1. Matheboardolympiade - Seite 2

03.03.2006, 22:23

JochenX

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Linearkombinationen in IQ[X], Max smile

smile

hatte gar nicht gesehen, dass Pi da schon geantwortet hat.
Einen ggT habt ihr so natürlich schnell, aber die Lin-Komb. will wohl doch den Algorithmus haben.....

der ggT stimmt natürlich......

achja:
das Spiele von Pimaniac mit Punkten untergehen, sieht man hieran:
Deutschquiz für Deutsche in dem Deutsche versuchen ihre rückständige Sprache zu präsentieren
und das Spiel damals war "lustiger" als das hier

ich plädiere also weiterhin für das abschaffen Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.03.2006, 22:24

Sciencefreak

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Ich möchte dich mal ganz ehrlich fragen, ob das wirklich die Aufgabe von damals ist. Ich zweifle irgendwie daran, da 2006 die diesjährige Jahreszahl ist. So etwas bauen die Aufgaebnsteller eigentlich im entsprechendem Jahr ein und wenn dass mit 2006 geht, dann hätte es auch mit 19?? geklappt

03.03.2006, 22:27

AD

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Ja klar, es war 1987. Big Laugh

Big Laugh

Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass es mit jeder Anzahl größer als 10³=1000 klappt.

03.03.2006, 22:30

pimaniac

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VOn mir aus könn ma auch Punkte abschaffen.... :-)

03.03.2006, 22:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
Linearkombinationen in IQ[X], Max smile

smile

Ja und? Was soll das sonst sein! Ich kann mir $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$ nur als VR über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ vorstellen, nicht als VR über einem anderen Körper.

Gruß MSS

03.03.2006, 22:49

JochenX

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naja, zum Beispiel ist in Z der ggT von 7 und 4 1
Euklid sagt dann, dieser ggT lässt sich darstellen als Linkomb. von 7 und 4 (mit Koeffizienten in Z), hier 2*4-1*7=1

sprich: die Koeffizienten, die du oben brauchst sind auch aus deinem Ring, nämlich aus Q[X], nicht nur aus Q

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03.03.2006, 22:52

Mathespezialschüler

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Gut zu wissen, dass ich das wissen MUSS ...

Gruß MSS

03.03.2006, 23:05

MrPSI

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Wer stellt eigentlich die nächste Aufgabe rein?

Ich versuche mich mal an den Aufgaben, wenn sie nicht allzu zahlentheoretisch sind. Big Laugh

Big Laugh

03.03.2006, 23:07

JochenX

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sind noch 2 Teilaufgaben zu lösen, MrPsi.
Eine Rechenaufgabe und Arthurs zweiter Teil...

@Max: ??

Zitat:

Gut zu wissen, dass ich das wissen MUSS ...

versteh ich nicht verwirrt

verwirrt

03.03.2006, 23:51

pimaniac

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(-3x+5)/4*f(x)+(3x^2+x+1)/4*g(x)=(x^2+x+1)

04.03.2006, 00:04

JochenX

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bist du dir aller Vorzeichen sicher so? muss ich mal eben nachrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: ich glaub die Vorzeichenrunde geht an mich ^^
da es vermutlich nur Abschreibfehler ist: mein Aufgäbchen ist damit gelöst, steht nur noch Arthurs Brocken im Raum gerade

04.03.2006, 00:20

AD

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Als Ersatz für die frustrierende b) von mir oben kann ich auch eine reine Rechenaufgabe bieten, mit leicht physikalischem Touch:

Zitat:

Eine schnurgerade Einbahnstraße wird von einer nicht abbrechenden Folge von Autos durchfahren. Die Autos haben jeweils die Breite $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und Länge $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und fahren mit der konstanten Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Sie fahren im jeweiligen Abstand $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zueinander am rechten Straßenrand. Ein Fußgänger überquert die Straße senkrecht mit der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , ohne auf den Verkehr zu achten.

(a) Was ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dafür, dass der Fußgänger die Straße unverletzt überquert? [1 Punkt]

(b) Kann der Fußgänger diese Wahrscheinlichkeit verbessern, indem er in anderer als senkrechter Richtung die Straße überquert? [2 Punkte]

Erinnert mich übrigens an einen makabren Witz zur Lösung des Rentnerproblems... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ihr könnt die Aufgabe ruhig ignorieren, aber mir sah es nach Aufgabennachschub-Mangel aus. Bei der (b) sollte man nicht vorschnell antworten, sondern sich genau überlegen, was alles so passieren kann...

04.03.2006, 00:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
@Max: ??

Zitat:

Gut zu wissen, dass ich das wissen MUSS ...

versteh ich nicht verwirrt

verwirrt

Vergiss es, nicht so wichtig ...
Nach Aneignung des erweiterten euklidischen Algorithmus' und mehrmaligem Verrechnen habe ich

$\begin{eqnarray*} \frac{5-3x}{4}f(x)+\frac{3x^2+x-1}{4}g(x)=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$

(also bis auf ein Vorzeichen dasselbe wie pimaniac).

Gruß MSS

04.03.2006, 00:35

JochenX

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diesen Vorzeichen stimme ich dann auch zu smile

smile

@MrPsi: nächstes Mal fragst du hier, es braucht sich keiner für nix zu schämen.....

Zitat:

Ihr könnt die Aufgabe ruhig ignorieren

wieso sollten wir? weil uns der Fußgänger leid tut?

04.03.2006, 00:35

sqrt(2)

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Zu Arthurs zweiter Aufgabe: Ich habe zwar jetzt bestimmt den Haken übersehen, aber ich würde sagen

(a) $\begin{eqnarray*} p=\frac{c-\frac{va}{w}}{c+b} \end{eqnarray*}$ und
(b) ja, wenn $\begin{eqnarray*} w\geq v \end{eqnarray*}$ .

04.03.2006, 00:47

AD

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Die Antwort sollte schon für alle sinnvollen Parameterkombinationen passen. Und da ist dein a) schon nah dran, aber nicht immer richtig. Und b) ist bisher allenfalls eine kleine Teilantwort - es gibt wesentlich mehr Fälle, wo eine Verbesserung erreichbar ist. Bisher also noch keinen Punkt!

04.03.2006, 01:20

MrPSI

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wenn Arthur die Aufgabe in sinnvollen Parametern gelöst haben will, schätze ich mal, dass sqrt(2)'s Antwort nicht passt, wenn der Fussgänger gerade dann losläuft, wenn er direkt neben sich ein Auto vorbeifahren sieht. Dann ist nämlich p=0.

und bei b) schätze ich, dass $\begin{eqnarray*} \omega > v \end{eqnarray*}$ und sich der Fussgänger in Fahrtrichtung bewegen muss.

04.03.2006, 02:47

JochenX

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interessant übrigens, dass von einem Auto mit Ausmaßen, aber einem scheinbar punktförmigen (strichförmigen?) Fußgänger ausgegangen werden darf....

Fall 1: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{w}\geq\frac{c}{v} \end{eqnarray*}$ , da hat der Fußgänge eh schon mal Pech gehabt. Im Falle gleich hat er einen einzigen Punkt an dem er loslaufen darf, da bleibt P natürlich 0.
also: Fall 1: doof wars!

Fall 2: $\begin{eqnarray*} \frac{b}{w}<\frac{c}{v} \end{eqnarray*}$
Machen wir einen Stillstand zum Zeitpunkt des Loslaufenwollens des Fußgängers; vor ihm befindet sich eine Autoperiode (Auto und Abstand davor), da geht er irgendwo auf die Straße, unabhängig verteilt
also $\begin{eqnarray*} a+c \end{eqnarray*}$ insgesamt
er überlebt, bzw. wird nicht überfahren, wenn er sich in dem vorderen Bereich befindet, der vom Auto nicht erreicht wird.

wie groß ist dieser Bereich?
komplett a wird vom Auto erreicht (dann läuft der Fußgänger halt von der Seite gegen, ist sicher auch nicht ganz so unangenehm).
desweiteren kommt er von der Reststrecke c noch $\begin{eqnarray*} \frac{b}{w}*v \end{eqnarray*}$ voran in der Zeit, die der Fußgänger braucht.

Also haben wir $\begin{eqnarray*} (a+c)-(a+\frac{bv}{w})=c-\frac{bv}{w} \end{eqnarray*}$ als "Überlebensbreite"...

ergibt insgesamt $\begin{eqnarray*} p(\text{schaffen})=\frac{\text{Überlebensbreite}}{\text{Gesamtbreite}} \end{eqnarray*}$
und das gibt wie ich sehe gerade sqrts Formel.....

naja, Länge und Breite sollte man halt unterscheiden können, wer mag vertausche hier noch a und b.....

Also liebe Kinder: immer schön auf den Straßenverkehr achten!
Und immer schön links und rechts schauen..... smile

smile

04.03.2006, 08:06

AD

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Ja, zum falschen Zeitpunkt losgelaufen, rennt der Fußgänger tatsächlich ins Auto - wir müssen ihn uns also blind und taubstumm vorstellen.

Und Jochen hat's erkannt: Der vergessene Fall 1 war's, der mich bei sqrt(2) gestört hat, wie z.B. im Parameterfall

$\begin{eqnarray*} a=1.8~\mathrm{m},\quad b=4.2~\mathrm{m},\quad c=15~\mathrm{m},\quad v=10~\mathrm{ms}^{-1},\quad,\quad w=1~\mathrm{ms}^{-1} \end{eqnarray*}$

Man kann das natürlich auch so schreiben $\begin{eqnarray*} p = \max\left\{ \frac{c-\displaystyle\frac{va}{w}}{c+b}, 0 \right\} =: \left( \frac{c-\displaystyle\frac{va}{w}}{c+b} \right)_+ \end{eqnarray*}$ .

Ein Abstauberpunkt für Jochen - oder wollten wir das jetzt ganz sein lassen mit den Punkten? verwirrt

verwirrt

04.03.2006, 09:20

PSM

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@ Arthur Dent:
War eine schöne Aufgabe.
Hätte es auch gezählt, wenn man eine Versuchsreihe gestartet hätte? Big Laugh

Big Laugh

Ich führe seit einiger Zeit eine Sammlung zu mathematischen (Knobel)Aufgaben. Falls mal Aufgabenmangel herrschen sollte, könnte ich dann eine stellen?

EDIT: zu b) m.E. kann er p erhöhen, wenn seine Richtung etwas in Fahrtrichtung geneigt ist (die Ermittlung des maximalen Winkels ist wohl der Knackpunkt der Aufgabe). Zweiter Faktor ist, wenn er w erhöht.
Dann ist die Relativgeschwindigkeit (v-w) zu den Autos geringer.

04.03.2006, 10:13

pimaniac

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Hi PSM....

Ich würd sagen hier herinnen sind Matheolympiadenaufgaben gefragt, so richtige Knobelaufgaben ham hier weniger was zu suchen, die stell eher bei Rätsel ein... Ansosnten sind Beispiele aber immer gern gesehen...

@Arthur.... ich glaub wenn wir die Punkte nicht lassen spielt der LOED nicht mehr mit...

04.03.2006, 10:42

PSM

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Nein, nein, es sind darunter auch Aufgaben aus Mathewettbewerben, und aus Mathebüchern. Also keine Rätsel oder so. Wenn du willst, kann ich dir ein Beispiel per PN schicken...

04.03.2006, 10:46

AD

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Zitat:

Original von PSM
zu b) m.E. kann er p erhöhen, wenn seine Richtung etwas in Fahrtrichtung geneigt ist (die Ermittlung des maximalen Winkels ist wohl der Knackpunkt der Aufgabe).

Sollte man meinen, und ist auch sehr oft so - aber nicht immer. Es gilt in (b), ein Kriterium für $\begin{eqnarray*} a,b,c,v,w \end{eqnarray*}$ anzugeben, wann dort eine Verbesserung der Wahrscheinlichkeit gegenüber (a) möglich ist, und wann nicht. Also eine "Genau-dann-wenn-Kriterium".

Die Erhöhung von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist nicht gestattet (der Fußgänger ist schon an seinem Limit Augenzwinkern

Augenzwinkern

), variabel in b) ist nur der Neigungswinkel seines Weges.

Hinweis für b): Von $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ ist keine Verbesserung!

04.03.2006, 11:28

pimaniac

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Hast du eigentlich irgendeine Idee zu deinem 2006 Zahlen Beispiel... Ich find ein paar ganz nette abschätzungen aber irgendwie bleib ich immer irgendwo hängen....

04.03.2006, 11:32

therisen

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Hallo Arthur,

würdest du mir die Quelle der Aufgabe verraten?

Spaltet man die Geschwindigkeit des Fußgängers in einen $\begin{eqnarray*} w_x\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_y>0 \end{eqnarray*}$ Anteil auf, so gilt: $\begin{eqnarray*} w=\sqrt{w_x^2+w_y^2} \end{eqnarray*}$

Ein optimaler Fall ist wenn $\begin{eqnarray*} w_x\geq v \end{eqnarray*}$ gilt.

Für den Auslenkungswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt dann: $\begin{eqnarray*} 0^\circ < \alpha < 90^\circ \end{eqnarray*}$

In diesem Fall kann er also irgendwo zwischen dem Abstand zweier Autos anfangen loszulaufen und er kommt trotzdem heil über die Straße.

EDIT: Ok, habe gerade gelesen, dass w nicht erhöht werden darf, damit hat sich der Beitrag hier erübrigt.

Gruß, therisen

04.03.2006, 12:25

AD

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Zitat:

Original von therisen
Der optimale Fall ist dann, wenn $\begin{eqnarray*} w_x\geq v \end{eqnarray*}$ gilt.

... was im Parameter-Fall $\begin{eqnarray*} w\leq v \end{eqnarray*}$ aber nicht realisierbar ist!

04.03.2006, 12:26

therisen

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Ja, habe ich auch gerade gelesen, siehe mein letztes Edit.

04.03.2006, 14:59

phi

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moin,

zur Fußgänger-Aufgabe b)
Er kann sein Chancen nur erhöhen indem er einen Zebrastreifen aufsucht.

Nehmen wir die Richtung über die Straße als y-Koordinate, dann ist w=w sin90° ( bzw. (pi/2)).

Wenn er einen anderen Winkel einschlägt teilt sich wie Therisen schon gezeigt hat, sein w in zwei Komponenten auf, d.h. aber das die y-Komponente auf jeden Fall kleiner werden muss. Im Zähler des p(Überlebens)bruchs wird also bei kleiner werdendem w_y immer mehr von c abgezogen, also kann p nur kleiner werden.

analytisch: Als Ableitung für p in Abhängigkeit des Winkels x erhält man:

$\begin{eqnarray*} p'(x)=\frac{a ~ v ~ cotan(x)}{(b+c)w sin(x)}=0 \end{eqnarray*}$

Diese hat als Nullstellen +90° und -90° . (Wenn er also einfach von der Straßé weglaufen würde... Big Laugh

Big Laugh

)

mfg, phi

Edit: Edit wegeditiert.

04.03.2006, 15:41

JochenX

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Zitat:

Original von pimaniac
@Arthur.... ich glaub wenn wir die Punkte nicht lassen spielt der LOED nicht mehr mit...

doch, er siehts nur nicht mehr als Spiel an und fühlt sich dann überfordert Big Laugh

Big Laugh

04.03.2006, 15:45

phi

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Edit: Lösung unvollständig

In Analogie zu Abasku´s & Sciencefreaks Lösung von 2006... a) :

Mit $\begin{eqnarray*} \lambda := \sqrt{\frac{10}{811}} \end{eqnarray*}$ gilt wenn 811 Elemente gleich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ sind und die restlichen 0, zum einen $\begin{eqnarray*} 10 \lambda=1.111....>1 ~ \end{eqnarray*}$ und

1. $\begin{eqnarray*} x_i \ge 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2006} x_i^2 = 811 * \lambda^2 = 10 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2006} x_i^3 = 811 * \lambda^3 = 10 \lambda=0,111042... > 1 \end{eqnarray*}$

Wie schon gesagt wurde kann man dieses Spiel mit bis zu 1000 Elementen die ungleich 0 sind treiben, wenn aber mehr als 1000 nicht 0 sind funzt es nicht mehr.

P.S. Bin auch gegen Punkte, wenn jemand in 3 Wochen dazustossen will, hat er/sie ja keine Chance mehr aufzuholen. Gewinnen/verlieren ist eh eine langweilige weil 2-Wertige Logik.

mfg, phi

04.03.2006, 16:17

Sciencefreak

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Ich scheitere am verstehen der Lösung.
Du hast einfach geschaut, dass wenn maximal 811 Zahlen ungleich 0 sind es stets möglich ist, aber das kann ich auch noch bis 1000 Zahlen zeigen, aber was ist bei mehr als 1000 Zahlen ungleich 0?

04.03.2006, 16:29

phi

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Berechtigter Einwand. Ein positives Beispiel hat nicht die gleiche Beweiskraft wie ein Gegenbeispiel, weil es nur ein Spezialfall darstellt.

Ich ziehe die Lösung zurück.

mfg

04.03.2006, 16:51

AD

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Zitat:

Original von phi
Im Fall 1 kann F wie Arthur schon hingewiesen hat p eh nicht erhöhen. Born to lose

Stimmt so auch wieder nicht: Es gibt Parametersituationen, wo man in a) p=0 hat, bei gewissen Winkeln in b) aber p>0. Man muss wirklich die Situationen herausfiltern, wo in b) bei allen möglichen Winkeln p=0 ist, der Fußgänger also auch unter diesen erweiterten Bedingungen keine Chance hat.

Wie ich gleich unter die Aufgabe geschrieben hatte: Nicht vorschnell antworten. smile

smile

04.03.2006, 17:39

pimaniac

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Ok ich geb hier mal meine Ideen zu Arthur's b) Beispiel preis... viel Spaß beim kommentieren/ausbauen/zerreissen, soll echt nur eine Ideen Sammlung darstellen.

Ich nehm irgendwelche $\begin{eqnarray*} x_1 \dots x_{2006} \end{eqnarray*}$ und ordne sie der Größe nach. Dann muss ich nur noch zeigen dass in Einbeziehung der Angabe immer $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{10}{x_i}>1 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

FOlgende Definitionen

$\begin{eqnarray*} b=\sum_{n=1}^{10}{x_i^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\sum_{n=1}^{10}{x_i^3} \end{eqnarray*}$

Weiters kann ich annehmen

$\begin{eqnarray*} x_i<0.1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 10 \end{eqnarray*}$

dann hab ich

$\begin{eqnarray*} 10-b=\sum_{n=11}^{2006}{x_i}^2 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}*\sum_{n=11}^{2006} {x_i}^2>\sum_{n=11}^{2006} {x_i}^3\geq 1-c \end{eqnarray*}$

weil ja $\begin{eqnarray*} x_i<0.1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 10 \end{eqnarray*}$ gilt.

damit hab ich

$\begin{eqnarray*} 1-b/10\geq 1-c \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} c-b/10\geq 0 \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10} {x_i^2*(10x_i-1}\geq 0 \end{eqnarray*}$

das heißt abgesehen von den $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ genau das was ich will

jetzt bleib ich aber leider stecken...

04.03.2006, 17:43

AD

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Meine Überlegungen standen bereits hier (schaut mal aufs Datum Big Laugh

Big Laugh

), aber ich bin halt auch früh steckengeblieben.

04.03.2006, 17:58

pimaniac

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sag mal verfolgt dich dieses Beispiel irgendwie?

Ansonsten würd ich sagen ist wieder mal Zeit für ein Beispiel... also wenn jemand ein gutes hat einfach posten...

04.03.2006, 18:27

phi

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2.Versuch zur Fußgänger-Aufgabe b)

Zitat:

Es gibt Parametersituationen, wo man in a) p=0 hat, bei gewissen Winkeln in b) aber p>0. Man muss wirklich die Situationen herausfiltern, wo in b) bei allen möglichen Winkeln p=0 ist, der Fußgänger also auch unter diesen erweiterten Bedingungen keine Chance hat.

Die Parameter bei denen man bei b) p>0 bekommt sind praktisch die bei denen man von der Straße weg oder entlangläuft, denn für 180°<x<360 wird der Sinus negativ und somit aus Fall 1 wird Fall 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{w \sin(x)} \geq \frac{c}{w} \end{eqnarray*}$ .

p wird 0 für alle Winkel x die bei

$\begin{eqnarray*} p(ueberleben)= \frac{c-\frac{a~v}{w~ \sin(x)}}{b+c} \end{eqnarray*}$

der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} x\leq \arcsin \begin{pmatrix} \frac{a~v}{c~w} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

genügen, da dann mehr als c von c abgezogen wird.

Und dass F seine Chancen nicht erhöhen kann durch Änderung des Winkels hab ich richtig gezeigt ?

mfg, phi

04.03.2006, 18:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Ich scheitere am verstehen der Lösung.
Du hast einfach geschaut, dass wenn maximal 811 Zahlen ungleich 0 sind es stets möglich ist, aber das kann ich auch noch bis 1000 Zahlen zeigen, aber was ist bei mehr als 1000 Zahlen ungleich 0?

Auf welchen Beitrag bezieht sich das bitte? Falls phi diesen Teil editiert hat, als Tipp für phi:
Bitte niemals komplette Lösungen o.Ä. wegeditieren. Jemand antwortet drauf und dann weiß ein Dritter nicht, worauf derjenige sich bezog. Deswegen einfach irgendwas anderes drunter editieren, z.B.: "Hab mich vertan, da und da ist ein Fehler."

Gruß MSS

04.03.2006, 18:43

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Auf welchen Beitrag bezieht sich das bitte? Falls phi diesen Teil editiert hat, als Tipp für phi:
Bitte niemals komplette Lösungen o.Ä. wegeditieren. Jemand antwortet drauf und dann weiß ein Dritter nicht, worauf derjenige sich bezog. Deswegen einfach irgendwas anderes drunter editieren, z.B.: "Hab mich vertan, da und da ist ein Fehler."

Gruß MSS

Das beziehst sich auf den Beitrag von phi. Er hat lediglich ein Beispiel dafür gegeben, dass es möglich ist, aber keinen Beweis, dass es allgemein (also stets) möglich ist.

Gruß, therisen

04.03.2006, 18:43

stef123

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Zitat:

Original von pimaniac
$\begin{eqnarray*} x_i<0.1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 10 \end{eqnarray*}$

Muss doch heißen für $\begin{eqnarray*} i\geq 10 \end{eqnarray*}$ , oder?

Zitat:

Original von pimaniac
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{10}*\sum_{n=11}^{2006} {x_i}^2>\sum_{n=11}^{2006} {x_i}^3\geq 1-c \end{eqnarray*}$

Woher hast du denn die 1/10 genommen?
Das kann ich ja, wegen x<1 nachvollziehen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=11}^{2006} {x_i}^2>\sum_{n=11}^{2006} {x_i}^3 \end{eqnarray*}$

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