1. Matheboardolympiade - Seite 4

06.03.2006, 20:43

Ich geb mal einen Tipp für den Produktteil: Man betrachte die n komplexen n-ten Einheitswurzeln, d.h. die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n-1=0 \end{eqnarray*}$ .

06.03.2006, 20:46

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Leopold
1 mm, 1 cm, 1 inch, 1 Lichtjahr oder 1 LOED (man beachte die Klimax!)

und so einer passt ins kleine matheboard...Wahnsinn! Big Laugh

07.03.2006, 00:29

Mathespezialschüler

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Lösung zu Arthurs Aufgabe (die aber (natürlich) nicht von mir ist, sondern von "einem" Mitschüler):

Sei $\begin{eqnarray*} S:=\sum_{k=1}^{2006}~x_k^2=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1\geq x_2\geq \ldots\geq x_{2006} \end{eqnarray*}$ . O.B.d.A. sei außerdem

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^j~x_k^2\leq 1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} j\in\{1,\ldots,10\} \end{eqnarray*}$ (sonst wäre

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{10}~x_k\geq \sqrt{\sum_{k=1}^{10}~x_k^2} \geq \sqrt{\sum_{k=1}^j~x_k^2}>1 \end{eqnarray*}$ ).

Nun folgt

$\begin{eqnarray*} jS-\sum_{k=1}^j~10x_k^2=10\left(j-\sum_{k=1}^j~x_k^2\right)\geq 10(j-1)\geq 0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq 10 \end{eqnarray*}$ und somit:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^9~\left[(x_j-x_{j+1})\cdot \left(jS-\sum_{k=1}^j~10x_k^2\right)\right]\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{10}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right]+\sum_{j=11}^{2006}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_{10}\right)\right]\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} x_{10}\geq x_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\geq 11 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{2006}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right]=\sum_{j=1}^{10}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right]+\sum_{j=11}^{2006}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq \sum_{j=1}^{10}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right]+\sum_{j=11}^{2006}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_{10}\right)\right]\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus erhält man

$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{j=1}^{2006}~x_j^2\right)\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10\sum_{j=1}^{2006}~x_j^3\geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

also:

$\begin{eqnarray*} 10\sum_{k=1}^{10}~x_k=\left(\sum_{j=1}^{2006}~x_j^2\right)\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)\geq 10\sum_{j=1}^{2006}~x_j^3>10 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \ \Box \end{eqnarray*}$

Dass Arthurs Verallgemeinerung damit gilt, dürfte auch klar sein. Wenn ich mich nicht irre, ist die Forderung $\begin{eqnarray*} n>k^3 \end{eqnarray*}$ sogar überflüssig!!?

Gruß MSS

07.03.2006, 01:59

pimaniac

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VOn diesem dermaßen legendären Typen dass ich seinen Namen schon wieder vergessen hab?

07.03.2006, 07:16

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^9~\left[(x_j-x_{j+1})\cdot \left(jS-\sum_{k=1}^j~10x_k^2\right)\right]\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{10}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_j\right)\right]+\sum_{j=11}^{2006}~\left[x_j^2\left(\left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_{10}\right)\right]\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Den Schritt muss ich noch auseinanderklamüsern, aber der Peter Scholze wird sich da wohl kaum geirrt haben. Wirklich gutes Auge von ihm - oder er hat ein Lösungsbuch von diesen Jahren. smile

Wie auch immer: Vielen Dank an ihn und dich, MSS.

07.03.2006, 09:07

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Wirklich gutes Auge von ihm - oder er hat ein Lösungsbuch von diesen Jahren. smile

Sicher nicht. Augenzwinkern

Er hat vorher auch eine sehr viel kompliziertere Lösung gehabt, die ihm sogar zu lang war, um sie mir zu zeigen und dann hatte er noch eine ähnliche Lösung wie jetzt, in der noch ein Fehler drin war. Er macht also schon Fehler. Augenzwinkern

Wenn aber solch eine Lösung kommt und er 10 Minuten später noch nicht zurückrudert (wegen eines Fehlers), dann kann man sicher davon ausgehen, dass es richtig ist.
Zum Ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^9~((x_j-x_{j+1})\cdot jS)=S\cdot \sum_{j=1}^9~(jx_j-jx_{j+1})=S\cdot (x_1+x_2+\ldots+x_9-9x_{10}) \end{eqnarray*}$

Das macht schonmal den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^{10}~x_k\right)-10x_{10} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_j^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\geq 10 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} j\leq 9 \end{eqnarray*}$ kommt dann jeweils noch

$\begin{eqnarray*} -10\cdot \sum_{k=j}^9~(x_k-x_{k+1})=-10(x_j-x_{10}) \end{eqnarray*}$

dazu.

Gruß MSS

07.03.2006, 10:03

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Arthur Dent
Wirklich gutes Auge von ihm - oder er hat ein Lösungsbuch von diesen Jahren. smile

Sicher nicht. Augenzwinkern

War auch nicht so gemeint.

Dann war's wohl wahrlich eine IMO-taugliche Aufgabe damals. Ich kann mich auch nicht mehr erinnern, ob die damals überhaupt jemand rausgekriegt hatte - die meisten (so auch ich) hatten sich auf die Alternativ-Wahlaufgabe gestürzt, die war wesentlich leichter.

P.S.: Ach ja, dazu noch:

Zitat:

Original von pimaniac
sag mal verfolgt dich dieses Beispiel irgendwie?

Ja, war wohl offenbar so. Hurra, jetzt kann ich wieder ruhig schlafen. Big Laugh

07.03.2006, 16:24

Leopold

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... und hier noch eine Aufgabe zur Entspannung zwischendurch ...

Es hat sich damals niemand mehr konkret dazu geäußert. Vielleicht war die Aufgabe vielen zu banal. Sie ist auch nicht schwer - ich habe sie schon gelegentlich in Vertretungsstunden in sechsten oder siebten Klassen (!) eingesetzt. Also mehr eine Lockerungsübung ...
Mir gefällt sie jedenfalls, weil sie ein simples, aber witziges zahlentheoretisches Phänomen hübsch in eine kleine Geschichte verpackt.

Und ein weiteres: Wer kennt oder findet einen kurzen und eingängigen Beweis zum Phänomen der Kaprekar-Zahl? Ich selbst kenne nur Beweise, die alle Möglichkeiten kategorisieren und systematisch durchgehen. Es wäre schön, wenn man da einmal ein schlagkräftiges Argument zur Hand hätte.
Für die, die das nicht kennen, hier kurz die Beschreibung:

Die Ziffern einer vierstelligen natürlichen Zahl aus nicht lauter gleichen Ziffern werden so permutiert, daß man einmal die größte und einmal die kleinste Zahl daraus erhält. Dann wird die Differenz der beiden Extrema berechnet und das Verfahren mit dieser Zahl iteriert und so weiter. Was passiert und warum ist das so?

Und wenn ich hier schon einmal dabei bin, euch für meine persönlichen Bedürfnisse einzuspannen, dann will ich ganz ungeniert auf das Tangentenvierecksproblem aufmerksam machen, das immer noch einer übersichtlichen Lösung harrt.

07.03.2006, 17:59

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Gibt's da nicht auch was ähnliches mit n-stelligen Zahlen für beliebige n, oder zumindest unendlich viele n ? Obiges Problem rechnet ein moderner Computer in ein paar Mikrosekunden vollständig durch, da fällt die Motivation für die lange Suche nach einem eleganten Beweis etwas schwer. So spricht natürlich der angewandte Mathematiker. Augenzwinkern

07.03.2006, 18:36

pimaniac

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Ich hab nen schönen Beweis für deine Umkehrung vom Tangentenproblem...

http://photos1.blogger.com/blogger/6568/1535/320/Unbenannt.0.jpg

Nehmen wir ein beliebiges konvexes Viereck ABCD mit AB+CD=BC+DA.

Falls je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind, handelt es sich um einen Rhombus, der natürlich einen Inkreis besitzt. Daher können wir annehmen dass sich zumindest zwei gegenüberliegende Seiten schneiden. O.B.D.A seien das AD und BC welche sich in Z schneiden.

Nehmen wir nun 3 Seiten (AD, DC und CB) und zeichnen einen Inkreis, bzw. Ankreis, der natürlich für jedes Dreieck existiert dann gilt folgendes.

XD=DW
YC=CW

Laut Angabe gilt nun

AB+DW+CW=XD+YC+AX+AY --> AB=AX+BY

Nun sei A1B1 die zu AB parallelle Gerade die den Kreis ebenfalls berührt, da A1B1CD nun ein Tangentenviereck bilden wissen wir

A1X=A1V und B1Y=B1V

Wird nun Y mit V und mit AB geschnitten erhalten wir Y1 sowie X mit V verbunden und mit AB geschnitten erhalten wir X1

Aufgrund des Strahlensatzes gilt aber

AX=AX1 und BY=BY1

Also AB=AX+BY-X1Y1 was zu X1Y1=0 führt wegen AB=AX+BY

Daraus folgt dass X=V und Y=V und A=A1 bzw. B=B1 was den Beweis vervollständigen sollte.

07.03.2006, 18:45

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Nicht dass ich den Beweis schon vollständig gelesen hätte, aber:

Zitat:

Original von pimaniac
Falls je zwei Seiten parallel sind, handelt es sich um ein Quadrat

Ich sag mal nur: Rhombus!

07.03.2006, 18:46

pimaniac

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Ja is ja wurscht :-) aber hast natürlich recht...

außerdem is der BEweis falsch also gebt mir nochmal ne minute....

07.03.2006, 18:49

JochenX

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von pimaniac
Falls je zwei Seiten parallel sind, handelt es sich um ein Quadrat

Ich sag mal nur: Rhombus!

wie können überhaupt je zwei Seiten parallel liegen?
geht es nicht eher um gegenüberliegende Seitenpaare?

ansonsten müssten alle Seiten insgesamt parallel sein, da Parallelität bekanntlich eine Äquivalenzrelation ist....

also nicht, dass ich den Beweis nachvollzogen hätte oder ihn verstehen würde....

07.03.2006, 18:58

pimaniac

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Sorry für die Fehler, hoff jetzt ist alles vollständig und klar

07.03.2006, 19:11

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Jetzt sind so viele Aufgaben offen, da schadet eine mehr auch nicht: Ich biete mal eine ganz, ganz schwere Stochastikaufgabe:

Zitat:

In einer Urne befinden sich $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ weiße und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ schwarze Kugeln. Außerdem existiere noch ein Vorratsbehälter mit einer genügend hohen Anzahl schwarzer Kugeln.

Man verfahre nun nach folgender Vorschrift: Es werden zufällig zwei Kugeln aus der Urne gezogen. Wenn beide Kugeln gleicher Farbe sind, so lege man eine schwarze Kugel wieder zurück in die Urne. Sind die beiden Kugeln verschiedener Farbe, so lege man die weiße Kugel wieder zurück.

Bei jedem solchen Schritt vermindert sich die Anzahl der in der Urne verbleibenden Kugeln um Eins, also ist nach $\begin{eqnarray*} (w+s-1) \end{eqnarray*}$ Schritten nur noch eine Kugel in der Urne. In Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese letzte Kugel von weißer Farbe ist.

07.03.2006, 19:20

JochenX

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iiiieh, das kenne ich
das hatten wir glaub sogar in der Vorlesung *schüttel*
ganz ganz doofe Sache das.... smile

Wer macht denn mal eine Übersicht über die anstehenden Aufgaben?

07.03.2006, 19:35

pimaniac

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1.) In einer Urne befinden sich weiße und schwarze Kugeln. Außerdem existiere noch ein Vorratsbehälter mit einer genügend hohen Anzahl schwarzer Kugeln.

Man verfahre nun nach folgender Vorschrift: Es werden zufällig zwei Kugeln aus der Urne gezogen. Wenn beide Kugeln gleicher Farbe sind, so lege man eine schwarze Kugel wieder zurück in die Urne. Sind die beiden Kugeln verschiedener Farbe, so lege man die weiße Kugel wieder zurück.

Bei jedem solchen Schritt vermindert sich die Anzahl der in der Urne verbleibenden Kugeln um Eins, also ist nach Schritten nur noch eine Kugel in der Urne. In Abhängigkeit von und bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese letzte Kugel von weißer Farbe ist.

2.)Die Ziffern einer vierstelligen natürlichen Zahl aus nicht lauter gleichen Ziffern werden so permutiert, daß man einmal die größte und einmal die kleinste Zahl daraus erhält. Dann wird die Differenz der beiden Extrema berechnet und das Verfahren mit dieser Zahl iteriert und so weiter. Was passiert und warum ist das so?

3.) In einem fernen Land wollte sich der Diktator zu seinem siebzigsten Geburtstag seinen Landeskindern gnädig zeigen. Er wies daher den Schließer des Staatsgefängnisses in der Hauptstand an, im Rahmen einer Amnestie Gefange frei zu lassen.
Die Türen des Staatsgefängnisses waren mit 1,2,3,... durchnumeriert. Der Schließer sollte zunächst alle Türen öffnen, aber darauf achten, daß niemand entwischte. Dann sollte er, mit der Tür Nummer 2 beginnend, jede zweite Tür wieder zusperren. Dann wieder von vorne, jetzt mit der Nummer 3 anfangend, sollte er jede dritte Tür auf- oder zuschließen, je nachdem, ob sie zuvor zu oder auf war. Und dann jede vierte Tür, und schließlich jede fünfte Tür ... und ... und ...
Und freizulassen war dann jeder Gefangene, dessen Tür am Ende offen war.

4.) Gegeben ist eine Landkarte mit beliebig vielen Ländern.
Die Anzahl der Grenzen eines bestimmten Landes und zwei seiner Nachbarländer lässt bei der Division durch Drei den Rest Eins. Die Anzahl der Grenzen aller anderen Länder ist jeweils durch Drei teilbar.
Beweisen Sie ohne Computereinsatz, dass die Karte mit vier Farben regulär gefärbt werden kann!

5.)Zeigen, dass es keinen Körper mit genau 6 Elemente geben kann.
<Lösungsansatz schon veröffentlicht>

6.)In einem regelmäßigen Polygon wird jeder Eckpunkt mit jedem anderen durch eine Strecke verbunden. Wie groß sind Summe und Produkt sämtlicher Streckenmaßzahlen?

07.03.2006, 19:41

Mathespezialschüler

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@Arthur Dent
Die Aufgabe kenne ich irgendwoher. Kann's sein, dass die schonmal im Board stand?

Gruß MSS

07.03.2006, 19:45

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Durchaus möglich - ich hatte schon die Befürchtung, dass ich sie schon mal angebracht hatte, aber da habe ich vorhin extra nochmal gesucht und nichts gefunden. Augenzwinkern

Jedenfalls kenne ich sie schon viel länger.

07.03.2006, 23:38

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Arthur Dent
So spricht natürlich der angewandte Mathematiker. Augenzwinkern

Ist es nicht die Mathematik, die angewandt wird und der Mathematiker der Anwendende? Augenzwinkern

08.03.2006, 02:23

stef123

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ich biete mal eine ganz, ganz schwere Stochastikaufgabe:

Entweder du wolltest uns Angst einjagen oder ich habe die Aufgabe total falsch verstanden. Hier meine Lösung:

Befindet sich in dem Urnentopf eine gerade Anzahl von weißen Kugeln so bleibt am Ende eine schwarze Kugel, bzw. bei einer ungeraden Anzahl von weißen Kugeln bleibt eine weiße Kugel übrig. Die Anzahl der schwarzen Kugeln spielt dabei keine Rolle.

Man betrachte folgende Ereignisse:

1) Es werden zwei weiße Kugeln gezogen, so wird eine schwarze hineingelegt. $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ vermindert sich um 2

2) Es werden zwei schwarze Kugeln gezogen, dann wird eine wieder zurückgelegt. $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ verändert sich nicht.

3) Es wird eine schwarze und weiße Kugel gezogen, dann wird die weiße wieder zurückgelegt. $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ verändert sich nicht.

$\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ reduziert sich also bei einem Zug um 2 oder verändert sich gar nicht. Eine weiße Kugel bleibt also genau dann übrig, wenn $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ungerade ist.
Wissen wir die Anzahl $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ vorher nicht, so beträgt die Wahrscheinlichkeit 50%.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass das schon die Lösung ist. Bitte seid genädig LOL Hammer

. Es ist schließlich Stochastik

08.03.2006, 02:33

JochenX

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wenns so wäre: argh Augenzwinkern

aber sieht ja gut aus..... ach ich sag da nix zu, ist zu spät zum denken.

ich habs eh völlig verwechselt (mit dem "Polyaschen Urnenmodell", wie ich gerade bei einem Blick in mein Stochastikbuch gesehen habe)
Das ist gaaaanz was anderes.... und wenn ich nicht so gute Laune hätte, würde ich mich schämen smile

08.03.2006, 06:53

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@stef123

Ist natürlich richtig. Freude

Ein wenig Ironie wird ja wohl noch erlaubt sein. smile

08.03.2006, 10:36

pimaniac

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Und ich Trottel hab 3 Stunedn mit irgendwelchen Wahrscheinlichkeiten rumgerechnet.... AAAAA

08.03.2006, 13:41

stef123

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Zitat:

Original von pimaniac
3.) In einem fernen Land wollte sich der Diktator zu seinem siebzigsten Geburtstag seinen Landeskindern gnädig zeigen. Er wies daher den Schließer des Staatsgefängnisses in der Hauptstand an, im Rahmen einer Amnestie Gefange frei zu lassen.
Die Türen des Staatsgefängnisses waren mit 1,2,3,... durchnumeriert. Der Schließer sollte zunächst alle Türen öffnen, aber darauf achten, daß niemand entwischte. Dann sollte er, mit der Tür Nummer 2 beginnend, jede zweite Tür wieder zusperren. Dann wieder von vorne, jetzt mit der Nummer 3 anfangend, sollte er jede dritte Tür auf- oder zuschließen, je nachdem, ob sie zuvor zu oder auf war. Und dann jede vierte Tür, und schließlich jede fünfte Tür ... und ... und ...
Und freizulassen war dann jeder Gefangene, dessen Tür am Ende offen war.

In einem Durchgang soll die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Tür bewegt werden. Damit die $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Tür geöffnet oder geschlossen wird, muss $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Teiler von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sein.
Der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Gefangene wird genau dann freigelassen, wenn seine Tür eine ungerade Anzahl oft bewegt wurde, also $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ eine ungerade Anzahl Teiler besitzt.
Und dies sind nur die Quadratzahlen!

08.03.2006, 13:51

stef123

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Ich habe noch folgende Aufgabe zu bieten

Zitat:

Man finde eine Lösung des folgenden Gleichungssystems:

$\begin{eqnarray*} a+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b+d+ac=-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ad+bc=-8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} bd=35 \end{eqnarray*}$

Wem die Aufgabe zu einfach ist, kann sich ja mal um alle Lösungen kümmern. Es gibt aber mindestens zwei Lösungen geben, wo $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sind.

08.03.2006, 16:51

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Und auch ein paar komplexe, z.B.

$\begin{eqnarray*} a &=& (\sqrt{3}+1)i\\ b &=& -4-\sqrt{3}-2(\sqrt{3}-1)i\\ c &=& -(\sqrt{3}+1)i\\ d &=& -4-\sqrt{3}+2(\sqrt{3}-1)i \end{eqnarray*}$

08.03.2006, 16:57

JochenX

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Zitat:

Original von stef123
Ich habe noch folgende Aufgabe zu bieten

Zitat:

Wem die Aufgabe zu einfach ist, kann sich ja mal um alle Lösungen kümmern. Es gibt aber mindestens zwei Lösungen geben, wo $\begin{eqnarray*} a, b, c, d \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sind.

ist das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4-4x^2+-8x+35 \end{eqnarray*}$ aus Z[X] irreduzibel?

smile

08.03.2006, 17:09

stef123

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Zitat:

Original von LOED
ist das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4-4x^2+-8x+35 \end{eqnarray*}$ aus Z[X] irreduzibel?

smile

Ich habe es geahnt, dass die Aufgabe für ein Algebraiker keine Herausforderung ist Augenzwinkern

Das biquadratische Polynom in zwei quadratische zu zerlegen, stand auf meinem ersten LA1 Übungsblatt. Die Aufgabe hat mir auch eine ganze Nacht gekostet ..
Wie zerlegt man denn so ein Polynom am schnellsten, wenn man schon Algebra hatte? Meine Lösung war eine seite lang.

08.03.2006, 17:19

JochenX

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irgendwie ist da ein + zuviel bei mir....

Naja, was heißt, das ist keine Herausforderung? ums Lösen drücke ich mich ja erstmal, aber worums geht, war irgendwie gleich klar, diese Dinge sehen bei solchen Aufgabentypen eigentlich irgendwie immer ähnlich aus Augenzwinkern

Es gibt da schon im Falle der Irreduzibilität einige Kriterien (Eisenstein, Reduktionskriterium), die (teilweise enorm) helfen können.
Willst du hingegen zeigen, dass es nicht irreduzibel (auf gut deutsch: "dass es zerlegbar") ist, dann bleibt dir wohl kein anderer Weg, als dieses Gleichungssystem aufzustellen, schön, dass es in Z schon mal nicht sooo viele Kandidaten für Nullstellen gibt, da kannst du nämlich schon mal schnell Zerlegungen der Form (Linearfaktor)*(kubisches Polynom) ausschließen.....
Ansonsten wirst du da schnell in viel Arbeit versinken, besonders, wenn du nicht weißt, ob irgendwas reduzibel ist oder nicht.....

08.03.2006, 17:45

Mathespezialschüler

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@Arthur
Peter hat noch ne einfachere, einsichtigere Lösung gefunden. Augenzwinkern

Sei o.B.d.A. wieder $\begin{eqnarray*} \lambda_k:=x_k^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k=10 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k\cdot x_k\leq x_1+\ldots+x_{10} \end{eqnarray*}$ .

Andererseits ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k\cdot x_k=\sum_{k=1}^{2006}~x_k^2\cdot x_k=\sum_{k=1}^{2006}~x_k^3>1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

08.03.2006, 19:38

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Sei o.B.d.A. wieder $\begin{eqnarray*} \lambda_k:=x_k^2\leq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k=10 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k\cdot x_k\leq x_1+\ldots+x_{10} \end{eqnarray*}$ .

Das und somit ist schon eine ziemliche Frechheit, denn da liegen mehrere Zeilen Argumentation dazwischen, u.a. unter heftiger Nutzung der Monotonie usw.

Aber richtig, das ist jetzt schön einfach. Freude

08.03.2006, 20:15

Mathespezialschüler

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Ja, klar. 2-3 Zeilen dürften das noch sein. Aber es sollte vor allem die Einfachheit dieser Lösung gezeigt werden. Und außerdem ist diese Ungleichung zumindest sofort intuitiv klar. Augenzwinkern

Gruß MSS

08.03.2006, 20:41

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Tja, und dieses Auge ist wohl der Unterschied. Deswegen hatte der Peter bei der IMO auch 42 Punkte und ich damals nur 37.

09.03.2006, 03:53

Ben Sisko

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Dabei hättest du sicher so gerne 42 gehabt (egal wie viele es insgesamt gäbe...) Augenzwinkern

09.03.2006, 13:30

stef123

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, klar. 2-3 Zeilen dürften das noch sein. Aber es sollte vor allem die Einfachheit dieser Lösung gezeigt werden. Und außerdem ist diese Ungleichung zumindest sofort intuitiv klar. Augenzwinkern

Gruß MSS

@MSS
Wenn du mal Langeweile hast, könntest du ja mal die 2-3 Zeilen posten, damit auch ein Normalsterblicher den Schritt nachvollziehen kann. Augenzwinkern

Hat halt nicht jeder 42 oder 37 Punkte bei der IMO. Augenzwinkern

09.03.2006, 15:12

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Auch wenn du MSS gefragt hast, ich übernehme mal:

In der folgenden Ungleichungskette wird beim ersten $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ genutzt, dass $\begin{eqnarray*} x_k\leq x_{10} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 11 \end{eqnarray*}$ gilt, und beim zweiten $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dannn, dass $\begin{eqnarray*} x_{10}\leq x_j \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\leq 10 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2006}~\lambda_k\cdot x_k &\leq& \sum_{j=1}^{10}~\lambda_j\cdot x_j ~ + ~ \sum_{k=11}^{2006}~\lambda_k\cdot x_{10} = \sum_{j=1}^{10}~\lambda_j\cdot x_j ~ + ~ \left(10-\sum_{j=1}^{10}~\lambda_j\right) \cdot x_{10}\\ &=& \sum_{j=1}^{10}~\lambda_j\cdot x_j ~ + ~ \sum_{j=1}^{10}~(1-\lambda_j)\cdot x_{10} \leq \sum_{j=1}^{10}~\lambda_j\cdot x_j ~ + ~ \sum_{j=1}^{10}~(1-\lambda_j)\cdot x_j = \sum_{j=1}^{10} ~ x_j \end{eqnarray*}$ .

10.03.2006, 18:57

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Ich fasse mal noch die offenen Aufgaben zusammen, wobei ich die letzte Numerierung durch pimaniac so belasse (ansonsten kommen wir dann irgendwann durcheinander). Aufgabe 4 habe ich gestrichen, diese 1000Euro-Preisaufgabe wird der Lösende sicher selbst einschicken wollen. Augenzwinkern

Zitat:

2.) Die Ziffern einer vierstelligen natürlichen Zahl aus nicht lauter gleichen Ziffern werden so permutiert, daß man einmal die größte und einmal die kleinste Zahl daraus erhält. Dann wird die Differenz der beiden Extrema berechnet und das Verfahren mit dieser Zahl iteriert und so weiter. Was passiert und warum ist das so?

5.) Zeigen, dass es keinen Körper mit genau 6 Elemente geben kann.
<Lösungsansatz schon veröffentlicht>

6.) In einem regelmäßigen Polygon wird jeder Eckpunkt mit jedem anderen durch eine Strecke verbunden. Wie groß sind Summe und Produkt sämtlicher Streckenmaßzahlen?

7.) Man finde alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems:
a + c = 0
b + d + ac = -4
ad + bc = -8
bd = 35

8.) Sei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Klasse von Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , die die Funktionen $\begin{eqnarray*} S(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(x)=x-\left\lfloor\sqrt{x}\right\rfloor^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ enthält. $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ habe weiter folgende Eigenschaft: Mit $\begin{eqnarray*} f,g\in C \end{eqnarray*}$ gelte $\begin{eqnarray*} f+g, f\cdot g, f\circ g\in C \end{eqnarray*}$ , dabei ist $\begin{eqnarray*} f\circ g \end{eqnarray*}$ die Hintereinanderausführung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, dass für $\begin{eqnarray*} f,g\in C \end{eqnarray*}$ auch die Funktion $\begin{eqnarray*} \max\left\{f(x)-g(x),0\right\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist.

Zu 6.) kann ich auf Wunsch meinen Tipp von oben noch etwas konkretisieren. 7.) hat Jochen ja eigentlich gelöst, vielleicht nur noch nicht für alle deutlich genug formuliert. Die 8.) ist neu von mir reingestellt.

13.03.2006, 09:02

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Ziemliche Stille hier. Augenzwinkern

Zur 8.: Ich kenne zwar eine Lösung, die mir aber noch eine Spur zu lang ist - vielleicht fällt euch was kürzeres ein. Es kommt wirklich nur darauf an, die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g,S,E \end{eqnarray*}$ so geschickt zu verketten, addieren bzw. mutliplizieren, dass die gewünschte Funktion $\begin{eqnarray*} \max(f-g,0) \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Eine kleine Starthilfe zum Probieren: Als erstes überlege man sich, dass alle konstanten Funktionen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) zu $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gehören. Anschließend betrachte man Konstruktionen der Art

$\begin{eqnarray*} h(x) := E\left(f(x)^2+g(x)^2+2f(x)g(x)+3f(x)+g(x)+1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ geht nur durch Verkettung, Addition und Multiplikation aus $\begin{eqnarray*} f,g,E \end{eqnarray*}$ sowie konstanten Funktionen hervor, liegt also auch in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} f(x)^2+g(x)^2+2f(x)g(x)+3f(x)+g(x)+1 = (f(x)+g(x)+1)^2+f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ kann man nun

$\begin{eqnarray*} h(x) = \begin{cases} f(x)-g(x) & \;\mbox{für}\;x\;\mbox{mit}\;f(x)\geq g(x)\\ 3f(x)+g(x)+1 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

folgern, was dem gewünschten Ergebnis ja schon strukturell nahekommt...

13.03.2006, 18:41

Abakus

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Zitat:

5.) ... zeigen, dass es keinen Körper mit genau 6 Elemente geben kann.

Angenommen es gibt so einen Körper. Dann existieren nach dem Satz v. Lagrange Elemente der Ordnung 2 und 3, diese seien a und b; es gelte also: $\begin{eqnarray*} a+a=0,~ b+b+b=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - a^2*(3b) + ab*(3b) -b^3 = a^3 - b^3 \end{eqnarray*}$ .
Andererseits: $\begin{eqnarray*} (a-b)^3 = ... = a^3 - a^2*(2b) - a^2*b + ab*(2b) + ab*b - b^3 = a^3 - a^2*b + a*b^2 - b^3 \end{eqnarray*}$ .

Nun beides voneinander abgezogen ergibt: $\begin{eqnarray*} 0 = a^2*b - a*b^2 = ab*(a - b) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \neq b,~ a - b \neq 0 \end{eqnarray*}$ , gibt es mindestens einen nichttrivialen Nullteiler. Widerspruch!

Das war zu zeigen.

Grüße Abakus smile

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