen aus, da gilt dann: Vergrößerung des Zählers, Verkleinerung des Nenners erzeugen einen größeren Bruch (interessant bei Majorantensuche). Verkleinerung des Zählers.... kannst du dir jetzt selbst denken.... Verkleinerst du z.B. einmal den Zähler und dann wieder den Nenner kannst du dir selbst überlegen, ob das Sinn macht (nur in Ausnahmefällen....).....
Beispiel hattest du doch heute eigentlich schon zwei, oder? aber du kannst dich an diesem einfachen Beispiel versuchen: , ich habs extra mal ein wenig gemein gewählt 
beachte z.B. 2k-2>k für fast alle k..... |
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| 03.03.2006, 15:17 | antykoerpa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Allgemeine Fragen zur Abschätzung von Reihen
Ok, das sieht mir nach einer harmonischen Reihe aus, die ja bekanntlich divergiert. Ich muss also nach unten abschätzen, eine divergente Minorante finden. Hmm ich versuche hier im Kopf nu grad einfach die '(-1)' wegzulassen. Reicht es nicht, wenn ich sage, dass die '(-1)' nicht ins Gewicht fällt, und das im Prinzip eine harmonische Reihe ist? Aber worauf du hinaus willst ist sicher: und der Faktor ändert nix an der Divergenz der harmonischen Reihe. Unsere Ausgangsreihe ist größer als die gefundene Minorante, also auch divergent. Das ist der Beweis.
Eine Frage dazu noch: 2k-2 > k . Ich sehe ein, dass das für fast alle k gilt, aber woher weißt du, dass du GENAU diese Abschätzung nehmen musst? Danke
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| 03.03.2006, 15:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
öhm, vom Anschaulichen auf jeden Fall, als mathematischen Beweis will ich dir zwei Dinge aufzeigen.... ach mist, ich seh gerade, ich habs ja doch standardmäßig gewählt.... arghs.... nicht die Reihe, die ich wollte. erst mal klar: für alle wichtigen k insbesondere wird dann, wenn du den Nenner vergrößerst, der ganze Bruch kleiner..... also kannst du hier gleich die Abschätzung vornehmen und hast direkt deine harmonische Reihe als Minorante! schon fertig! Dann möchte ich (wie ich das oben schon wollte) dein Augenmerk auf die Reihe werfen, du kannst nun nicht direkt die +1 weglassen, denn dann hast du und damit eine divergente Majorante..... bringt nix! Hier jetzt 2 Lösungsvorschläge: 1. Indexverschiebung! das kommt einer Substitution i=k+1 gleich, versuchs mal! 2. Jetzt aber die Abschätzung wie oben; wir wollen unseren Nenner wieder vergrößern, um danach die harmonische Reihe zu haben dazu nutzen wir 2k>k+1 für fast alle k (das das für k=0 und k=1 nicht gilt, ist völlig egal, endlich viele Glieder ändern nichts an der Konvergenz/Divergenz!), dann schätzen wir ab wie oben und du ziehst die 1/2 vor die Summe, die taatsächlich nichts am Konvergenzverhalten ändern kann. Gruß, Jochen |
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| 03.03.2006, 15:52 | antykoerpa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich erkenne das Problem... Das is ja schonmal der erste Schritt.. *G* Allerdings kann ich nichts mit der Indexverschiebung anfangen.. Auf meinem Blatt sehe ich dabei nix gescheites. Aber ich hatte noch eine andere Idee: ... Aber neee, das hilft mir auch nicht, waS? Naja zumindest hatte ich als Informatiker die Idee eine 0 zu addieren.. *G* 
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| 03.03.2006, 15:58 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ganz das wahre isses nicht, was du da machst!? Methode 2) sollte dir aber klar sein, oder? würde ich hier auch als Standardabschätzung machen.... trotzdem zur Methode 1, die macht das ganze irgendwie einfach und kommt deinem "einfach ignorieren" näher....
Es sei u=k+1 fertig
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| 03.03.2006, 16:30 | antykoerpa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, Methode 2 war mir klar. Die andere nun auch
Danke für Deine Hilfe! |
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