lineare Mannigfaltigkeit

03.03.2006, 10:37

Swany

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lineare Mannigfaltigkeit

$\begin{eqnarray*} v^1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , v^2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v^3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , v^4 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich nun raus, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind?

1) $\begin{eqnarray*} \{ x=V^1 + \lambda v^2 \mid \lambda \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ ist eine lineare Mannigfaltigkeit

2) Das Gleichungssstem $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4~v^i x_i =b \end{eqnarray*}$ hat für jedes $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine Lösung $\begin{eqnarray*} (x_1, x_2, x_3, x_4)^T \end{eqnarray*}$

03.03.2006, 11:07

Leopold

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Wenn du unter einer linearen Mannigfaltigkeit das verstehst, was man sonst affinen Unterraum nennt, dann stimmt 1). Denn es liegt offenbar eine Gerade in Parameterdarstellung vor.
Und für 2) würde ich dir empfehlen, zuvor einmal $\begin{eqnarray*} v^1 + v^2 + v^3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Denn dann reduziert sich 2) auf die Frage, ob $\begin{eqnarray*} v^1,v^2,v^3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind oder nicht.

03.03.2006, 11:15

Swany

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Ok, das 2te hab ich verstanden, aber das 1 nicht.
Wie kommst du denn darauf? Ich wüsste nicht, wie ich das berechnen müsste oder so. Bzw. woran erkennst du, das ein Unterraum vorliegt?

03.03.2006, 11:23

Leopold

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Hattet ihr in der Schule keine Analytische Geometrie?

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{u} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

stellt ja eine Gerade dar, also einen eindimensionalen affinen Unterraum, wobei natürlich der Richtungsvektor nicht der Nullvektor sein darf.

Erkennst du das in

$\begin{eqnarray*} \left\{ \, x = v^1 + \lambda v^2 \, \left| \, \lambda \in \mathbb{R} \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

nicht wieder?

03.03.2006, 11:36

Swany

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ich hatte keine analytische Geometrie, aber danke dir!!

03.03.2006, 11:53

Leopold

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Wenn du das aus der Schule nicht kennst, mußt du eben die Eigenschaften eines affinen Unterraumes nachweisen. Wie habt ihr das definiert?

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03.03.2006, 12:13

Swany

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Wir hatten nur den ganz normalen Unterraum, allerdings nicht in der Schule, sondern erst im Studium.

Dort hatten wir die Unterraumkriterien:

Für alle $\begin{eqnarray*} u, v \in U \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} u + v \in U \end{eqnarray*}$

Für alle $\begin{eqnarray*} u \in U, r \in \mathbb K \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} r*u \in U \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$

und damit konnte ich bei meiner Aufgabe nicht sonderlich viel anfangen...

03.03.2006, 12:20

Leopold

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Bei affinen Unterräumen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mußt du die Differenzen der Vektoren betrachten. Wenn diese Differenzen einen linearen Unterraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden, dann ist gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein affiner Unterraum ist.

Betrachte also für $\begin{eqnarray*} x = v^1 + \lambda v^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x' = v^1 + \lambda' v^2 \end{eqnarray*}$ die Differenz. Was ist mit diesen Differenzen?

03.03.2006, 12:20

Ben Sisko

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Hallo Swany,

$\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ heisst für deinen Unterraum: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \lambda_u \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} u=v_1+\lambda_u\cdot v_2 \end{eqnarray*}$ .

Die Definition, die du gibst, ist aber nicht die für den affinen Unterraum.

Vielleicht gibst du mal an, wie ihr eine "lineare Mannigfaltigkeit" definiert habt.

Gruß vom Ben

03.03.2006, 12:28

Leopold

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Ich glaube, Swany meint mit "ganz normalem" Unterraum den linearen Unterraum im Sinne der Vektorraumtheorie. Und lineare Mannigfaltigkeit ist wohl das, was ich als affinen Unterraum bezeichne.

Ich habe den Begriff "lineare Mannigfaltigkeit" vorher noch nie gehört. Aber die ganzen Notationen von Swany deuten mir auf einen physikalischen Hintergrund hin (Einsteinsche Summenkonvention). Hier wird wohl gleich die Sprache der Differentialtopologie im Blick auf die späteren Mannigfaltigkeiten eingeführt.

03.03.2006, 12:30

Swany

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Es sei V ein Vektorraum, W ein Unterraum von V und $\begin{eqnarray*} w^0 \in V \end{eqnarray*}$ ein festes Element. Dann heißt die Menge

$\begin{eqnarray*} L:= w^0 + W := \{ w^0 + w : w \in W \} \end{eqnarray*}$ (müsste ja demnach ein affiner Raum sein, oder?)

eine lineare Mannigfaltigkeit.

Aber wie wende ich das denn auf meine vier Vektoren an? So dass ich sagen kann, dass eine lineare Manigfaltigkeit vorliegt oder nicht?

03.03.2006, 12:44

Swany

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Eine weitere Definition wäre

Jede Gerade $\begin{eqnarray*} L:= \{ x:=w^0 + \lambda * u \mid \lambda \in\mathbb R \}, u \neq o \end{eqnarray*}$ in einem Vektoerraum V ist eine lineare Mannigfestigkeit, denn mit W:= span {u} ist $\begin{eqnarray*} L=w^0 + W \end{eqnarray*}$

dies würde ja der aufgabenstellung entsprechen, aber ich verstehe es im zusammenhang mit meinen vektoren nicht verwirrt

verwirrt

mfg swany

danke für eure hilfe

03.03.2006, 12:45

Leopold

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Dann ist das so, wie ich mir das dachte.

In der Aufgabe mußt du $\begin{eqnarray*} w^0 = v^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w = \lambda v^2 \end{eqnarray*}$ interpretieren. Und jetzt mußt du praktisch nachweisen, daß die Menge

$\begin{eqnarray*} W = \left\{ \, w = \lambda v^2 \, \left| \, \lambda \in \mathbb{R} \, \right. \right\} \end{eqnarray*}$

einen (linearen) Unterraum bildet. Das ist nicht allzu schwer. Beachte, daß $\begin{eqnarray*} v^2 \end{eqnarray*}$ fest ist und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ variiert.

EDIT
Ich sehe gerade deinen neuen Beitrag. Du siehst das richtig: Die Aufgabe entspricht genau dem vorgegebenen Muster. Damit ist alles klar.

03.03.2006, 13:02

Swany

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Ok, mal sehen ob ich es verstanden habe.

ich berechne jetzt einfach $\begin{eqnarray*} v^1 + \lambda v^2 \end{eqnarray*}$

und entscheide dann, ob das Ergebnis einen Unterraum bildet. Wenn ja, dann liegt eine lineare Mannigfestigkeit vor und wenn nicht, dann nicht.

Richtig?

03.03.2006, 13:05

Leopold

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Nicht ganz. Du mußt überprüfen, ob die

$\begin{eqnarray*} \lambda v^2 \end{eqnarray*}$

einen Unterraum bilden. Schau dir die Definition der linearen Mannigfaltigkeit noch einmal genau an.

Aber meiner Meinung nach ist die Aufgabe bereits gelöst, wenn du auf das zurückgreifen darfst, was du selbst oben zum Thema Gerade geschrieben hast.

03.03.2006, 13:08

Swany

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okay, dankeschön!!!

03.03.2006, 13:33

Ben Sisko

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Da Swanys Problem gelöst scheint, nochmal eine Gegenfrage von mir:

Zitat:

Original von Leopold
Aber die ganzen Notationen von Swany deuten mir auf einen physikalischen Hintergrund hin (Einsteinsche Summenkonvention).

Woran erkennst du das? Bzw. was erscheint dir an den Notationen physikalisch?
Kenne mich zwar in der Physik nicht so aus, aber die Notationen erschienen mir (für die reine Mathematik) nicht ungewöhnlich.

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