Dreiecke im Parallelogr.

09.06.2008, 08:53

Rogue

Dreiecke im Parallelogr.

Guten Morgen zusammen :o)

Ich habe hier ein kleines Problem und bitte um Eure Hilfe oder ein paar Tipps:

gegeben sei ein Parallelogr. ABCD,

Man sucht nun beliebig einen Punkt P innerhalb des Parallelogr. und verbindet jeweils A, B, C und D mit P.

Nun sind vier Dreiecke entstanden.

Was ich aber nicht verstehe und auch nicht beweisen kann ist Folgendes:

WARUM bilden jeweils die beiden gegenüberliegenden Dreiecke zusammen gerechnet die Hälfte des gesamten Flächeninhaltes des Parallelogramms?

???

09.06.2008, 09:28

TheWitch

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Zeichne durch den Punkt P die Höhe h auf [AB] des Parallelogramms ein. Nenne beispielsweise den im unteren Dreieck gelegenen Teil $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ und den im oberen $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ . Bestimme dann

1) den Flächeninhalt des gesamten Parallelogramms,
2) die Summe der Flächeninhalte der beiden Dreicke.

09.06.2008, 09:43

Rogue

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Danke für Deine Hilfe.

Ich habe das Parallelogramm hier vor mir, inkl. Höhen... berechnet habe ich auch alles..., aber ich weiß nicht welchen Satz ich zum Beweis heranziehen kann...

Die jeweils beiden gegenüberliegenden Dreiecke ergeben die Hälfte des gesamten Flächeninhaltes des Parallelogramms, weil........???
...weil die beiden Höhen dieser Dreiecke die Gesamthöhe des Parallelogramms ergeben?

Das scheint mir als Beweis etwas wenig..

09.06.2008, 10:06

TheWitch

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Zitat:

Original von Rogue
Die jeweils beiden gegenüberliegenden Dreiecke ergeben die Hälfte des gesamten Flächeninhaltes des Parallelogramms, weil........???
...weil die beiden Höhen dieser Dreiecke die Gesamthöhe des Parallelogramms ergeben?

Genau. Du müsstest da jetzt etwas in der Art stehen haben (mit [AB] = a):
1) $\begin{eqnarray*} A_{Parallelogramm} = a \cdot h \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} A_{Summe~Dreiecke} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot a \end{eqnarray*}$ ausklammerst und beachtest, dass $\begin{eqnarray*} h_1 + h_2 = h \end{eqnarray*}$ ist und das einsetzt, erhältst du auch formal das Richtige.

09.06.2008, 10:09

Rogue

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Vielen lieben Dank.

das Problem bei mir, bemerke ich gerade, ist, dass ich das mit Worten schön wiedergeben kann, aber mit Formeln o.ä. kann man mich jagen.

Liest sich absolut einleuchtend, ich weiß auch was gemeint ist, aber selber wäre ich niiiiiiiiiiiiiemals darauf gekommen.

Vielen vielen Dank

09.06.2008, 10:10

riwe

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Zitat:

Original von Rogue
Danke für Deine Hilfe.

Ich habe das Parallelogramm hier vor mir, inkl. Höhen... berechnet habe ich auch alles..., aber ich weiß nicht welchen Satz ich zum Beweis heranziehen kann...

Die jeweils beiden gegenüberliegenden Dreiecke ergeben die Hälfte des gesamten Flächeninhaltes des Parallelogramms, weil........???
...weil die beiden Höhen dieser Dreiecke die Gesamthöhe des Parallelogramms ergeben?

Das scheint mir als Beweis etwas wenig..

ist aber genug unglücklich

$\begin{eqnarray*} A_{\Delta_1}+A_{\Delta_2}=\frac{1}{2}(a\cdot h_1+a\cdot h_2)=\frac{1}{2}a(h_1+h_2)=\frac{1}{2}a\cdot h \end{eqnarray*}$

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