Reihe - e-Funktion versteckt

03.03.2006, 15:34

antykoerpa

Reihe - e-Funktion versteckt

Und hier noch eine Reihe, die ich sehr interessant fand und zu der ich einige Fragen habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(\frac{k}{k+2})^{2k^2} \end{eqnarray*}$
Habe dann in der Klammer erstmal 'n' ausgeklammert und gekürzt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~(\frac{1}{1+\frac{2}{k}})^{2k^2} \end{eqnarray*}$

Mir ist aufgefallen, dass die e-Funktion ja durch
$\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Und der Term in meiner ursprünglichen Reihe sieht dem ja sehr ähnlich. Ich weiß, dass als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^4} \end{eqnarray*}$ herauskommt (nach der Grenzwertbetrachtung). Nun meine Frage, was genau in meinem Term bewirkt, den Exponenten 4 in dem Endergebnis? Ist es das $\begin{eqnarray*} \frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ , oder ist es eine / mehrere der 2en aus dem Exponenten $\begin{eqnarray*} 2k^2 \end{eqnarray*}$ ? Hatte schon die Idee, mir ein Programm zu schreiben, mit Hilfe ich die Auswirkung der 2en auf das $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ überprüfen kann. Aber im Moment hab ich etwas wenig Zeit, weil die Klausur bald ansteht, sonst hätte ich es sofort gemacht. Wär nett, wenn mir das jemand von Euch erklären kann.
Danke!

03.03.2006, 15:47

JochenX

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als Reihe divergiert das wohl eher....
meinst du nicht, dass der Grenzwert der Folge in der Reihe 1/e^4 ist?

substituiere erst mal 2/k=z und stürze mal deinen bruch in der Mitte (dadurch bekommst du dann ganz außen ein ^-1 dazu). danach versuchst du das ganze innen mal so umzuformen, dass da e steht, außen sollte noch ^4 verbleiben und die ^-1 außen rum machen dann 1/e^4 draus.....

03.03.2006, 16:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von LOED
substituiere erst mal 2/k=z und stürze mal deinen bruch in der Mitte

Hmm. Nach dem Stürzen würde ich k=2z substituieren. Oder?

03.03.2006, 16:03

JochenX

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jaaa, k/2=z, du hast völlig recht, Klarsoweit Wink