1. Matheboardolympiade - Seite 6

03.04.2006, 19:16

Genauer Wortlaut hier:

http://www.mathematik-olympiaden.de/Aufgaben/42/4/42134a.pdf

2 kg darf die Raupe maximal fressen, dann platzt sie. Big Laugh

03.04.2006, 19:26

Sciencefreak

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Sorry. Ich habe die Aufgabe aus dem Kopf aufgeschrieben und für mich war irgendwie klar, dass sie 2kg Zahlen essen darf aber du hast recht ich sollte es erwähnen
Edit:Wenn Arthurs Beitrag nicht auf der nchsten Seite gestanden hätte, dann hätte ich ihn vielleicht vor meiner Antowrt gesehen

03.04.2006, 20:00

JochenX

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Danke euch beiden.

Allein vom ersten Eindruck würde ich vermuten, dass die Raupe ab einer gewissen Feldgröße (wobei ich 2003 für enorm zu wenig halte) aufgehalten werden kann.
Sobald EINE einzige Feldgröße mit unerreichbarem Rand gefunden wird, kann man das ja auf alle größeren Felder ausdehnen (durch Projektion des Innenquadrates).

Ergo folgen ja zwei Fragen:
gibt es eine Quadratgröße, ab der die Raupe aufgehalten werden kann?
wenn ja, dann gibt es ein Minimum, das man mit 2003 vergleichen muss.
Die Berechnung des Minimums sollte dann Aufgabenteil b) sein.

Also irgendwie würde ich dann aber denken, a) wäre nach lösen von b) trivial.

verwirrt

03.04.2006, 20:22

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Ok, ich hab mal in meinem Archiv gestöbert - und tatsächlich die Lösung damals aufgeschrieben. Ich komme sogar mit 1.5 kg aus, und das für alle N.

04.04.2006, 16:16

Sciencefreak

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Ich habe hier noch ein paar schwere Aufgaben.

Zitat:

16.) Gegeben ist die rekursive Folge $\begin{eqnarray*} f_n=f_{n-1}-\frac{1}{f_{n-1}} \end{eqnarray*}$
Zeigen sie, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ einen Startwert $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die Folge eine Periodenlänge von n hat.

04.04.2006, 16:52

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Klingt ein wenig nach Arbeit: Betrachten von $\begin{eqnarray*} f_k=f_k(x) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von verschiedenen Startwerten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ; dann ein paar hilfreiche Monotonie- und Stetigkeitsaussagen für diese Funktionen, und am Ende langt der Zwischenwertsatz zu. So müsste es als Grobstrategie klappen. Als kleinen Dreh wird man dabei in der periodischen Folge einmal kurz ins Negative hineinmüssen. Augenzwinkern

05.04.2006, 14:33

Sciencefreak

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Ich hab mir jetzt mal deine Lösungsidee zur Gemüte geführt. Habe aber einfach mal selbst versucht die zu lösen, nachdem ich wusste, dass mein Ansatz zur Lösung führen würde und frage mich, ob man das ganze sogar noch auf 1 begrenzen kann. Also auf 1,2 kommt man ohne Probleme.
Edit:um Verwirrung zu vermeiden. Die Lösung der Raupenaufgabe

05.04.2006, 14:53

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Zitat:

Original von Sciencefreak
Edit:um Verwirrung zu vermeiden. Die Lösung der Raupenaufgabe

Deswegen die Numerierung der Aufgaben - also das war Nr.15.

Ja, abschätzungsmäßig lässt sich schon noch einiges rausholen, allein wenn man z.B. die letzten Zeilen bei mir betrachtet.

Aber um auf unter Eins zu kommen, muss vielleicht prinzipiell noch etwas getan werden. Z.B. ist es ja nicht für jede Schale jedes Weges so, dass da zwei Felder dieser Schale auf dem Weg liegt, sondern sehr oft auch nur ein Feld.

06.04.2006, 17:15

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Bevor es völlig in Vergessenheit gerät, will ich mal noch das Produkt aus Aufgabe 6 von Leopold berechnen - weil die Idee so schön ist: Augenzwinkern

Wir betrachten ein n-Eck mit Umkreisradius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , dann können wir es mit dem Mittelpunkt im Ursprung so in die Gaußsche Zahlenebene legen, dass die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eckpunkte gerade durch die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} rz_k \end{eqnarray*}$ repräsentiert werden, wobei $\begin{eqnarray*} z_k = e^{\frac{2\pi k}{n} i},\;k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ die n-ten Einheitswurzeln sind. Betrachten wir erstmal das Produkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aller Strecken, die vom Punkt $\begin{eqnarray*} rz_0 \end{eqnarray*}$ ausgehen:

$\begin{eqnarray*} p = \prod\limits_{k=1}^{n-1} ~ |rz_0-rz_k| \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ betrachten wir nun die Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f(z) = \prod\limits_{k=1}^{n-1} ~ (z-z_k) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} z\neq z_0=1 \end{eqnarray*}$ kann man die so umformen

$\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z-1} ~ \prod\limits_{k=0}^{n-1} ~ (z-z_k) \stackrel{!}{=} \frac{z^n-1}{z-1} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ resultiert aus der Einheitswurzeleigenschaft der $\begin{eqnarray*} z_k \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt nun wieder die Polynomdarstellung $\begin{eqnarray*} f(z) = z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1 \end{eqnarray*}$ , und die gilt wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ natürlich auch für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ , demnach ist $\begin{eqnarray*} f(1)=n \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} p = r^{n-1}|f(1)|=nr^{n-1} \end{eqnarray*}$ .

Abschließend betrachten wir das Produkt aller Strecken, von allen Eckpunkten aus, und das ist $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ ... nicht ganz, denn da haben wir alle Strecken doppelt gezählt. Also ist es

$\begin{eqnarray*} p^{\frac{n}{2}} = n^{\frac{n}{2}} r^{\frac{n(n-1)}{2}} \end{eqnarray*}$

Die Summe berechnet aber bitte jemand anders, das ist mir zu kompliziert. smile

06.04.2006, 17:35

Leopold

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Schade, daß du es verraten hast. Ich weiß nicht, warum das niemand von den anderen angepackt hat. War es zu schwer oder nicht interessant genug? Im Anhang meine Musterlösung für Produkt und Summe, allerdings nur für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ . Den allgemeinen Fall erhält man daraus durch Streckung mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

06.04.2006, 17:49

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Ja entschuldige, aber nachdem ich es mehrfach (zum letzten mal hier) nach vorn geholt hatte, und keiner reagiert hatte, hab ich es reingestellt.

Und hier hatte ich sogar den entscheidenden Tipp gegeben. Hat aber keiner drauf reagiert...

Als Ersatz eine Aufgabe, in der es auch um Polynomwurzeln geht:

Zitat:

17.) Man zeige, dass die Menge aller reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$ genügen, eine Vereinigung von disjunkten Intervallen ist, wobei die Summe aller Intervalllängen eine ganze Zahl ist. Man bestimme diese Zahl.

Ich hab sie vom Original etwas abweichend formuliert - wäre sonst zu verräterisch gewesen. smile

06.04.2006, 18:50

pimaniac

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Um wieder mal ein Beispiel zu lösen:

13.) Man nehme das größte Dreieck welches lauter Eckpunkte aus der Menge hat und klappe es über jede Seite nach außen, alle Eckpunkte müssen nun in diesem größeren Dreieck liegen da ansonsten das ursprüngliche nicht maximal war. Das größere Dreieck ist natürlich 4 malso grß wie das ursprüngliche also defintiv kleiner als 4. qed.

Edit: Ich hoffe mal dass der Rand als innerhalb gilt :-)

Edit:

a.) Was leichteres zum Nachdenken:
b.) Was schwereres zum Nachdenken:

Zitat:

18.) a.) Für welche Zahlen n kann man die ersten n natürlichen Zahlen so anordnen dass die Summe von je 2 benachbarten Zahlen eine Quadratzahl ergibt?

b.) Für welche n kann man n aufeinander folgende natürliche Zahlen so anordnen dass von jeder Position startend eine natürliche Zahl k existiert sodass die Summe der nächsten k Glieder eine Quadratzahl ergibt.

ad b.) z.B.: ein triviales Beispiel n=2: 5,4 5+4=9 also k=2 und 4 ist schon eine Quadratzahl also k=1

06.04.2006, 19:00

Sciencefreak

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Das spielt keine Rolle, da das größte Dreieck echt kleiner als 1 ist.

06.04.2006, 19:11

pimaniac

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wie recht du doch hast

06.04.2006, 20:23

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Nachfrage bei 18b)

Soll das dann für beliebige n aufeinander folgende Zahlen gelten, oder geht es nur um die Existenz einer solchen Sequenz?

P.S.: Ach ja, und beginnen die natürlichen Zahlen bei dir mit 0 oder 1 ?

06.04.2006, 20:35

pimaniac

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ad b.) Die Existenz einer solchen Folge für jedes bestimmte n.

Die natürlichen Zahlen beginnen bei mir meistens bei 1

Bei a.) machts einen kleinen Unterschied da man ja mit Hilfe der Null einmal zwei bliebige Quadratzahlen verbinden kann, was wahrscheinlich ein paar mehr lösungen ergibt (hab ich mir noch nicht überlegt, obs wirklich viel bringt)

bei b.) is es natürlich wurscht

06.04.2006, 20:38

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Macht schon einen Unterschied: Wenn die Null dazugehört, ist n=2 bei a) Lösung (Zahlen 0 und 1), andernfalls nicht (Zahlen 1 und 2).

06.04.2006, 22:05

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{111888} \frac{k}{x-k} \geq 1036 \end{eqnarray*}$

06.04.2006, 23:06

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Da hat aber einer gebastelt... Teufel

06.04.2006, 23:13

JochenX

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was genau hat es mit 111888 oder 1036 "tagesaktuell" auf sich?
verzeiht mir die Offtopicfrage.

06.04.2006, 23:25

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Wenn du das Ergebnis ausrechnest und aufs heutige Datum schaust, weißt du es. smile

06.04.2006, 23:27

JochenX

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achso, ne, da bin ich ja zu blöd zu Wink

(da kommen keine Gruppen vor)

Trotzdem danke, an so einen Zusammenhang hatte ich gar nicht gedacht.

06.04.2006, 23:30

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Zitat:

Original von LOED
(da kommen keine Gruppen vor)

Stimmt, so komplizierte Sachen braucht man dafür nicht. Nur Schulwissen, schätze so Klasse 9 oder 10...

06.04.2006, 23:45

JochenX

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Es liegt mir auf der Zunge, für diesen deinen Hinweis jetzt irgendwas ganz böses zu sagen oder mir mit einem Hammer auf den Kopf zu hauen.

Ich werde das zweite mal virtuell nachholen, denn ich habe keinerlei Ideen, werde einfach mal abwarten, ob da wer mal die Lösung verrät.
Ist sicher was analytisches (wobei mir das in der 9. Klasse doch noch lag?).

Hammer

07.04.2006, 14:44

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Vielleicht ist es ja einfacher, die Frage nach der Summe der Intervalllängen für das allgemeinere

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ~ \frac{k}{x-k} \geq y \end{eqnarray*}$

mit beliebigem positiver ganzer Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und beliebiger positiver reeller Zahl $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ zu beantworten. Ist auch nicht schwieriger als die beiden speziellen Fälle (17. bzw. Leopolds Variation).

-----------------

EDIT: Ok, mit dem 9./10.Klasse habe ich vielleicht zu dick aufgetragen, wohl um Jochen zu ärgern - Entschuldigung. Augenzwinkern

Man braucht schon noch Sachen wie die Polstellen der gebrochen rationalen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{k=1}^n ~ \frac{k}{x-k}-y \end{eqnarray*}$

sowie Stetigkeit in den Intervallen zwischen den Polstellen für die Anwendung des Zwischenwertsatzes, das ist wohl eher erst 11.Klasse oder noch später. Aber Differential- und Integralrechnung wird wirklich nicht benötigt.

11.06.2006, 20:07

akechi90

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Ich kann schon mal beweisen, dass bei einer derartigen Ungleichung insgesamt stets n disjunkte Intervalle entstehen:

Insgesamt hat die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):=\sum_{k=1}^n~\frac{k}{x-k}-y \end{eqnarray*}$ n Polstellen, da die Definitionsmenge stets $\begin{eqnarray*} D=\mathbb R /\{ 1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ ist. Jedes dieser Intervalle zwischen den Polstellen verläuft von $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Man beachte, dass der Grad der Funktion im Nenner stets n-1 beträgt, der Betrag im Zähler stets n. Damit ist der Verlauf zwischen den Polstellen bewiesen.
Für $\begin{eqnarray*} x \to -\infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \to -y- \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ , befindet sich im Intervall I] $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ; 1[ keine Nullstelle.

Für $\begin{eqnarray*} x \to +\infty \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x) \to -y+ \end{eqnarray*}$
Darum befindet sich im Intervall I]n ; $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ [ eine Nullstelle. In den restlichen n-1 Intervallen zwischen den Definitionslücken befindet sich je eine Nullstelle, damit hat die Funktion n Nullstellen.
Die n Intervalle $\begin{eqnarray*} I]k;NSk[ \end{eqnarray*}$ (k sei hierbei die k-te Definitionslücke, NSk die k-te Nullstelle] sind disjunkt, und bilden die Lösungsmengen der Ungleichung.

Wenn $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Mächtigkeit der Lösungsmenge unendlich.
Wenn $\begin{eqnarray*} y \to +\infty \end{eqnarray*}$ , dann strebt die Mächtigkeit der Lösungsmenge gegen Null.

Daraus ist ein umgekehrt proportionales Verhältnis zu der Summe der Größen aller Lösungsmengen zu erkennen. Jedoch muss n zu dieser Summe stets proportional sein.
Es ist daraus zu schließen, dass für die Zahl g, die wir suchen, gilt $\begin{eqnarray*} g=\frac{n}{y} \end{eqnarray*}$

11.06.2006, 20:50

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Zitat:

Original von akechi90
Daraus ist ein umgekehrt proportionales Verhältnis zu der Summe der Größen aller Lösungsmengen zu erkennen. Jedoch muss n zu dieser Summe stets proportional sein.

Ich sehe bisher noch keine schlüssige Begründung für Proportionalität oder umgekehrte Proportionalität. Für Monotonie vielleicht, für Proportionalität nicht. Da musst du noch etwas nachlegen.

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