allgemeines Matrixproblem |
| 03.03.2006, 17:06 | maxi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| allgemeines Matrixproblem Dies ist ein sehr dringendes Hilfegesuch: Ich stehe vor einer Aufgabe zu der ich leider keinen rechten Lösungsweg finde: Folgende Matrix M sei gegeben: 3 1 (Pos 1 Pos 2) 1 3 (Pos 3 Pos 4) Pos.=Position Diese wird mit n potenziert. Nun soll mathematisdch beschrieben werden, was auffällt; hier liegt mein Problem, folgendes ist Stand meiner "Erkenntnisse": Rechnet man die ersten Matrizen aus, so fällt mir folgendes auf, für den Fall, dass 3=a und 1=b: n=2 Pos. 1= a²+b² = Pos. 4 Pos. 2= 2ab = Pos. 3 hier fällt mir auf, dass offensichtlich (a+b)²=a²+2ab+b² zerlegt worden is; wie lässt sich nun diese Aufteilung beschreiben/begründen? Zufall scheint sie nicht zu sein, denn im Falle von n=3 Pos. 1= a³+3ab² = Pos. 4 Pos. 2= b³+3ba² = Pos.3 mir ist nicht mehr ganz bewusst, wie ich (a+b)³ ausmulitpliziere, aber wenn es ausmultipliziert hieße: a³+3ab²+3ba²+b³, so wäre hier wieder zerlegt worden, allerdings in anderer Art und Weise!?! n=4 Pos. 1= a^4+6a²b²+b^4 = Pos. 4 Pos. 2= 4b³a+4ba³ = Pos.3 wiederum evtl. (a+b)^4 ausmultipliziert und verteilt? Nur mal vorausgesetzt meine Logik haut irgendwie hin so... so scheint es, dass sich die Matrizen ähnlich verhalten, wenn n gerade ist, bzw. wenn n ungerade ist. Ich stehe voll auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter; kann irgendjemand helfen meine Gedanken in logische Mathematik umzusetzen? Das wäre sehr nett! 
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| 03.03.2006, 17:12 | maxi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: allgemeines Matrixproblem sorry: noch ein paar Worte der Ergänzung und Frage zu meinem obigen Post: 1. Lässt sich eine allgemeine Formel durch eine Reihe/Folge abbilden oder irgendwie anders? Werte von M in Abhängigkeit von n..? 2. Es kann sein dass meine Herangehensweise an das Problem vollkommen verkehrt ist:; für den Fall dass sich jemand meiner erbarmt würde ich den/diejenigen/e bitten nicht allzu kryptisch zu formulieren 
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| 03.03.2006, 17:26 | quarague | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich würde wie folgt ansetzen: 3 1 = 3 0 + 0 1 1 3 0 3 1 0 (sehr hässliche Matrixschreibweise aber ich bin jetzt zu faul zum texen, sorry) diese beiden Matrizen kommutieren, also kannst du die binomischen Formel anwenden. Ausserdem lassen sich beide sehr gut potenzieren, damit kann man recht gut beschreiben, wie M^n aussieht |
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| 03.03.2006, 17:32 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo maxi, deine Herangehensweise funktioniert auch (soweit ich es absehen kann, ohne es komplett durchgeführt zu haben 
).Formuliere eine Vermutung für das Aussehen von . Unterscheide dabei, ob n gerade oder ungerade ist. Für die Formulierung dieser Vermutung schau dir den Binomischen Lehrsatz an. Diese Vermutung kannst du dann mit vollständiger Induktion beweisen. Das Ergebnis für deine Matrix fällt dann natürlich leicht ab, da du es ja allgemein gemacht hast 
Gruß vom Ben |
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